Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
Выражение (21.12) представляет собой
(
)
Р
¹
M
¢
j
-
(
)
(
)
m
®
m
(
)
(
)
=
(
)
p
>
Q
(
)
r
(
)
u
r
'
M
j
j
-
P
ось
n
.
М
общее уравнение траектории частицы, дви-
жущейся в произвольном центрально-
0
0
0
симметрическом поле.
Рассмотрим случай, когда траектория частицы, движущейся в центральносимметрическом поле
rU
, имеет перицентр
, т. е. точку, в которой переменная r прини-
Рис. 4.7
мает минимальное значение
r
min
В этом случае в качестве полярной оси, от ко-
(рис. 4.7).
0
торой производится отсчет углов j, удобно
выбрать прямую OP , проходящую через перицентр Р траектории частицы и
называемую апсидой. При этом уравнение траекторий, имеющих перицентр,
принимает вид:
L
r
±=
j
r
ò
min
2
dr
2
r
[ ]
-
эфф
()
rUEm
.
(21.13)
Наличие двух знаков перед интегралом в уравнении (21.13) указывает, что
соответствующая траектория частицы симметрична относительно апсиды OP .
Действительно, для любой точки M траектории с координатами 0r, 0j (рис. 4.7)
имеется симметричная ей относительно апсиды
r
0
, 0
.
OP
точка
с координатами
Таким образом, уравнение траектории частицы в центрально-
симметрическом поле
rU
, имеющей перицентр P, можно окончательно пред-
ставить в виде:
L
r
=
j
ò
2
r
min
dr
2
r
[ ]
-
эфф
()
rUEm
.
(21.14)
При решении одночастичной задачи, эквивалентной задаче двух тел, в об-
m
щем случае
замену
m
. При этом формулы (21.12) и (21.14) определяют траекторию m-частицы
2
m
~
1
во всех вышеприведенных формулах следует произвести
2
, а центр поля считать совпадающим с центром масс частиц
m
1
и
(или зависимость относительного расстояния частиц r от полярного угла j).
Чтобы определить траектории реальных частиц
m
1
и
в ц-системе, необходи-
m
2
мо воспользоваться формулами (20.3).
Пример 3. Частица массой т движется в центрально-симметрическом поле,
в котором ее потенциальная энергия имеет вид:
a
-=
22
. Проинтегри-
2/5 rmrU
ровать уравнения движения частицы, если известно, что
/50 r
auu
==
00
и
, где 2/
5/1sin =Q
– угол между векторами
0 rr
0
0r
и
0
Определить также траекторию частицы, принимая за полярную ось прямую, соединяющую центр поля с начальным положением частицы.
61
;
.
Из начальных условий находим:
aqu
=
=
r
4
(
)
4
=
j
=
(
)
=
a
=
®
¥
®
j
(
)
ось
n
.
(
)
2
m
u
E
0
2
и
2
5
m
a
0
=-=
2
2
r
0
эфф
,
()
rU
sin
00
2
m
a
-=
2
mmrL
(21.15)
2
.
(21.16)
Подстановка выражений (21.15), (21.16) в формулу (21. 8) дает:
2
tt -=-
r
0
a
(21.17)
(В рассматриваемом случае в формуле (21.8) следует взять знак минус пе-
ред интегралом, так как начальная радиальная скорость по условию отрицательна). Далее из начальных условий находим
2
2
0
.4
trr
a
-= (21.18)
2
a
4/
rt = , следовательно:
00
Подставляя функцию (21.18) в формулу (21.9) и выполняя интегрирование,
получаем:
1
2
tr
ajj
4ln
0
--=
Если полярную ось выбрать так, как реко-
эфф
22
/2 rmrU
a
-=
r
0
мендовано в условии задачи ( 0
2
4/ln
j
r=
и, следовательно:
00
1
()
t
j
= (21.19)
4
ln
2
r
0
2
0
.
4
tr
a
-
при
rr
), то
0
И, наконец, исключая из (21.18) и (21.19)
время t, получаем искомое уравнение траектории
®
(0)
u
частицы:
= err (21.20)
j
20-
Таким образом, рассматриваемая частица
при 0
M
0
Рис.4. 8
E и
логарифмической спирали (рис. 4.8). Время падения
r= ; за это время частица успевает
mL
«падает» на силовой центр по
2
at
4/
0
совершить бесконечно большое число витков
( 0
r при
).
§ 22. Классификация орбит. Финитное и инфинитное движения
Проведём качественное исследование движения частицы в центрально-
симметрическом поле
rU , т. е. необходимо определить разрешенные и запре-
щенные области изменения координаты r, найти поворотные точки, отделяющие разрешенные области от запрещенных, и установить характер движения в
каждой из разрешенных областей.
Такой качественный анализ движения в центрально-симметрическом поле
проводится с помощью графиков одномерного эффективного потенциала
62
(
)
rU
(
)
³
-
(
)
=
r
a
=
=
a
=
a
=
>
a
<
£
¹
(
)
®
¥®r
(
)
>
(
)
¥
r
=
, строящихся в общем случае для различных фиксированных значений
эфф
механического момента L, и графика полной энергии частицы E.
Поскольку кинетическая энергия чисто радиального движения частицы
2
2/
mr должна быть положительно определенной величиной, то из закона со-
хранения энергии (21.5) вытекает неравенство:
эфф
rUE
(22.1)
,0
которым и определяются указанные области изменения координаты r. Поворотные
точки (или границы движения), разделяющие разрешенные и запрещенные
области, определяются уравнением:
эфф
.rUE
(22.2)
Приведем в качестве примера качественное исследование движения
(m-частицы в центрально-симметрическом поле, в котором ее потенциальная
энергия имеет вид:
()
rU
.
-= (22.3)
n
Выбирая для исследования потенциальную функцию (22.3), мы охватываем
тем самым довольно широкий круг физических задач. Действительно, при 1
п
функция (22.3) представляет собой потенциальную энергию частицы в кулоновском поле, т. е. в поле тяготения, если
или в электростатическом поле точечного заряда, если
физики). Потенциальная функция (22.3) с 6
п используется в задачах молеку-
mGm
(задачи небесной механики),
21
qq
(задачи атомной
21
лярной физики для описания межмолекулярного взаимодействия (потенциал
Ван-дер-Ваальса).
Рассмотрим в начале случай: 0
и 21
n
(слабо сингулярное поле при-
тяжения). Одномерный эффективный потенциал m-частицы, движущейся в
поле (22.3) с указанными значениями параметров a и n, при 0
2
L
2
.
2
r
m
+-= (22.4)
n
эфф
()
rU
a
r
L имеет вид:
График этой функции представлен на рис. 4.9. Для качественного исследо-
вания движения нет необходимости особо
E>0
тщательно вычерчивать график кривой
rU
; для этого достаточно сначала ис-
эфф
следовать асимптотику этой кривой при
0
0
r
1
r
2
r
r
0
3
Рис. 4.9
r
4
E=0
E<0
ЭФФ
r и
учетом возможного числа ее экстремумов и
точек пересечения с осью r.
Из графиков
min)(UE
ных на рис. 4.9, видно, что при 0
шенной областью является интервал
т. е. вся бесконечная плоскость, перпенди-
, а затем дорисовать график с
и E, изображен-
rU
эфф
E разре-
,1r ,
кулярная вектору L, за исключением круга
63
радиуса
m
=
=
<
<
r
(
)
a
-
=
(
)
a
-
j
D
p
P
r . Следовательно, движение
1
-частицы в этом случае является инфи-
нитным; оно осуществляется по траектории гиперболического типа (см. рис.
4.10, на котором запрещенная область заштрихована), при этом m-частица мо-
жет приходить из бесконечности, приближаясь к силовому центру O до расстояния
r и снова уходить на бесконечность. Таким образом, процесс движе-
1
ния частицы в рассматриваемом случае является процессом рассеяния.
Аналогичный характер имеет движение и при 0
E ,
однако, имея в виду промежуточное положение этого
случая между состояниями с положительными и отрица-
0
тельными значениями энергии, принято считать, что
0
движение частицы с
E
происходит по траектории
параболического типа.
r
1
При 0
E разрешенной областью является кольцо,
ограниченное окружностями с радиусами
0
му движение m-частицы при
E
является финитным.
r и
3
r
, поэто-
4
Траектории финитного движения m-частицы в по-
тенциальной яме (
Рис. 4.10
r ,
3
r
) условимся называть траекто-
4
риями эллиптического типа. Указанные траектории
будут замкнутыми орбитами (в том числе, эллиптиче-
скими) только в том случае, если периоды
T и
T изменения переменных
r
j
и j
между собой соизмеримы, т. е. если
r
max
=D
2
j
r
min
ò
L
dr
2
r
[ ]
-
2
m
эфф
()
rUE
=
,2
n
p
(22.5)
где n – рациональное число (целое или дробное).
Существует теорема Бертрана, утверждающая, что единственными центрально-симметрическими потенциалами, для которых орбиты связанных состояний при любых начальных условиях представляют собой замкнутые кривые (эллипсы), являются кулоновский потенциал
мерного изотропного осциллятора
2
2/
krrU = .
rrU /
и потенциал трех-
В произвольном центрально-симметрическом поле, сколь угодно мало отличающемся от r/
или 2/
2
rk ,
не является рациональной частью
2 . По-
этому в общем случае траектория финитного движения не является замкнутой.
В процессе движения частица бесчисленное число раз проходит через перицентр и апоцентр и за бесконечно большой промежуток времени плотно заполняет кольцо (
r ,
3
r
). Такие траектории, как правило, имеют вид розетки
4
(рис. 4.11).
64
При
(
)
®
=
³
(
)
¥
<
(
)
=
=
j
const
=
j
³
<
£
³
(
)
¹
>
£
£
(
)
>
(
)
¥
(
)
<
<
(
)
(
)
¥
(
)
(
)
£
(
)
>
j
D
r
r
ется в окружность радиуса
UE
эфф
кольцо (
min
r ,
r ) сжима-
3
4
r , по которой и
0
происходит движение частицы. Движение по
указанной круговой орбите является устой-
r
4
0
r
3
чивым, так как точке
мум эффективного потенциала. Последнее
означает, что малое возмущение движения
r соответствует мини-
0
частицы не может изменить ее круговую
орбиту.
График эффективного потенциала (22.4)
для тех же значений параметров a, п и 0
представлен на рис. 4.12. Разрешенные об-
0
Рис. 4.11
ласти в этом случае: при
нечная плоскость
,0 r . Движение при любых начальных усло-
0
,0 , а при 0
виях – чисто радиальное (одномерное). Действительно, равенство 0
сильно требованию 0
&
, откуда
. При любом значении энергии E
E
– вся беско-
E – область
L равно-
L
возможен захват частицы силовым центром: при 0
большого расстояния, а при 0
E с расстояния
E с любого, сколь угодно
rr
. Если 0
0
E и
&
00>r
, то
происходит уход частицы на бесконечность.
Рассмотрим теперь, ограничившись случаем
ЭФФ
ra-=)(U
n
0
L , сильно сингулярное поле притяжения (22.3)
с 2
n . График эффективного потенциала (22.4)
для этого случая представлен на рис. 4.13. Разре-
r
0
Рис. 4.12
E>0
E<0
шенными областями являются: при 0
радиуса
плоскость
разрешенные области
потенциальным барьером
rr
, при
21
,0
, а при
UE
эфф
0
,0 r и
3
– вся бесконечная
max
UE
эфф
, rr .
43
Движение частицы в области
на центр с конечного расстояния, происходящее,
E – круг
имеются две
max
,4r
, разделенные
,0 r
– падение
1
как правило, по спиралеобразным траекториям (см.
пример 3). В отдельных случаях падение частицы
на центр может осуществляться по более простым траекториям, например, по
дуге окружности. Захват частицы силовым центром при 0
висимо от знака ее начальной радиальной скорости: при
&
0
на центр, все время приближаясь к нему, а при
мента времени
t
, пока она не попадет в поворотную точку
1
r
E происходит неза-
&
00<r
частица падает
частица до некоторого мо-
r
и не изменит на-
1
правление своей радиальной скорости, удаляется от центра поля и только затем
начинает на него падать.
65
(
)
>
(
)
(
)
(
)
=
(
)
(
)
<
<
(
)
(
)
(
)
¥
£
(
)
¥
=
(
)
>
ЭФФ
=
r
r
n
r
2
2
r
m
a
)(U
2n,
>+-=
UE
0 ЭФФ
max)(
2
L
Условие падения на центр можно
получить из неравенства (22.1), если
переписать его в виде:
2
2
()
rUr
L
2
m
2
Er
£+
устремить r к нулю. Указанное усло-
0
r
1
r
2
r
3
r
0
r
4
E>0
E<0
вие имеет вид:
2
2
[ ]
lim
0
r-<®
()
rUr
L
.
(22.6)
2
m
Для степенного потенциала
(22.3) такое требование выполняется
при
2
L
>=
,
(22.7)
2
m
>>
.0,2
a
Рис. 4.13
ì
ï
í
ï
î
,2
еслиn
еслиn
a
На этом и основано деление полей (22.3) на слабо и сильно сингулярные.
В сильно сингулярном поле (22.3) при
силовым центром с бесконечно большого расстояния, если
бесконечность с любого конечного расстояния, если
&
00=r
возможно движение частицы по круговой орбите радиуса
UE
эфф
возможен захват частицы
max
&
00<r
, и ее уход на
&
00>r
. При
r . Однако это
4
UE
эфф
max
движение крайне неустойчиво: при сообщении частице сколь угодно малого радиального импульса она или падает на центр поля, или улетает на бесконечность.
При
0
движется в области
указанных областей ничем не отличается от ее падения на центр при 0
Движение в области
UE
эфф
частица в зависимости от начальной координаты
max
,0 r или
3
,
r является инфинитным и осуществляется по траекто-
4
,4r
, при этом движение частицы в первой из
0r
E .
риям гиперболического типа, т. е. происходит процесс рассеяния частицы.
В поле притяжения (22.3) с 2
п одномерный эффективный потенциал
частицы имеет вид:
22
L
m
L
m
22
( )
а
8.22,
( )
б
8.22.
>
2
<
aa
2
эфф
()
=
rU
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
--
-
ö
L
÷
если
,
÷
2
m
ø
ö
÷
если
,
÷
ø
a
æ
1
ç
a
2
ç
r
è
æ
L
1
ç
2
ç
2
m
r
è
Графики этих функций представлены на рисунках 14а и 14б, из которых
видно, что в случае
2 L>
ma
2
при любых E и
&
00<r
может происходить паде-
и
ние частицы на центр поля (с конечного или сколь угодно большого расстояния), а в случае
2 L<
ma
2
возможно только инфинитное движение с 0
E по тра-
екториям, аналогичным кривой, изображенной на рис. 4.10. Во втором случае
при достаточно больших E может наблюдаться эффект орбитирования.
66
r
r
r
a
>
r
(
)
a
-
=
=
a
ось
n
.
ЭФФ
1
)(U
(
2
r
0
0
a
--=rr
E>0
2
L
)
2
m
E>0
E<0
а б
0
r
0
Рис. 4.14 а, б
В заключение рассмотрим поведение частицы в поле отталкивания:
() ( )
rU
a
n
(22.9)
.0,0 >>= n
График одномерного эффективного потенциала для частицы, движущейся в таком поле, аналогичен потенциальной кривой, изображенной на рис.
4.14 б. Отсюда следует, что в поле отталкивания
r
0
P
(22.9) возможно только инфинитное движение с
0
E . Примерный вид траектории частицы в этом
случае представлен на рис. 4.15. Если движение
0
частицы происходит строго по гиперболической
траектории, то центр поля совпадает с ее внешним
фокусом. Этим инфинитное движение в поле (22.9)
существенно отличается от аналогичного движения
в поле притяжения (22.3) (см. рис. 4.10).
Рис. 4.15
§ 23. Задача Кеплера
Важнейшим случаем центрально-симметрических полей являются поля, в
которых потенциальная энергия m-частицы (или энергия взаимодействия частиц с массами
m
нальна r, а соответствующие силы обратно пропорциональны
1
и
m
в эквивалентной задаче двух тел) обратно пропорцио-
2
2
. Сюда следует
отнести ньютоновские поля тяготения и кулоновские электростатические поля.
Задачу о движении частицы в кулоновском поле
лентную задачу об относительном движении в системе двух частиц
rrU /
(или эквива-
m и 2m , взаи-
1
модействующих по тому же закону) принято называть задачей Кеплера.
Рассмотрим задачу о движении m-частицы в кулоновском поле притя-
жения, в котором постоянная a положительна. В зависимости от конкретного
вида этой постоянной указанная задача может быть задачей небесной механики
(если
(если
a
mGm
) или классическим вариантом задачи о водородоподобном атоме
21
2
, где Z – порядковый номер атомного ядра и e – заряд электрона).
Ze=
67
Задача состоит в отыскании конкретного вида траекторий m-частицы и за-
¹
(
)
a
-
=
конов ее движения по возможным орбитам. Из выражения для ее эффективного
потенциала в кулоновском поле
()
rU
эфф
очевидно, что при любом допустимом значении полной энергии E и
a
+-= (23.1)
r
2r
m
2
L
0
коор-
2
L
дината r может принимать минимальное значение, определяемое выражением:
2
æ
a
ç
11
r (23.2)
2,1
ç
2
E
è
+±-=
2
ma
EL
ö
÷
.
2
÷
ø
Поэтому уравнение траектории частицы можно получить, обращаясь к общей
формуле (21.14). Подставляя в нее
r
=
j
ò
r
min
L
r
E
2
m
rrU /
, получим:
dr
2
.
(23.3)
2
ma
r
L
-+
2
r
2
Интеграл в правой части равенства (23.3) подстановкой rx /1= приводится к
табличному виду:
=
rx
откуда
j
arccos
=
/1
-=
j
Lx
-
2
m
E
+
ma
L
ò
x
max
22
am
2
L
E
2
m
/1
rx
=
arccos
=
x
max
Ldx
22
æ
ç
2
L
è
2
L
ma
2
1
+
Lx
1
r
ma
-
EL
maam
--+
L
1
2
2
(23.4)
,
2
ö
÷
ø
следовательно, искомое уравнение траекторий имеет вид:
p
r
где .,
1
e
,cos1je+=
(23.5)
2
ma
2
2
2
L
pEL=+= (23.6)
ma
Полученное уравнение (23.5) является фо-
кальным уравнением конического сечения (или
кривой второго порядка), т. е. это такое уравнение кривой второго порядка, когда за начало
координат принят один из ее фокусов, совпадающий с центром поля O . При этом постоян-
0
ную e называют эксцентриситетом кривой
второго порядка, а постоянную p – фокальным
параметром. Фокальный параметр любого конического сечения (гиперболы, параболы, эллипса
или окружности) равен расстоянию между его
Рис. 4.16
фокусом и точкой пересечения с осью Oy , перпендикулярной апсиде OP (рис. 4.16).
68
Полученное решение задачи полностью согласуется с качественным ана-
(
)
a
-
=
(
)
>
e
>
(
)
=
e
=
(
)
<
e
<
(
)
=
e
<
<<
a
1,11
m
a
=
a
>>
=
m
=
лизом движения m-частицы в слабо сингулярном поле притяжения. Действительно, из выражений (23.6) и (23.5) очевидно, что траекторией m-частицы в
кулоновском поле притяжения
а) гипербола
б) парабола
в) эллипс
г) окружность
1
, если 0
1
, если 0
1
, если
0
E ;
E
радиуса
В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по тому же закону, траекториями каждой из
частиц будут аналогичные кривые второго порядка с
фокусом, совпадающим с их общим центром масс. В
0
качестве примера на рис. 4.17 представлены эллиптические орбиты частиц с массами
щие случаю:
Рассмотрим более подробно эллиптическое дви-
Рис. 4.17
жение. Выразим большую и малую полуоси эллипти-
ческой орбиты m-частицы и период ее обращения через
основные постоянные задачи E, L и a:
p
=
a
2
e
1
-
=
rrU /
может быть:
E ;
0
;
2
ma
/
L , если .2/
0
E
и
=
p
abT
b =
=
,
x
2
-
ö
æ
L
÷
ç
÷
ç
2
m
ø
è
e
1
-
1
pa
=
22
LEma-=
m и 2m , соответствую-
1
mm
(система Земля – Солнце).
21
Lp
2
(23.7)
mx
2
m
,
(23.8)
3
2
x
где E=x. Заметим, что малая полуось эллиптической орбиты зависит как от
энергии частицы x, так и от ее механического момента L, а большая полуось –
только от энергии. Поэтому при заданной энергии эллиптическая орбита частицы
сплющена тем больше, чем меньше ее механический момент.
Наименьшее и наибольшее расстояния (m-частицы до центра поля О или
координаты перицентра и апоцентра ее траектории) определяются выражениями:
p
= a
r
+
( ) ( )
e
ra
e
maxmin
С помощью формул (23.8), (23.9) можно вычислить отношение
p
=-=
e
-
.1
e
+=
(23.9)
32
/ aT и
проверить выполнение третьего закона Кеплера. Нетрудно видеть, что для
-частицы указанное отношение равно:
T
3
В системе планета – Солнце, постоянная
m – масса Солнца. Если
2
a
где
– большая полуось эллиптической орбиты планеты. Подстановка в ра-
1
mm
2
, приведенная масса системы
12
2
4
mp
=
.
a
mGm
, где
21
(23.10)
m – масса планеты, а
1
m
1
и
aa
1
венство (23.10) указанных значений m, a и a дает:
69
,
откуда видно, что отношение
>
m
(
)
a
-
=
epj
=
2,11
a
=
p
j
=
=
(
)
=
u
a
>
Рис.
4.18
j
j
2
T
3
a
1
2
/ aT в этом приближении одинаково для всех
1
3
4
p
Gm
2
,
const
==
2
(23.11)
планет Солнечной системы.
Если теперь требуется учесть движение Солнца (или тот факт, что масса
m не
2
стремится к бесконечности), то следует принять:
m
2
a
=
1
3
при этом отношение
или .
2
/ aT оказывается равным:
1
2
æ
T
ç
1
3
a
1
+=
ç
è
2
T
3
Gm
a
1
4
m
m
1
2
2
2
ö
÷
÷
ø
æ
ç
ç
è
3
1
T
a
+=
a
mm
+
21
2
4
3
a
2
ö
m
1
÷
÷
2
ø
=
m
2
æ
mp
ç
ç
è
2
4
pp
Gmm
2
mm
21
,,
(23.12)
mm
+
21
3
ö
m
1
÷
m
1
,1
÷
2
ø
ö
2
m
1
+»
÷
(23.13)
÷
m
2
ø
+=
æ
ç
ç
è
Отсюда видно, что в отличие от первых двух законов Кеплера (23.5) и
(21.3), выполняющихся строго, третий закон (23.11) является приближенным,
хотя и выполняется с большой точностью.
При 0
y
E движение
rrU /
происходит по гиперболическим тра-
-частицы в поле
M
1
M
2
0 P
2
1
Асимптотами этих траекторий являются прямые,
параллельные лучам
x
направлением полярной оси Ох углы
m
2,1
/1arccos
OM и
OM
1
образующим с
2
,
. Наименьшее расстояние до
центра поля можно представить в виде:
r
=
min
При 0
E эксцентриситет конического сече-
p
+
( )
e
aa
e
.
=-=
(23.14)
E
ния (23.5) равен единице. Это означает, что движение m-частицы происходит по
екториям, огибающим центр поля (рис. 4.18).
min
Ox
(углы
pr
. Этот
параболической траектории с асимптотами, параллельными оси
), и расстоянием между перицентром и точкой O , равным 2/
2,1
случай инфинитного движения в кулоновском поле притяжения осуществляется,
если m-частица начинает двигаться из бесконечно удаленной точки с начальной
скоростью
00
.
Рассмотрим движение m-частицы в кулоновском поле отталкивания, в ко-
тором ее потенциальная энергия
() ( )
rU (23.15)
a
.0>=
r
0
В этом случае возможно только инфинитное движение с
E
. Чтобы
найти уравнение соответствующей траектории, надо вновь обратиться к общей
формуле (21.14), при этом все промежуточные вычисления будут повторять
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]