Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие

ГЛАВА 6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

k

¢

zyx

k

,,:

¢¢¢

¢

0=t

O

¢

Oz

0=t

k

¢

k

¢

k

¢

=¢-¢+¢+

¢

¢-¢+¢+¢=-++

t

¢

ct

R

=

tcR

¢=¢

t

¢

=

u

-=¢¢=¢=

--++=-+

+

u

t

¢

¹

¢-¢+¢+¢=-++

¢=¥

®

k

¢

х

у

z

k

z

¢

k

¢

§ 29. Основной закон релятивистской механики. Преобразование Лоренца

Релятивистская механика возникла в ХХ веке как специальная теория относительности (СТО). Закономерности ньютоновской механики заняли в ней место предельных случаев.

Основной постулат релятивистской механики: в инерциальных системах отсчёта (ИСО) скорость света в вакууме с одинакова во всех направлениях (закон неизменности скоростей света), следовательно, физические явления проте-

кают одинаково во всех ИСО.

Запишем основной постулат математически. Рас-

0

а

смотрим две инерциальные системы координат k и неподвижная и подвижная система отсчёта

zyxk

,,: . Пусть их оси параллельны, и начало коор-

динат совпадают при

направлена вдоль оси

. Скорость начала координат

. При

в начале коор-

-

и

динат вспыхивает источник света.

В системах k и

будет распространяться сферическая волна с центром в начале координатk и Уравнение фронта волны для k-системы:

x¢

Рис. 6.1.

0

б

у¢

для

-системы

На основании основного постулата:

2222

0

=-++ Rzyx

2222

Rzyx

.0

22222222

(29.1)

RzyxRzyx

.

Это равенство возможно, если t и Обозначим

,

. Пусть

tzzyyxx

2222222

Следовательно,

.

различны.

, тогда

,,

0

tctzyxtczyx

(29.2)

0

222

,)(

– что неверно!

Подставим (29.2) в уравнение (29.1), получим:

2222222222

(29.3)

,

tczyxtczyx

Уравнение (29.3) является математической записью основного постулата

ttс

релятивистской механики. И только при

,

получаем фундаментальное

соотношение механики Ньютона. Постулат учитывает конечное распространение скорости света с.

Найдём формулы преобразования координат и времени при переходе от

системы k к

. Обозначим

2

,1,

i (29.4)

-== iictt

(29.4) подставим в (29.3), основной постулат запишем в виде:

22222222

¢

+

=+++

),,,(

tzyx – координаты четырёхмерного вектора.

i

+

(29.5)

,

tzyxtzyx

+

ii

91

Уравнение (29.5) является условием ортогональности преобразования по-

+++=¢+++=

¢

=

=-=

¢

u

=-=+=

¢

b

bbbb

-

ubb

-

+

-

b

<<¥=

u

-=¢¢=¢=

¢

=

k

¢

k

¢

u

r

k

¢

u

r

ворота четырёхмерных координатных систем.

,,

tazayaxaytazayaxax

2423222114131211

ii

¢

+++=

¢

+++=

(29.6)

.,

tazayaxattazayaxaz

4443424134333231

ii

i

Из уравнения (29.6) следует, что преобразования координат и времени

равноправны. Коэффициенты

,,,,, aaaaaa – мнимые.

434241342414

С учётом уравнения (29.2) составим матрицу:

0001

æ ç

ç ç

00

ç ç

00

è

ö ÷

0010

÷ ÷

aa

3433

÷ ÷

aa

4443

ø

Коэффициенты матрицы связаны уравнениями:

2

34

33

2

44

43

44344333

.0,1,1

=+=+=+ aaaaaaaa

Получим три уравнения с четырьмя неизвестными.

,0

Учитывая начальные условия при 0

t

0

i

u

itz

0 i

c

,

ti

b

-=-== где

1

=

33

1

-

¢

=

¢

=

¢

b

=

c

aaia

333334

,

aa

2

b

¢

,,

tazat

=+=

4443

ii

¢

=

t

t ,

0

,

ii

22

,1)1(,

=-=

bb

i

=

34

1

-

ictzi

2

1

-

b

/

u

-

czt

0

2

1

b

-

aiattazaz

,0)(

33343433

,

2

=+=

tazazyyxx

3433

i

¢

,

tic

=

2

tzz

0

получим:

1

=

44

1

i

=

2

-

,

aa

43

2

-

tztiz

0

,

2

11

b

-

i

=

1

b

-

(29.7)

.

2

Формулы (29.7) называются чисто Лоренцевыми преобразованиями (прямое преобразование Лоренца), в них содержатся все особенности и свойства релятивистского преобразования координат и времени.

При cc

Из (29.8) найдем обратное преобразование Лоренца от системы k к

Следовательно, если система

, то система k движется относительно

0

,

0

из (29.8) вытекают преобразования Галилея:

,,

tzzyyxx

,

0

.

tt

:

2

¢

u

+

tz

¢

=

¢

,,

=

zyyxx

0

,

2

1

b

-

¢

=

t

¢

/

u

×+

czt

0

.

2

1

b

-

движется относительно k со скоростью

со скоростью

. Преобразования

0

Лоренца включают в себя первый закон Ньютона и постулат о неизменности скорости света с.

92

O

¢

k

¢

0

=

¢

z

u

-

k

=

k

¢

¢=¢¥®

-

=

u

-

¢

¥

=

c

<<

u

k

¢

2

§ 30. Свойства пространства и времени. Теорема сложения скоростей Энштейна

Найдём количественные соотношения при переходе от времени t в системе k ко времени t¢ в системе k¢. Часы поместим в начало координат для них

, из преобразований Лоренца (29.7) найдём:

tz

0

=

0

2

1

b

-

=Þ

¢

,

tz

u

=

t (30.1)

0

2

b

-

1

=

2

b

-

b

-

ttt

1

b

-

2

)1(

1

t

2

b

-=

системы

Из уравнения (30.1) следует, что движущиеся часы идут медленнее покоящихся часов. Наблюдается замедление хода часов в подвижной системе координат.

Время в системе k¢– собственное

¢

tt .

2

1bt-==

Понятие «одновременность»

Пусть в точках с координатами ),,,( временно произошло два события: .

2

/

u

×-

czt

В системе

¢

:

=

t .

1

101

,

2

1

b

-

21

¢

=

t

2

ttt

u

1

tzyx и ),,,(

×-

b

-

1111

2

/

czt

202

2

tzyx в системе

2222

одно-

Таким образом события одновременные в системе k не будут одновременными в k¢ (при

, ttc

21

).

Эффект Лоренца-Фицджеральда

Пусть в k-системе стержень имеет длину

zzl

. Определим размеры

10

стержня в k¢-системе, воспользовавшись прямыми преобразования Лоренца:

2

tz

¢

=

z

¢

u

-

z

0

¢

=

z

1

¢

/

u

+

-

czt

0

2

1

b

-

2

b

¢

0

;

2

1

b

-

2

¢

Þ

1

z

¢

+-

¢

Стержень, покоящийся в системе

¢

=

t

2

b

=-

2

--=

k

будет иметь длину

,

¢

u

/

×+

czt

0

2

1

b

-

2

222

--=

ubbb

0

¢

.1

tzz

ub

0

¢

uub

-

--

2

1

b

-

¢

;1)1(

tzzz

22

¢

/1

cztz

00

;

l

в момент

равную:

=

¢

ll – эффект Лоренца–Фицджеральда или лоренцево сокращение: дви-

2

1b-=

1212

¢

-

2

---=

ub

¢

)(1)(

ttzzzzl

-

.

120

,

t

,

жение сопровождается уменьшением расстояния в направлении движения. При

или

Определим с какой скоростью должна двигаться

это сокращение наблюдать невозможно.

-система, чтобы рас-

стояние сократилось в два раза:

l

¢

l

93

2

,1

b

-==

2

4

2

M

t

dxddt

¢

(

)

(

)

отсюда

u

1

0

1

,

u

2

0

3

cc==-

.

Для вывода теоремы сложения скоростей Эйнштейна рассмотрим движение точки

в неподвижной и подвижной системах координат. Используя обратные

преобразования Лоренца, найдём бесконечно малые приращения:

2

¢

=

¢

,,

=

dzyddyxddx

+

=

1

¢

u

tdzd

0

,

dt

2

b

-

¢

+

=

¢

/

u

1

czdtd

0

b

-

,

2

dx

=uu,

следовательно,

2

1

u

= .

x

Аналогично ,

-

u

æ

0

1

+

ç

2

c

è

u

¢

xd

b

=

¢

zd

ö ÷

¢

td

ø

¢

=

x

-

+

¢

td

2

1

b

-

/1

uu

0

z

2

1

b

-

uu

0

2

u

2

¢

/1

c

z

¢

,

uu

=

yx

Теорему сложения скоростей можно получить из формул (30.2). Из рис. 6.2 следует, что

¢

=

2222

=++=

uuuu

zyx

2

¢

=

+

zyx

æ ç

222

¢

è

¢

++

0

1

0

¢

uu

0

+

2

-

2

ö ÷

ø

¢¢

-

¢

sincos2

Левую и правую части формулы (30.3) разделим на единицу. Получим следующее уравнение:

2

¢

2

u

2

c

u

2

1

=-

¢

=

xx

¢

,

u

x

= (30.2)

y

1

-

uu

-

0

¢

2

1

b

¢

uu

+

0

z

2

b

2

/1

z

¢

,

uu

2

/1

¢

,

uu

zy

z

=

-

0

¢

uu

+

0

z

=

+

uu

-

0

2

/1

ccc

uu

z

2

/1

cc

uu

0

z

22

¢

+

yxz

¢

+

æ ç

è

222

aubauuuuuu

uu

0

1

+

c

¢

=

2

0

-+

2

ссс

¢

æ ç

è

uu

0

1

z

+

2

c

¢

=

222

2

uuu

ö ÷

¢

+

zyx

2

¢

ö

z

÷ ø

2

++

0

22

¢

1

-

4

2

ø

2

,)sin(,cos

auuuauu

2

)())(1(

+

uuuub

0

=

(30.3)

222

¢

0

¢

uu

æ

1

+

ç è

;

ö

0

zz

÷

2

cc

ø

2

с , а затем вычтем

¢

-

2

sincos2

aubauuuu

94

2

k

¢

Oz

=¢=¢=

=

uuu

u

(

)

k

¢

~

rrr

r

+++

=

r

~

rrr

r

~

¢

æ ç

ç

2

u

1

è

=-

2

c

ö

u

÷

-

2

÷ ø

æ

0

1

+

ç

c

è

2

æ ç

11

ç è

uu

2

ö

u

0

÷

-

2

÷

сс

ø

;

2

¢

ö

z

÷

2

u

1

=-

2

c

¢

-

с

¢

/1

uu

+

0

z

222

1/1

bu

-

2

с

(30.4)

ø

Формула (30.4) выражает теорему сложения скоростей Эйнштейна. Найдём связь ускорений точки M в k и вдоль оси

d

u

=

z

:

¢

d

u

z

-

2

¢

c

uu

+

/1

z

0

dt

=

a

z

¢

uu

+

z

( ) ( ) ( )

¢

+

d

u

dt

¢

uu

+

z

0

/

u

0

2

1

b

-

z

==

( )

u

0

2

c

/1

2

d

u

202

c

¢¢

+

=

1

22

/1

c

-

u

0

+

uu

0

2

¢

/1

c

z

- системах. Пусть точка M движения

0

yxyx

¢

0

+

1

¢

=

z

2

+

2

¢

/1

czdczdtd

uu

0

z

b

-

d

( )

+

td

2

¢

1

-

z

/1

uu

0

z

¢

zz

-

2

¢

c

uu

/1

z

0

u

2

bu

2

¢¢

tdc

2

uuuuu

0

-

2

ccc

d

dt

u

¢

zd

Þ

1

-

2

¢¢

=

z

=

( )

+

uu

0

u

-

/1

¢

=

z

¢

zd

=

0

¢

uu

+

u

/1

z

0

¢

z

,,

dt

3

2

b

¢

/1

z

¢

.

a

(30.5)

z

3

2

c

22

c

2

c

¢

d

u

z

2

Уравнение (30.5) выражает ускорения точки M при переходе из системы

в

ИСО.

§ 31. Динамические уравнения, второй закон Ньютона и энергия в релятивистской механике

Пространство Минковского

Переход от одной системы координат k к другой k¢ по преобразованию Лоренца не должен влиять на физические законы. Найдём величины, инвариантные относительно преобразований Лоренца.

Основной постулат релятивисткой механики можно рассматривать как условие неизменности модуля 4-компонентного вектора:

eictezeyexr

4321

– 4-x мерный вектор,

,,, eeee

– единичные векторы пространства Минковского.

4321

Точка этого 4-мерного мира описывает некоторое событие, происходящее в момент времени t в точке 3-мерного пространства ).,,( zyx

– 4-мерный вектор, его годограф представляет траекторию точки в про-

странстве Минковского – мировую линию.

Пусть есть две точки с координатами ),,,(

tzyx и ),,,(

1111

tzyx , описываю-

2222

щие события. Интервал между двумя событиям инвариантен относительно преобразований Лоренца:

2 12

2

12

2

12

22

2

,)()()()(

ttсzzyyxxL ---+-+-=

12

с – скорость света.

95

От величины L перейдем к величине t, связанной с L соотношением:

СttС

t

u

~

rrr

r

+++

=

~

rrrrr

u

r

u

r

t

(

)

~

u

¥

®

~

u

2

где

L

2

t

12

2

t

– разность времени между двумя событиями, происходящими в точках 1 и 2,

12

2

12

1

2

)(

2

12

2

12

2

],)()()[(

zzyyxx

-+-+---=-=

12

и времени, необходимом свету для прохождения расстояния между этими точками.

Если ,0

2

,0

<

t

12

то пространственно подобный. Границей между временно подобным и

пространственно подобным интегралами служит 0

2

>

t

12

то интервал между двумя событиями временно подобный, если

2

=

t

.

12

Определим бесконечно малые перемещения вдоль мировой линии.

~

)

(

é

22

1

dtd

ê ê

ë

é

1

dx

C

æ ç

ê

2

dt

è

ê

ë

-= )1(

é

dtCdtCdzdydxrd -=

ê ë

dy

æ

ö

+

ç

÷

dt

è

ø

1

22222222

2

C

222

ù

dz

ö

æ

ö

+

÷

ç

÷

è

ø

2

1bt-= dtd

dt

ú

ø

ú

û

++--=-++=

dt

ù

)(

ú û

ù

22

-=

bt

ú ú

û

22222

t

dCdzdydx

– собственное время точки,

d

– дифференциал мирового скаляра, инвари-

антен относительно преобразований Лоренца.

Мировой скоростью или вектором 4-скорости называется вектор

eicdtedzedyedxrd

,

4321

edzedyedx

u

==

d

t

dt

rd

~

++

321

-

ic

+

e

4

22

bb

-

u

=

-

2

1bt-= dtd

+

– скорость точки в 3-мерном мире.

Вектор риантен rd~ и

инвариантен относительно преобразований Лоренца, т. к. инва-

d . Модуль вектора мировой скорости С – мнимая величина, т. к.

~

=

u

-

1

=

2

b

22

-

u

2

--

u

-

b

1

222

ССС

/1

2

~

iСС

-=-=

u

,

Вектор мирового ускорения или вектор 4-ускорения:

2

rd

===

2

d

tt

1

d

1

-

u

.

2

dt

b

W

r

d

u

d

Мировой вектор количества движения или 4-вектор импульса:

u

mP =

,

где m – масса покоя.

Проекции импульса на оси координат равны:

u

m

x

=

P

1

,

P

2

b

-

m

y

=

2

1

,

P

3

2

b

-

u

m

z

=

1

,

P

2

-

icm

=

4

1

-

.

r

ic

e

4

22

1111

bb

-

.

2

bb

Второй закон Ньютона – основной закон динамики материальной точки. В мире Минковского вводят обобщение этого закона, который при ращается в классический 2-й закон Ньютона.

Основной закон динамики релятивисткой механики: произведение массы покоя m на вектор мирового ускорения равен 4-вектору силы:

d

F

m

~

=

d

t

. (31.1)

96

C об-

Этот закон можно рассматривать как определение 4-мерной силы.

F

~

r

u

~

u

2

~

u

~~~

=

~

r

(

)

r

– 4-мерный закон Ньютона, он инвариантен относительно преобразований

Лоренца.

Перейдём от собственного времени t ко времени t, преобразуем закон (31.1):

rdm

2

dt

b

1

~

2

F

b

-=

(31.2)

m

d

dt

1

-

m

=

r

1b-

– релятивистская масса. Масса зависит от скорости света при ско-

2

ростях u соизмеримых со скоростью света с. Экспериментальные проверки дали положительные результаты. Увеличение массы точки происходит при разгоне частиц в магнитном поле.

Второй закон Ньютона:

r

d

dt

Fm

=)(

u

r

Проекция равенства (31.2) в мире Минковского запишем в виде:

dP

dt

dP

2

dt

2

F

2

1

F

1

dP

2

3

dt

3

2

1,1,1

bbb

-=-=-= F

Исследуем временную составляющую:

)(

2

1

b

F

4

icmd

=×-

1

dt

. (31.3)

2

b

-

Умножая уравнение (31.3) на скорость

d

~

u

m = ,

t

d

следовательно: .0

=

u

F

~

u

F

m

d

,

t

d

~

=

u

F

1

Из (31.4) найдём:

~

u

F

= но ,

u

F

+

2

-

b

F

4

, получим:

icF

4

2

1

-

b

i

=

c

2

uuu

,0

=

(31.4)

u

F

2

1

b

-

2

С-==

,constС

Учитывая (31.3) и (31.5), запишем временную составляющую второго закона Ньютона в мире Минковского:

u

F

icmd

( )

1

b

-

dt

r

Из (31.6) ,

dT

u

F

dt

i

=

2

c

1

æ

d

ç

==

ç

dt

1

è

(31.6)

2

b

-

2

mc

ö ÷

2

÷

-

b

ø

Кинетическая энергия T может быть найдена из уравнения (31.7):

2

T +

mc

=

-

1

const

2

b

(31.8)

(31.5)

(31.7)

97

Уравнение (31.8) выражает закон сохранения энергии в релятивистской

<<

u

c

<<

u

¢

механике. Из начальных условий найдём постоянную интегрирования:

2

-mcconst =

2

æ

mc

ç

T -

=

ç

1

è

при ,1/

c

.

2

mcT =-

Из (31.9) следует, что в предельном случае при

ö ÷

2

÷

-

b

ø

æ

1

ç

1

+= (31.9)

ç è

2

mc

2

ö ÷

mc

2

÷

c

ø

m

2

uu

22

определения кинети-

ческой энергии в классической и релятивистской механике совпадают.

Контрольные вопросы

1. Как формулируется основной постулат релятивистской механики?

2. Запишите линейные преобразования координат и времени.

3. В чём заключается суть прямых преобразований Лоренца? Обратных

преобразований Лоренца?

4. Что называется собственным временем?

5. В чём суть относительности понятия одновременности событий?

6. В чём заключается эффект Лоренца – Фицджеральда?

7. Как устанавливают связь между составляющими скоростей точки в сис-

темах k и

k

?

8. Как изменится ускорение точки при переходе от системы k к системе k¢?

9. Выведите теорему сложения скоростей Эйнштейна.

10. Что называют пространством Минковского?

11. Чему равен интеграл между событиями в мире Минковского?

12. Как определить вектор 4-скорости?

13. Чему равен 4-вектор импульса и его составляющие?

15. Запишите компоненты 4-вектора силы?

15. Запишите основной динамический закон релятивистской механики.

16. Как формулируется релятивистский закон Ньютона в трёхмерном

пространстве?

17. Установите понятие кинетической энергии в релятивистской механике.

98

ГЛАВА 7. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

r

u

r

=

rKr

r

§ 32. Классификация связей

В классической механике рассматривается движение свободных механических систем. Для таких систем в любой момент времени можно произвольным образом задать значения радиусов-векторов

r

и скоростей

i

всех частиц, вхо-

i

дящих в данную систему. Взаимодействие свободных систем с внешними телами осуществляется на расстоянии посредством различных полей.

Наряду с указанным способом осуществления механического взаимодействия тел существует другой тип взаимодействия, приводящий к ограничению свободы перемещения механической системы в пространстве, когда взаимодействие рассматриваемого тела (или системы тел) с другими телами осуществляется путем непосредственного соприкосновения. В общей механике учитывается основной эффект действия сил – ограничение свободы движения механической системы. Этот эффект принято характеризовать заданием некоторых дополнительных условий геометрического или кинематического характера, накладываемых ограничения на радиусы-векторы и скорости материальных точек, входящих в рассматриваемую механическую систему. В этом смысле говорят, что система несвободна, на нее наложены связи.

Под несвободной (или связанной) механической системой будем понимать систему материальных точек с наложенными на нее дополнительными условиями, связями, связывающими в общем случае радиусы-векторы и скорости ее точек. Аналитически связи выражаются уравнениями, а конкретно реализуются в виде поверхностей различных тел, твердых стержней, нерастяжимых нитей и т. д.

Наложение на механическую систему любых связей приводит к изменению в характере движения связанной системы, что объясняется силовым воздействием связей.

Силы, заменяющие эффект действия связей на механическую систему, называют силами реакции связей. Таким образом, на каждую точку несвободной механической системы действует два рода сил: заданные внешние и внутренние

силы

F

(активные) и силы реакции связей

i

R

(или пассивные силы), поскольку

i

эти силы исчезают, если связи устраняются. Силы реакции связей непосредственно не задают, а вместо них дают уравнения связей.

Различают следующие типы связей: голономные и неголономные, стацио-

нарные и нестационарные, удерживающие и неудерживающие, идеальные и реальные.

Голономными (или геометрическими) связями называют такие связи,

уравнения которых приводятся к виду:

21

trrrf

n

,0),,,,(

(32.1)

где f – функция только координат точек и времени. Голономная связь накладывает ограничения и на скорости точек системы. Действительно, дифферен-

цируя уравнение (32.1) по времени, получаем:

99

df

r

¶

=

rKr

r

D

-

=

dt

å

=

i

r

×=

u

i

1

¶

f

r

i

=

+

¶

.0

(32.2)

t

n

Из уравнения (32.2) видно, что ограничения накладываются лишь на составляющие скоростей, параллельные векторам

rf

/ . Другая особенность голо-

i

номной связи состоит в том, что ее дифференциальное уравнение (32.2) всегда можно привести к виду:

0),,,,(

21

trrrdf

n

и проинтегрировать. Поэтому голономные связи называют также интегрируемыми. Примером системы с голономной связью может служить сфериче-

ский маятник.

Неголономными, неинтегрируемыми или кинематическими связями называют такие связи, уравнения которых не сводятся к виду (32.1). Наиболее изучены линейные неголономные связи, дифференциальные уравнения которых имеют вид:

n

где

A , iB , iC и

i

å

=

i

1

&&

– функции координат точек и времени. Примером системы с

&

iiiiii

=+++

DzCyBxA

,0)(

(32.3)

неголономной связью может служить шар, катящийся по шероховатой плоской поверхности без скольжения.

Связь называют стационарной (или недеформируемой), если в ее уравнение явно не входит время t; в противном случае связь называется нестационарной (или деформируемой).

Удерживающими связями называют связи, задаваемые равенствами типа (32.1) или (32.3), а неудерживающие связи определяются неравенствами. На-

ложение на механическую систему удерживающих связей приводит к уменьшению числа ее степеней свободы, т. е. числа независимых параметров, однозначно определяющих положение системы в пространстве. Положение в пространстве свободной механической системы, состоящей из n материальных точек, как известно, однозначно определяется заданием n3 независимых коорди- нат ее точек. Однако если на эту систему наложено k удерживающих связей, то число независимых координат системы будет равно kns

3 .

Для несвободной материальной точки, движущейся по заданной поверхности или заданной кривой, связь называют идеальной, если сила реакции направлена по нормали к поверхности или кривой. Если сила реакции связи направлена под углом к нормали поверхности или кривой, то связь называется реальной, а поверхность или кривая – шероховатыми. Проекцию силы реакции связи на касательную к траектории движущейся материальной точки называют силой

Рис. 7.1

трения скольжения (рис. 7.1).

100