Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
Общая динамическая задача о движении несвободной механической сис-
r
r
r
r&&r
r
r
r
+
-
u
r
темы с голономными связями состоит в отыскании по известным активным силам
F
и заданным уравнениям связей закона ее движения и сил реакции связей
i
R
i
Эта задача сводится к совместному решению системы дифференциальных
уравнений движения и уравнений связей:
iiii
rr
a
r
K
21
n
=+=
(32.4)
),,2,1(0),,,,(
ktrrrf
K
==
a
),,,2,1(
niRFrm
K
с начальными условиями, удовлетворяющими уравнениям связей. Здесь n –
число материальных точек, входящих в систему, k – число наложенных связей
.
(причем наиболее интересен случай, когда nk 3<), а под
F
и
R
i
следует пони-
i
мать геометрические суммы сил:
где
R
a
i
Система kn
n
e
)(
å å
ii
= =
j
1 1
– сила реакции связи с номером a на i-ю точку.
3 скалярных уравнений (32.4) содержит n6 неизвестных
k
rrrrr
=+=
a
(32.5)
RRFFF
,,
iiij
a
величин: n3 координат точек и n3 проекций сил реакции связей. Поэтому в общем
случае сформулированная задача не является определенной. Основная задача
динамики оказывается полностью определенной для голономных систем с
идеальными связями. При этом возможны два пути решения задачи:
1. Система (32.4) дополняется kn
3 независимыми соотношениями между
координатами точек и реакциями связей, вытекающими из условий идеальности последних. В итоге получают систему уравнений, называемых уравне-
ниями Лагранжа первого рода, из которых одновременно определяются и координаты точек, и силы реакции связей.
2. Система (32.4) заменяется системой
независимых (или обобщенных) координатах, не содержащих явно сил реакций
kn-3
дифференциальных уравнений в
R и
i
называемых уравнениями Лагранжа второго рода (или просто уравнениями
Лагранжа). Эти уравнения позволяют сначала найти закон движения системы, а
затем с помощью уравнений (32.4) определить и неизвестные силы реакций.
В физических приложениях более широкое применение получил второй
способ решения динамических задач, связанных с движением голономных систем.
§ 33. Виртуальные перемещения и определение идеальных связей
Исследование общих свойств голономных связей тесно связано с понятиями о
возможных действительных и виртуальных перемещениях механической
системы.
Если на систему наложено k удерживающих голономных связей (32.1), то
скорости
ее точек должны удовлетворять k условиям вида:
i
df
dt
n
å
i
=
f
¶
r
×=
i
¶
1
f
¶
r
r
t
¶
i
aaa
+
==
au
K
).,,3,2,1(0
k
(33.1)
101
Поэтому бесконечно малые перемещения точек системы
D=D
u
r
r
¶
¶
r
D
r
¢
D
r
r
D
r
d
rrr
D-D
=
d
r
D
const
t
=
r
d
r
rrr
r
const
t
=
tr
ii
оказываются связанными между собой соотношениями
n
f
r
å
r
¶
1
i
=
i
Бесконечно малые перемещения
f
r
r
aa
+D×
i
t
¶
r
точек системы, совместимые с нало-
i
a
==D
K
).,,3,2,1(0
kt
(33.2)
женными на нее связями, т. е. удовлетворяющие равенствам (33.2), называются
возможными перемещениями системы. Действительными перемещениями точек
называют только те из возможных перемещений, которые наряду с равенствами
(33.2) удовлетворяют уравнениям движения (32.4). Бесконечно малые
действительные перемещения точек, происходящие под действием активных
сил и сил реакций связей, условимся обозначать через
rd
.
i
Рассмотрим теперь два бесконечно близких возможных перемещения
какой-нибудь точки:
r
и
r
i
. Разность этих перемещений называют виртуаль-
i
ным перемещением материальной точки. Бесконечно малое виртуальное пере-
мещение точки принято обозначать через
r
, т. е.
i
.
rrr
(33.3)
iii
Из соотношений (33.2) очевидно, что виртуальные перемещения системы
удовлетворяют уравнениям:
n
¶
f
r
å
=
i
a
r
¶
1
i
r
i
==×
ad
kr
).,,3,2,1(0 L
(33.4)
Соотношение (33.4) совпадает с уравнениями, которым удовлетворяют
возможные перемещения системы
r
, если на нее наложены стационарные связи.
i
Поэтому виртуальные перемещения часто определяют как бесконечно малые
перемещения точек системы, потенциально возможные для данного фиксированного момента времени
; в указанный момент времени связи как бы
«застывают» и прекращают изменяться. Виртуальные перемещения не обу-
словлены действием каких-либо сил и поэтому не обладают длительностью.
Виртуальные перемещения системы является чисто геометрическим понятием,
характеризующим структуру наложенных на систему связей.
В математике величины, подобные (33.3), называют вариациями функций,
так что
r
есть вариация радиуса-вектора )(tr
i
соответствующей точки системы,
i
причем
++=
(33.5)
iiii
.
zkyjxir
dddd
Под вариацией функции )(tx понимают такое ее малое приращение xd, которое не связано с изменением аргумента t (так как
), а обусловлено
варьированием самой функции, т. е. переходом от функции )(tx к близкой к ней
функции )(tx¢. На рис. 7.2 показано различие между дифференциалом dx и
вариацией функции xd.
102
В результате варьирования координат то-
rKr
r
¶
r
r
r
d
d
d
å
r
r
å
r
r
å
r
r
l
¶
чек системы получают приращения любые
функции вида ),,,,(
a
21
trrrf
. Поэтому левую
n
часть каждого из соотношений (33.4) следует
рассматривать как правило вычисления вариа-
Рис. 7.2
туальном перемещении i
из виртуальной работы
A
ции соответствующей функции
n
f
r
a
r
å
=
i
¶
r
1
i
i
Работу активных сил
связей
r
называют виртуальной работой. Она складывается
активных сил и виртуальной работы
F
R
, приложенных к i-й точке на ее вир-
i
f , т. е.
a
=×
fr
.
dd
(33.6)
a
F
и сил реакций
i
сил реак-
A
R
ций связей:
×=
rFA ,
dd
i
iiF
×=
rRA .
dd
(33.7)
i
iiR
Будем называть идеальными и удерживающими связями такие связи, для
которых сумма виртуальных работ всех сил реакций равна нулю на любом виртуальном перемещении системы, т. е.
=×=
rRA .0
dd
i
(33.8)
iiR
Условие идеальности связей (33.8) позволяет получить замкнутую систему
уравнений, полностью определяющую движение голономной механической
системы с идеальными связями. Для этого необходимо исключить вариации k
зависимых координат точек из соотношений (33.4). С этой целью умножим каждое из соотношений (33.4) на неопределенный множитель
и полученные
a
равенства сложим с условием идеальности связей (33.8). В результате получим:
n
æ
ç
å å
ç
= =
i
1 1
è
k
r
-
R
i
a
ö
¶
f
a
¶
r
r
a
÷
=×
r
dl
r
÷
i
ø
,0
i
(33.9)
где k вариаций координат точек являются зависимыми, а остальные 3n – k ва-
риаций – независимыми.
Подберем неопределенные множители так, чтобы коэффициенты при k вариациях координат обратились в нуль (можно показать, что такая процедура
всегда выполнима). После этого в равенстве (33.9) сохраняется 3n – k слагае-
мых, содержащих вариации только независимых координат, и так как указанные вариации можно задавать произвольно, то коэффициенты при них также
должны обращаться в нуль. Из (33.9) следует:
k
r
=
R
å
i
=
a
f
a
l
r
a
¶
r
1
i
=
K
ni
).,,2,1(
(33.10)
Подстановка выражений (33.10) в (32.4) приводит к системе уравнений Лагранжа первого рода:
103
k
lll
r
r
r
d
r
r
ì
&&
ï
í
ï
a
î
+=
Frm
å
iii
a
rr
K
21
¶
f
a
l
r
a
¶
=
1
r
i
=
K
);,,2,1(
ni
(33.11)
r
==
n
a
K
).,,2,1(0),,,,(
ktrrrf
Она представляет собой систему 3n + k скалярных уравнений относительно 3n + k неизвестных: n3 координат точек механической системы и k неопре-
деленных множителей Лагранжа
,,,21K .
k
§ 34. Принцип виртуальных перемещений и условия равновесия
голономной механической системы
Принцип виртуальных перемещений, сформулированный Ив. Бернулли в
1717 г., утверждает: для равновесия любой механической системы с голоном-
ными, идеальными, стационарными и удерживающими связями необходимо и
достаточно, чтобы сумма виртуальных работ всех активных сил, действующих
на систему, обращалась в нуль при любом ее виртуальном перемещении, т. е.
система будет находиться в состоянии равновесия, если
n
r
r
=×
rF
å
=
i
d
1
.0
(34.1)
ii
Докажем в начале, что условие (34.1) необходимо. Допустим, что рассматриваемая механическая система, состоящая из n материальных точек, находится в состоянии равновесия. Это означает, что каждая точка
M этой системы
i
также будет покоиться, т. е.
ii
==+
Умножая скалярно каждое из равенств (34.2) на вариацию
(34.2)
r
соответст-
i
).,,2,1(0 niRF
K
вующего радиуса-вектора и складывая почленно получаемые результаты, находим:
n
r
å å
= =
i
1 1
n
r
r
i
r
=×+×
rRrF
dd
.0
iiii
(34.3)
Отсюда, учитывая условие идеальности связей (33.8), мы и приходим к необходимости требования (34.1).
Докажем теперь, что условие (34.1) является не только необходимым, но и
достаточным. С этой целью предположим: несмотря на выполнение указанного
условия система тем не менее выходит из состояния покоя и начинает двигаться.
При этом оказывается, что
n
å
=
i
1
rr
r
>×+
rRF
d
.0)(
iii
Если теперь учесть условие идеальности связей (33.8), то получим:
n
r
r
>×
rF
å
=
i
d
1
,0
ii
что противоречит условию (34.1). Таким образом, предположение о возможности
движения системы при выполнении условия (34.1) приводит к противоречию, а
104
это и означает, что указанное условие является необходимым и достаточным
=++
ddd
===
-
-
=
r
r
=
r
r
=
ddd
r
условием равновесия системы.
Применим принцип виртуальных перемещений к исследованию равновесия
простейшей механической системы – материальной точки, движущейся свободно. Условие (34.1) в этом случае можно записать в виде:
.0
zFyFxF
zyx
(34.4)
Так как материальная точка свободна, то вариации ее координат являются
независимыми, а поэтому коэффициенты при вариациях координат в уравнении
(34.4) должны обращаться в нуль. Отсюда получаем известные условия равновесия свободной частицы: 0
FFF
zyx
Однако так просто решается эта задача только для свободных систем.
Для получения из принципа виртуальных перемещений (34.1) условий равновесия
несвободной механической системы необходимо перейти к независимым или
обобщенным координатам системы.
Обобщенными (или независимыми) координатами механической системы
называют любые kn
3 величины
qqq ,,,
K , однозначно определяющие поло-
21
s
жение системы в пространстве. Число обобщенных координат совпадает с числом
степеней свободы системы kns
3 ; размерности обобщенных координат, в
принципе, могут быть любыми. Однако в механике, как правило, приходится
иметь дело с обобщенными координатами, имеющими размерность длины, или с
безразмерными величинами (угловые переменные).
Из определения обобщенных координат следует, что они должны удовлетворять следующим двум требованиям:
1. Радиусы-векторы и декартовы координаты точек должны быть одно-
значными функциями обобщенных координат, т. е.
),,,,,(
K
21
tqqqrr
(34.5)
sii
если на систему наложены нестационарные связи, или
),,,,(
qqqrr K
21 sii
(34.6)
если наложенные связи стационарны.
2. Обобщенные координаты системы должны быть выбраны в полном со-
ответствии с наложенными на нее связями. Это означает, что уравнения связей
(32.1) должны обращаться в тождества при подстановке в них функций (34.5)
или (34.6).
Допустим, что обобщенные координаты
qqq ,,,
K выбраны и радиусы-
21
s
векторы всех ее точек представлены в виде (34.6). Тогда вариации зависимых
координат системы можно выразить через ее независимые виртуальные перемещения
21
qqq
,,,
K по формуле:
s
r
r
s
¶
r
=
å
i
a
105
i
q
.
dd
(34.7)
¶
q
=
1
a
a
Подставляя выражение (34.7) в основное условие равновесия (34.1), получим:
r
r
r
d
=
=
a
-
=
r
¶
(
)
rKr
r
=
r
¶
r
¶
¶
¶
n
i
s
r
F
¶
r
×
åå
i
a
i
¶
q
==
11
a
=
q
d
0
a
или меняя порядок суммирования:
s n
åå
1 1
= =
a
æ
ç
ç
è
i
r
F
i
×
¶
¶
q
r
i
a
ö
÷
d
÷
ø
q
a
.0
=
(34.8)
Введем обозначение:
a
будем называть величину
координате
q . Обобщенная сила является скалярной величиной, а ее размер-
a
n
r
¶
r
×=
FQ
å å
i
¶
= =
i
1 1
Q обобщенной силой, соответствующей независимой
a
q
n
æ
¶
x
i
ç
=
F
ç
i
è
i
ix
¶
q
¶
y
i
+
F
iy
+
F
¶
q
iz
ö
¶
z
i
÷
(34.9)
÷
¶
q
aaaa
ø
ность совпадает или с размерностью обычной силы, если обобщенная координата
q имеет размерность длины, или с размерностью момента силы, если aq –
a
безразмерная угловая переменная. Таким образом, принцип виртуальных перемещений (34.1) в обобщенных координатах можно окончательно записать в виде:
s
=
qQ
å
a
d
=
1
Так как виртуальные перемещения
.0
aa
(34.10)
q независимы, то все коэффициенты
a
при этих перемещениях в левой части равенства (34.10) должны обращаться в
нуль, т. е.
a
).,,2,1(0 sQ K
(34.11)
Соотношения (34.11), не содержащие сил реакций связей, являются необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной голономной
механической системы с идеальными и стационарными связями. Число указанных условий равновесия равняется числу степеней свободы механической системы, т. е. числу kns
3 .
Пусть все активные силы, действующие на систему, являются потенциальными, т. е.
где
F
-=
i
rrrUU
,,
21
– полная потенциальная энергия системы. Рассматривая в
n
r
r
¶
i
=
U
K
),,,2,1( ni
соответствии с равенством (34.6) потенциальную энергию как неявную функцию
обобщенных координат, можно показать, что
следовательно,
Q
n
¶
U
¶
q
n
¶
-=
å
a
i
1
=
¶
=
å
=
i
1
U
×
r
¶
¶
q
r
i
¶
U
¶
r
i
r
i
×
r
r
i
¶
q
aa
¶
U
.
-=
(34.12)
¶
q
aa
При этом условия равновесия (34.11) принимают вид:
U
¶
q
U
=
¶
K
q
U
==
¶
q
.021=
(34.13)
s
106
Решая систему уравнений (34.13), можно найти одну или несколько равно-
{
}
весных конфигураций системы, т. е. один или несколько наборов значений
обобщенных координат
,,,
qqqq K , которым соответствуют те или иные
020100
s
стационарные значения потенциальной энергии системы.
Рис. 7.3 а, б, в,
Различают четыре типа равновесных состояний: устойчивое, неустойчивое,
безразличное и седлообразное. Положению устойчивого равновесия соответствует
минимум потенциальной энергии. При малых отклонениях системы из положения
устойчивого равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть систему в исходное
положение. Состоянием неустойчивого равновесия называется такое равновесное состояние, которому соответствует максимум потенциальной энергии.
В состоянии безразличного равновесия потенциальная энергия системы не
изменяется при выводе ее из положения равновесия в любом направлении.
Примером системы, находящейся в состоянии безразличного равновесия,
может служить однородный шар, лежащий на горизонтальной плоскости.
Седлообразным положением равновесия называют такое положение, когда
устойчивость или неустойчивость состояния равновесия зависят от направления сдвига системы из указанного положения.
На рис. 7.3 а, б, в, г в качестве примера приводятся возможные формы потенциальной поверхности в окрестности различных положений равновесия для
механической системы с двумя степенями свободы, а именно: на рис. 7.3 а, б, в –
для положений устойчивого, неустойчивого и безразличного равновесия, а на
рис. 7.3, г – в окрестности седлообразной точки равновесия, при этом линия AA
107
указывает направление сдвигов системы, по отношению к которым положение
BB
r
d
(
)
(
)
r
равновесия O является устойчивым, линия
равновесия и линии
CC
указывают направления безразличного равновесия,
– направление неустойчивости
вдоль которых потенциальная энергия системы не изменяется.
§ 35. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Даламбера
При исследовании движения связанных механических систем наиболее
широко используются дифференциальные уравнения движения в обобщённых
(или независимых) координатах, получившие название уравнений Лагранжа
второго рода (в дальнейшем мы будем называть их просто уравнениями
Лагранжа). Эти уравнения замечательны тем, что не содержат явно неизвестные
силы реакций связей, что существенно упрощает решение основной динамической
задачи, связанной с движением несвободной системы: отыскание и исследование
законов ее движения. Большое значение уравнения Лагранжа имеют также и
для динамики свободных систем, по отношению к которым они являются уравнениями движения в произвольных криволинейных координатах.
Существуют два способа получения уравнений Лагранжа. Один из них
сводится к последовательному исключению из системы уравнений Ньютона (32.4)
сначала неизвестных сил реакций связей, а затем и зависимых координат системы. Другой способ получения уравнений Лагранжа вытекает из рассмотрения
вариационного принципа Гамильтона – Остроградского – наиболее общего
принципа классической механики.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек, на
которые наложено k идеальных, удерживающих, голономных, но не обязательно
стационарных связей. Чтобы исключить силы реакции связей, умножим скалярно каждое из уравнений движения (32.4) на виртуальное перемещение
r
i
соответствующей точки и результаты умножения почленно сложим. В результате получим:
n
r
å å
= =
i
1 1
r
&
n
r
r
i
r
=×+×-
rRrmF
ddu
.0
(35.1)
iiiiii
Последняя сумма в уравнении (35.1), выражающая виртуальную работу
всех сил реакции связей, в соответствии с условием идеальности связей (33.8)
равна нулю. Поэтому уравнение (35.1) можно окончательно записать в виде:
n
å
=
i
r
1
r
r
&
=×-
rmF
du
.0
(35.2)
iiii
Уравнение (35.2) представляет собой математическую формулировку
дифференциального вариационного принципа Даламбера – Лагранжа, утверждающего, что если на механическую систему наложены удерживающие, голономные и идеальные связи, то в каждый момент времени сумма виртуальных
работ всех активных сил, действующих на систему, и так называемых сил
инерции Даламбера
&
m
u
равна нулю для любого виртуального перемещения
ii
системы.
108
Таким образом, введение даламберовых сил инерции позволяет по аналогии с
r
d
()(
)
r
r
=
=
¶
r
¶
¶
¶
¶
r&r
r&r
=
r
r&r
r
r
r
r
d
(
)
=
=
a
принципом возможных перемещений (34.1) в статике сформулировать динамический принцип виртуальных перемещений.
Уравнение (35.2) называют также общим уравнением динамики голономных
систем.
Для того чтобы из уравнения (35.2) получить уравнения Лагранжа, необходимо перейти к обобщенным координатам системы
указанного уравнения вариации зависимых координат
qqq ,,,
K и исключить из
21
r
s
. С этой целью обра-
i
тимся к уравнениям (34.5), связывающим радиусы-векторы материальных точек
системы с ее обобщенными координатами, т. е.
,,,2,1,,,,
nitqqqrr
откуда
21
r
=
r
å
i
a
sii
s
r
i
dd
¶
q
=
1
a
( )
a
KK
=
K
(35.3)
niq
.,,2,1
(35.4)
Дифференцируя (35.3) по времени, получаем:
r
u
Скалярные величины dtdqq /
r
=
i
q
¶
q
1
&
r
¶
s
å
=
a
&
q
K
2
q
2
r
¶
r
&
q
a
¶
q
1
a
называют обобщенными скоростями
aa
+
1
=
системы. Размерность обобщенной скорости
r
iii
++
¶
q
s
r
¶
r
ii
+
.
¶
t
&
q
a
нейной скорости, если обобщенная координата
или с размерностью угловой скорости, если
q – угловая переменная. Из равенства
a
q
совпадает с размерностью ли-
r
i
+
s
=
¶
t
(35.5)
q имеет размерность длины,
a
(35.5) вытекают следующие очевидные тождества:
ö
æ
r
¶
¶
º
qq
¶
¶
d
dt
r
¶
ç
ç
¶
è
uu
¶
÷
÷
ø
iiii
º
.,
qq
¶
aaaa
(35.6)
Подставляя в (35.2) выражения (35.4) и изменяя порядок выполнения
операций суммирования по индексам i и a, получим:
s n
åå å
= = =
a
r
é
ê
1 1 1
i
ë
F
i
¶
×
¶
q
r
i
i
n
m
r
i
&
×-
ii
du
ú
¶
q
aa
û
q
a
0
=
ù
¶
r
или с учетом определения обобщенной силы (34.9):
s
( )
å
=
1
a
где
a
å
Так как вариации обобщенных координат
n
=
i
d
1
=-
qAQ
mA
aaa
,0
(35.7)
¶
r
r
u
i
&
ii
.
×=
¶
q
a
q независимы, то равенство (35.7)
a
(35.8)
будет иметь место только в том случае, если
.,,2,1 sQA K
aa
(35.9)
Это и есть, по сути дела, искомые уравнения Лагранжа. Чтобы представить
их в явной форме, необходимо расшифровать физический смысл величин
109
A .
a
С этой целью проведем еще ряд несложных преобразований. Прежде всего за-
rrrrr
r
rrr
¶
¶
(
)
=
¶
¶
(
)
T
(
)
r
r
r
(
)
=
метим, что
ö
m
¶
r
r
i
&
×
ii
¶
q
d
dt
æ
ç
m
ii
ç
è
ö
¶
r
i
÷
×=
¶
q
uuu
m
÷
ø
æ
¶
r
d
×-
ii
dt
i
÷
ç
ç
¶
è
,
÷
q
aaa
ø
откуда, используя тождества (35.6), находим:
22
¶
r
&
×
m
ii
¶
следовательно,
Таким образом, ,
где
&
qqTT
,
– кинетическая энергия системы, представленная как функция
ö
r
i
q
A
æ
d
ç
m
uu
ii
ç
dt
è
n
d
=
a
d
=
¶
1
i
¶
&
¶
qdt
ö
¶
u
i
÷
×=
¶
q
¶
&
qdt
n
æ
ç
ç
1
i
è
m
u
÷
&
ø
2
m
ö
ii
÷
÷
ø
2
ö
ii
÷
-
÷
ø
æ
ç
ç
è
m
æ
r
ii
-
¶
¶
d
ç
×-
ç
¶
qdt
è
n
åå
==
i
¶
q
æ
¶
ç
ç
¶
q
1
aa
è
n
æ
ç
åå
ç
1
==
i
aa
è
A
d
÷
=
÷
ø
2
m
uu
ii
22
2
ö
m
uu
ii
÷
.
÷
22
ø
d
=
a
dt
æ
¶
ç
ç
&&
¶
qdt
è
ö
÷
=
÷
ø
T
-
&
q
¶
¶
ö
m
÷
-
÷
ø
T
(35.10)
q
aa
æ
¶
ç
ç
¶
q
aaaaa
è
m
ö
uuu
iiiii
÷
÷
22
ø
обобщенных координат q и обобщенных скоростей q&. Отсюда видно, что
искомые уравнения Лагранжа в обобщенных координатах можно окончательно
представить в виде:
d
dt
T
&
q
¶
T
-
q
¶
aa
( )
a
a
==
(35.11)
.,,2,1 sQ
K
Полученные уравнения Лагранжа справедливы для любой системы с идеальными голономными и удерживающими связями. Неизвестными в этих уравнениях являются функции
tq
, однозначно определяющие положение системы.
a
Число указанных неизвестных и число уравнений Лагранжа равно числу степеней
свободы механической системы.
§ 36. Структура уравнений Лагранжа для различных классов
механических систем. Функция Лагранжа для систем
с потенциальными и обобщенно-потенциальными силами
Структура уравнения Лагранжа (35.11) определяется конкретным видом
обобщенных сил
Q и кинетической энергии системы
a
как функций ее обоб-
щенных координат, обобщенных скоростей и времени. Рассмотрим в начале,
какую форму могут принимать уравнения Лагранжа в зависимости от вида
функций
&
tqqQ ,,
a
.
Пусть все активные силы
внешние), являются потенциальными, т. е.
F
, действующие на систему (как внутренние, так и
i
rddUF
/-= , где
ii
s
tqqqUU
,,,,21K
–
полная потенциальная энергия системы. В этом случае обобщенные силы можно
представить в виде (34.13). Кроме того, имеют место равенства:
dU
&
qd
a
( )
=º
a
110
K
,,,2,10 s
(36.1)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]