Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

откуда, учитывая независимость вариаций обобщенных координат

, мы и

приходим к уравнениям движения в форме (35.11).

Таким образом, интегральный вариационный принцип (39.11) в компактной форме содержит в себе всю динамику как свободных, так и несвободных голономных систем с идеальными связями. Кроме того, указанный принцип удается распространить и на неголономные механические системы. Это означает, что существуют два способа построения классической механики: индуктивный метод, когда за основу построения механики принимаются дифференциальные уравнения Ньютона, непосредственно вытекающие из опыта, и дедуктивный метод, когда в качестве основной и единственной аксиомы принимается вариационный принцип Гамильтона – Остроградского, при этом уравнения движения (35.11) выступают как уравнения Эйлера для некоторой вариационной задачи механики.

Несмотря на простоту и наглядность индуктивного метода, предпочтение все-таки следует отдать второму способу построения классической механики. Преимущество вариационной концепции заключается прежде всего в ее независимости от конкретного выбора системы обобщенных координат и, следовательно, от выбора системы отсчета. В механике Ньютона мы ограничиваем себя использованием только инерциальных систем отсчета. В формулировке принципа Гамильтона – Остроградского фигурируют только такие физические величины (кинетическая и потенциальная энергия), которые не связаны с какой-либо частной системой обобщенных координат. Поэтому указанный принцип оказывается инвариантным относительно любого точечного преобразования координат, в том числе и относительно точечного преобразования, связанного с переходом от инерциальной системы отсчета к любой неинерциальной системе координат.

Другое важное преимущество вариационного принципа (39.2) состоит в том, что его нетрудно распространить на системы, имеющие бесконечно большое число степеней свободы, т. е. на системы, не являющиеся чисто механическими, например, на упругие среды, электромагнитные поля и поля элементарных частиц. Возможность формулировки принципа экстремального действия в различных разделах физики свидетельствует о единстве материального мира и общности форм проявления различных физических процессов.

§ 40. Канонические уравнения движения

Все ранее рассмотренные виды уравнений движения (уравнения Ньютона для свободных механических систем и уравнения Лагранжа для несвободных голономных систем с идеальными связями) относятся к числу дифференциальных уравнений второго порядка. Из математики известно, что любую систему s дифференциальных уравнений второго порядка можно заменить равносильной системой s2 уравнений первого порядка. Уравнения движения механической системы, записанные в форме дифференциальных уравнений первого порядка, называют каноническими уравнениями движения.

121

В методе Лагранжа независимыми переменными считаются обобщенные

(

)

координаты (т. е. обобщенные скорости уравнения Лагранжа (36.2), переменные

и время t. Производные по времени от обобщенных координат

тоже явно входят как в лагранжиан L, так и в

считаются зависимыми. Это обстоя-

тельство в методе Лагранжа находит свое отражение в том, что для описания движения системы вводится понятие о ее траекториях в конфигурационном пространстве. Задание какой-нибудь точки в таком пространстве дает только s начальных условий, следовательно, для того чтобы полностью определить дви-

жение системы, требуется задать еще s условий типа

0aaqq

. Это означает, что

через любую точку конфигурационного пространства проходит бесчисленное множество траекторий системы. Поэтому естественнее было бы считать независимыми переменными наряду с обобщенными координатами и обобщенные скорости (или обобщенные импульсы). Так именно и поступают в методе, предложенном Гамильтоном.

В методе Гамильтона в качестве независимых переменных рассматриваются s обобщенных координат системы

ppp ,,,

K , определяемых равенствами (37.5). Для геометрической интерпретации

qqq ,,,

K и

ее обобщенных импульсов

движения механической системы вводится понятие о фазовом пространстве. Под фазовым пространством понимается s2-мepнoe пространство, по осям координат которого откладываются значения s обобщенных координат

обобщенных импульсов

p . Каждой точке фазового пространства (ее называют

q и

изображающей точкой) соответствует определенное состояние системы. При движении системы изображающая точка описывает в фазовом пространстве кривую, называемую фазовой траекторией механической системы. В отличие от конфигурационного пространства через каждую точку фазового пространства проходит одна-единственная фазовая траектория механической системы.

Уравнения движения механической системы можно получить с помощью преобразования Лежандра. В преобразование Лежандра от переменных

переходят к новым переменным

Запишем полный дифференциал лагранжиана системы как функции обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени:

åå

.11dt

Ограничиваясь рассмотрением только таких систем, у которых все активные силы являются обобщенно-потенциальными (или просто потенциальными), а диссипативные силы отсутствуют, мы можем в этом выражении произвести замену:

после чего оно принимает вид:

åå

qdpdqpdL

++=

.11dt

(40.1)

122

Используя затем очевидное равенство

(

)

(

)

(

)

(

)

æ ç

ö ÷

&&&

ååå

,dpqqdpqpd

выражение (40.1) можно еще раз переписать в виде

ö ÷

sss

&&&

dpqdqpqpLd

ååå

111

===

+-=

или

æ ç

sss

&&&

dpqdqpLqpd

ååå

111

===

Наличие в правой части равенства (40.2) дифференциалов

-+-=

(40.2)

и dt

указывает, что величина, стоящая под знаком дифференциала в левой части того же равенства, представляет собой некоторую функцию обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени, т. е.

( )

2121

LqptpppqqqH

.,,,,;,,,

(40.3)

Эту функцию называют функцией Гамильтона или гамильтонианом механической системы. Если лагранжиан системы не зависит явно от времени, то величина (40.3) является сохраняющейся и эту сохраняющуюся величину называют полной энергией системы.

Сравнивая выражение (40.2) с дифференциальным равенством:

åå

,11dt

получаем уравнения:

( )

(40.4)

(40.5)

p ,,2,1, K

Уравнения (40.4) и есть искомые уравнения движения механической системы в переменных q и p, которые называют уравнениями Гамильтона или

каноническими уравнениями движения. Они представляют собой систему

дифференциальных уравнений первого порядка относительно s2 неизвестных функций

. Обращает на себя внимание симметрия уравнений (40.4)

относительно переменных q и p.

Рассмотрим простейший пример на составление гамильтониана и канонических уравнений движения. Функция Лагранжа свободной частицы массой m,

движущейся в поле

rUU

, в декартовых координатах имеет вид

L -++=

123

222

( )

zyxUzyx

.,,

При этом разность

(

)

(

)

(

)

tHdt

=¶¶

(

)

оказывается равной:

222

+++=-

( )

zyxUzyx

.,,

(40.6)

Однако прежде чем называть разность (40.6) функцией Гамильтона, необ-

zyx

ходимо все обобщенные скорости частицы

выразить через обобщенные

импульсы личинами определяется соотношениями мильтона частицы, движущейся в поле

ppp ,, . В рассматриваемом примере связь между указанными ве-

zyx

mpx

и т. д. Поэтому функцию Га-

в декартовых координатах, можно

окончательно представить в виде:

222

zyx

+++=

( )

zyxUppp

,,,

(40.7)

при этом канонические уравнения движения частицы имеют вид:

(40.8)

(40.9)

-= ¶

&&&

zyx

.,,

===

Уравнение (40.5) в методе Гамильтона особой роли не выполняет; оно указывает только, что гамильтониан механической системы зависит или не зависит явно от времени одновременно с ее лагранжианом. Из явной независимости гамильтониана системы от времени вытекает сохранение ее полной энергии. Действительно, запишем полную производную по времени от функции Гамильтона:

ç ç

При подстановке в выражение (40.10) производных

ö ÷

(40.10)

из канонических

уравнений движения (40.4) два последних слагаемых взаимно сокращаются и мы получаем:

(40.11)

Отсюда видно, что если функция Гамильтона не зависит явно от времени

(т. е.

), то она совпадает с полной энергией системы:

.,,,,;,,,

2121

EpppqqqH

(40.12)

Закон сохранения обобщенного импульса в методе Гамильтона формулируется аналогично закону (37.8). Действительно, какая-либо обобщенная координата

является циклической одновременно и по отношению к функции

124

Лагранжа, и по отношению к функции Гамильтона. Это становится очевидным,

(

)

(

)

(

)

(

)

если уравнение

qHp ¶-¶= /

переписать в виде:

( )

.,,2,1 s

(40.13)

Отсюда следует, что

constp

, если

. (40.14)

§ 41. Скобки Пуассона

Рассмотрим общую проблему отыскания любых первых интегралов уравнений движения (40.4), а именно: найдем необходимые и достаточные условия, при выполнении которых какая-нибудь функция координат, импульсов и времени

tpqF ,,

является первым интегралом уравнений движения.

С этой целью запишем полную производную от F по времени:

æ ç

Подставляя в правую часть вместо

их выражения из канонических

ö ÷

уравнений движения (40.4), получим:

( )

,, FH

(41.1)

где введено обозначение:

( )

æ ç

1å=

(41.2)

aaaa

Выражение (41.2) называют скобками Пуассона для величин H и F. Таким образом, необходимым и достаточным условием того, чтобы вели-

чина

tpqF ,,

была первым интегралом движения, является требование:

( )

Если же величина F явно от времени не зависит, т. е.

.0, =+

(41.3)

pqFF ,

, то усло-

вием, при котором эта величина является сохраняющейся, является требование:

,0,=FH

(41.4)

т. е. ее скобки Пуассона с функцией Гамильтона H должны обращаться в нуль.

Условиями (41.3) и (41.4) можно воспользоваться для отыскания первых

интегралов движения.

Введение скобок Пуассона дает возможность представить канонические уравнения движения (40.4) в абсолютно симметричном виде по отношению к переменным q и p. Для этого в выражении (41.2) положим

Вычисления показывают, что

( ) ( )

-= ,,,

125

(41.5)

следовательно, канонические уравнения движения (40.3) можно переписать в

()()(

)

===

(

)

(

)

()()()(

)

()(

)

()()(

)

+=+

()()(

)

()()(

)

===

()()(

)

===

()(

)

=¢¢¢=

виде:

iiii

.,,2,1,;, siqHqpHp

(41.6)

Скобки Пуассона можно определить не только для величин H и F, но и для любой пары функций

tpqf ,, и

tpqg ,, . В этом случае скобки Пуассона

определяются выражением:

( )

æ ç

1å=

(41.7)

aaaa

Скобки Пуассона (41.7) удовлетворяют целому ряду тождеств, вытекающих

непосредственно из их определения:

;0,,;,, ==-= ggfffggf

(41.8)

gCCf

,0,,

(41.9)

где C – постоянная величина;

;,,,

gfgfgff

2121

(41.10)

gffgffgff ,,,

122121

(41.11)

( )

ç è

æ ç

,,,,

(41.12)

где под x можно понимать любую обобщенную координату, импульс или вре- мя. Если одна из функций f или g совпадает с обобщенной координатой или импульсом, то скобки (41.7) принимают вид:

( ) ( )

.,,,

(41.13)

Полагая в (41.13) функцию f равной q1 и p1 получим:

,,,0,,

(41.14)

ikkikiki

где

qpppqq

;,1

kiесли

(41.15)

.,0

kiесли

Величины (41.14) называют фундаментальными или основными скобками

Пуассона. Их важное значение состоит в том, что они являются классическими

аналогами квантово-механических перестановочных соотношений для операторов координаты и импульса микрочастицы, а то обстоятельство, что для пары величин

скобки Пуассона оказываются равными единице, следует рассмат-

ривать как определение канонической сопряженности указанных величин. Любые две величины qk и pk – будем называть канонически сопряженными, если они удовлетворяют условиям:

qpppqq

§ 42. Канонические преобразования

.1,,0,,

kkkkkk

(41.16)

Уравнения Лагранжа инвариантны относительно точечного преобразования

stqqqqq

,,2,1,,,,

координат системы

, связывающего любые два набора обобщенных

, Q . При любом преобразовании

126

()(

)

stqqqqq

=¢¢¢=

()(

)

(

)

¢=¢

(

)

(

)

(

)

(

)

,,2,1,,,,

сохраняют свою форму и канонические урав-

нения движения (40.4). Однако уравнения Гамильтона допускают более широкий класс преобразований. Это связано с тем, что в методе Гамильтона роль независимых переменных наряду с обобщенными координатами

обобщенные импульсы

. Поэтому преобразования, сохраняющие форму ка-

выполняют и

нонических уравнений движения (40.4), относятся к классу преобразований:

ì í î

( )

2121

,,,,;,,,

tpppqqqPP

stpppqqqQQ

,,,2,1,,,,;,,,

KKK

(42.1)

связывающих как наборы обобщенных координат q, Q, так и наборы обобщенных импульсов p, P. Те из преобразований (42.1), при которых форма уравнений Гамильтона (40.4) не изменяется, носят название канонических преобразований.

Найдем условия, которым должно удовлетворять преобразование (42.1),

для того, чтобы уравнения движения в новых переменных Q

где

tPQHH ,,

– новый гамильтониан системы.

Q K

( )

,,,2,1 s

(42.2)

имели вид

, P

Канонические уравнения движения (40.4) в старых переменных q, p можно

получить из принципа экстремального действия, записанного в виде:

( )

dttpqHdqp

.0,,

(42.3)

ú û

Аналогично уравнения движения (42.2) должны удовлетворять условию:

( )

dttPQHdQP

.0,,

(42.4)

Но равенства (42.3) и (42.4) будут эквивалентны друг другу только в том случае, если стоящие в них подынтегральные выражения отличаются не больше, чем на полный дифференциал некоторой функции F, т. е.

é ê

( ) ( )

åå

ú û

ù ú

.,,,,

dFdttPQHdQPdttpqHdqp

(42.5)

Интеграл от разности (42.5) равен некоторой постоянной, а ее вариация обращается в нуль.

Таким образом, любое каноническое преобразование (42.1) характеризуется некоторой функцией F, называемой производящей функцией данного канони- ческого преобразования. В общем случае производящая функция F зависит от

s переменных

и t. Эти переменные удовлетворяют уравне-

ниям преобразования (42.1), и поэтому число независимых переменных, от которых фактически зависит функция F, сокращается до 12

s . Поэтому ока-

зываются возможными следующие четыре типа производящих функций:

tQqF ,,

tPqF ,,

tQpF ,,

.,,4tPpF

127

Рассмотрим каноническое преобразование с производящей функцией типа

(

)

(

)

=-=

tQqF ,,

. В этом случае выражения, стоящие под знаками интегралов (42.3) и

(42.4), связаны соотношением (42.5) или

( ) ( )

åå

+-=

,,,

dtHHdQPdqptQqdF

(42.5а)

откуда видно, что

p K=

P ,,2,11K=

( )

;,,2,1

(42.6)

(42.7)

(42.8)

Уравнения (42.6) представляют собой s соотношений, содержащих только

и t. Из этих равенств можно выразить все новые обобщенные коор-

динаты

через

и t. Таким образом, мы получим первую часть преоб-

разования (42.1). После этого, используя равенства (42.7), можно получить оставшиеся s уравнений преобразования (42.1). Наконец, уравнение (42.8) позволяет найти новый гамильтониан

Интересным преобразованием, относящимся к данному типу, является преобразование с производящей функцией:

( )

QqtQqF

(42.9)

Согласно (42.6), (42.7), уравнения преобразования (42.1) при этом будут иметь вид:

.,,2,1 sqP K

(42.10)

Таким образом, преобразование (42.10) сводится к взаимному переименованию координат и импульсов (новые координаты совпадают со старыми импульсами, а новые импульсы отличаются от старых координат только знаком). Этот пример наглядно указывает на равноправие координат и импульсов в

методе Гамильтона, в силу чего переменные

и называют канонически

сопряженными величинами. Вместе с тем это указывает на условность наших представлений о переменных

как о пространственных координатах и о

как динамических переменных, измеряемых произведением массы на скорость. Различие между ними практически состоит только в названии, и поэтому при рассмотрении любого механического процесса нельзя противопоставлять его кинематику динамике и наоборот, ибо кинематическое и динамическое в движении любой механической системы составляют единое целое.

128

§ 43. Действие как функция координат и времени.

(

)

(

)

(

)

(

)

aua

Уравнение Гамильтона – Якоби

Чтобы сформулировать принцип Гамильтона – Остроградского для систем с обобщенно-потенциальными силами и идеальными голономными связями, было введено понятие о действии механической системы как интеграле:

( )

2121

,,,,,;,,,

dttqqqqqqLS

(43.1)

зависящем от вида конфигурационных траекторий системы, начинающихся и оканчивающихся в двух заданных конфигурациях системы A и B в моменты времени

t и 2t (рис. 7.6). При варьировании действия

сравниваются значения интеграла (43.1) для близких траекторий с одними и теми же значениями обобщенных координат

что

, т. е. принимается,

, при этом действитель-

ному движению системы отвечает траектория, для

Рис. 7.7

которой 0

Рассмотрим обобщение этого понятия. Допус-

тим, что за время рацию B или C (рис. 7.7), причем оба перехода

система может перейти из конфигурации A в конфигу-

и AC являются действи-

тельными. С такой ситуацией мы сталкиваемся, например, в следующей задаче.

Пусть два совершенно одинаковых тела бросают одновременно из точки O

(рис. 7.8) с начальными скоростями

под углами

чем

sinsin

к горизонту, при-

; хорошо известно,

2211

что за один и тот же промежуток времени первое тело падает в точку B с коорди-

2sin

= , а второе – в точку C с

cos

Рис. 7.8

натой

координатой

Возможность постановки подобного рода задач указывает, что действие S механической системы следует рассматривать как функцию координат q, характеризующих конечную конфигурацию системы в момент времени f2. Изменение действия системы при переходе от траектории AB к близкой к ней траектории AC определяется выражением (39.8):

qpS

ddd

dtq

Стоящий здесь интеграл обращается в нуль, поскольку обе траектории являются действительными и, следовательно, удовлетворяют уравнениям

129

Лагранжа. В первом члене необходимо принять

(

)

(

)

-¢¢

(

)

обозначить через

Отсюда следует, что

. В результате получаем:

p K=

qpS

1å=

( )

(43.2)

.,,2,1 s

(43.3)

, а значение

Возможен еще один тип вариационных задач механики, когда рассматриваются переходы системы из одной и той же начальной конфигурации в одну и ту же конечную конфигурацию B (рис. 7.9), но за различные промежутки времени

и т. д. Примером, иллюстрирующим

возможность таких переходов, может служить свободное падение тела в поле притяжения Земли. В зависимости от начальной скорости тела оно падает с одной и той же высоты H за различные отрезки времени.

Рис. 7.9

Возможность постановки подобных задач показывает, что в самом общем случае действие

механической системы следует рассматривать и как явную функцию времени. Чтобы найти частную производную tS

/ , необходимо вычислить полную

вариацию интеграла (43.1), обусловленную как варьированием обобщенных координат

q , так и варьированием конечного момента времени tt

. Определим

действие механической системы как неопределенный интеграл:

( )

.,,

dttqqLS

(43.4)

Из этого определения действия следует:

(43.5)

С другой стороны, рассматривая действие S как функцию обобщенных координат и времени и используя формулу (43.3), ту же производную можно представить в виде:

åå

(43.6)

Сравнивая выражения (43.5) и (43.6), находим:

или .H

Таким образом, структура функции действия

1å=

(43.7)

qpL

tqqqS

,,,,21K

механической

системы с обобщенно-потенциальными активными силами и голономными идеальными связями полностью определяется соотношениями (43.3) и (43.7).

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]