Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
В уравнениях время t и координаты
zyx
,
,
¶
u
=
zyx
x
,
,
=
const
=
r
=
m
r
r
===
===
rrrrr
r
s
r
-
=
uuuuu
rrrrr
¶
¶
¶
¶
¶
uuuu
u
rrrr
r
dtdtdt
¶
¶
u
¶
rrrr
¶
r
dt
uuu
r
– независимые переменные, эти
уравнения написаны в переменных Эйлера,
жения,
ppp ,,
– нормальные напряжения.
zzyyxx
ppp ,,
– сдвигающие напря-
zxyzxy
При F=0 уравнения Эйлера в компактной форме имеют вид
П
iki
-=
, (58.6)
x
¶
k
где
рез площадку
d
r
dt
zyxki .,,
,
dS
П
k
,
– тензор плотности потока импульса, характеризует пе-
ik
dSП
,
– i-я компонента импульса, протекающего че-
kik
ренос импульса
В идеальной жидкости плотность постоянная
маемая), коэффициент динамической вязкости
§ 59. Уравнение движения идеальной жидкости
(жидкость несжи-
0
. Рассмотрим движение
жидкостей, которые не оказывают сопротивления при скольжении одного слоя по
другому (идеальные жидкости). Взаимодействие отдельных частей жидкости
будет осуществляться только в виде силы нормального давления, т. е.
раллельной
n
.
p
па-
n
Сдвигающие напряжения:
0
ppp
pppp
– тензорная поверхность будет сферой.
zzyyxxn
zxyzxy
Нормальное давление направлено внутрь объема или в сторону, противоположную внешней нормали:
kppjppipp
-=-=-= ,,
zyx
npp
– вектор гидродинамического давления.
n
0
Уравнения движения в напряжениях для идеальной жидкости получаем в виде:
r
u
= rddt
d
+
dt
¶
t
¶
d
=
+
dx
x
( ) ( )
( )
dt
+
dy
¶
y
=Ñ+
uu
dz
¶
z
+
1
-=+
r
=
grad
¶
( )
t
rr
uu
pgradFgrad
(59.1)
r
r
u
Ñ+
Уравнение движения жидкости (58.1) установлено впервые Эйлером в
1755 г., оно называется уравнением Эйлера и является одним из основных
уравнений МСС. Уравнение (59.1) вместе с уравнением неразрывности
r
0=+
ur
div
(59.2)
Составляет систему четырех скалярных уравнений относительно пяти
неизвестных. При заданных силах уравнения (59.1) и (59.2) содержат 5 неизвестных:
p
,,,,
. Для их решения необходимо дополнительное уравнение.
zyx
181
Если жидкость находится в поле силы тяжести, то на каждую еденицу её объёма
r
r
r
¶
u
const
=
r
u
¶
rrrr
=
u
r
const
=
r
u
¶
rrrr
=
u
r
(
)
=
r
=
()()(
)
rru
u
===
r
r
r
=
u
r
r
=
u
()(
)
=
dt
¶
t
=
действует ещё сила
g
. Уравнение (59.1) имеет вид:
rr
1
+Ñ-=Ñ+
r
dt
( )
uu
r
gp
.
Для несжимаемой жидкости
, тогда уравнение Эйлера (59.1) запи-
шется в виде:
p
gradFgrad
,
r
а уравнение неразрывности:
¶
t
div
( )
0
.
uu
-=+
Выражения:
p
gradFgrad
div
,
r
0
(59.3)
t
¶
( )
,
uu
-=+
Уравнения (59.3) составляют систему уравнений, описывающих движение
идеальной несжимаемой жидкости. Жидкости, плотность которых
pf
есть функция давления, называются баротропными. Решение (59.3) будет содержать произвольные функции и постоянные, которые определяются из граничных и начальных условий.
Начальные условия при
t
:
zyxzyxppzyx ,,;,,;,,
.
0
Если жидкость ограничена неподвижной твердой поверхностью, нормаль к
которой
ности
n
, то граничные условия
zyxF ,,
. Это условие накладывает ограничения на скорость жидкости.
n
0
или
0
Fgrad
– уравнение поверх-
Если жидкость соприкасается с другой неподвижной средой (вода – воздух), то
давление вдоль границ сред
pp
.
0
§ 60. Гидродинамические уравнения. Уравнение Бернулли
Второе начало термодинамики: самопроизвольный, без затрат энергии извне,
переход тепла возможен только от более нагретого тела к менее нагретому.
Энтропия S является мерой необратимых процессов
dQ
dS = , dS определяет
T
степень беспорядка в данном теле.
Мы не учитываем теплообмен между отдельными слоями жидкости (адиабатическое движение идеальной жидкости). При адиабатическом движении
энтропия каждого участка жидкости постоянная. Адиабатичность движения
выражается уравнением
dS
, которое характеризует изменение энтропии задан-
0=
,
ного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно записать в виде:
r
S
u
¶
0=+
Sgrad
(60.1)
Это общее уравнение, выражающее адиабатичность движения идеальной
жидкости. Если в начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках
объёма жидкости, то уравнение (58.2) адиаботичности простое:
constS
. (60.2)
182
Умножим уравнение непрерывности (58.2) на S:
(
)
¶
r
t
u
r
+
=
T
¶
u
r
2
t
¶
u
r
2
u
r
u
r
2
dl
l
[
]
uuu
rrr
^
[
]
=
u
u
r
r
S
¶
Это уравнение непрерывности для энтропии, произведение
r
( )
u
pSdiv
0=+
(60.3)
pS
– плот-
ность потока энтропии. Можно воспользоваться уравнением (60.8) для того,
чтобы представить уравнение движения (59.1) в несколько ином виде.
Из термодинамики известно:
VdpTdSdW
W – тепловая функция единицы массы жидкости,
ническая работа,
Так как энтропия
1
=V – удельный объем.
r
, ===
1
r
– температура, Vdp – меха-
dpVdpdWconstS
, поэтому
1
r
Wp Ñ=Ñ
, тогда
уравнение движения жидкости (уравнение Эйлера) можно записать в виде:
rr
( )
¶
uu
1
r
Wpt-Ñ=Ñ-=Ñ+
. (60.4)
Запишем еще одну форму уравнения Эйлера.
Из векторного анализа известно:
1
2
[ ]
( )
Ñ+= rotgrad
rrrr
uuuuu
,
тогда (60.4) примет вид:
1
¶
2
[ ]
rr
-=-+
uuu
Wgradrotgrad
(60.5)
Гидродинамические уравнения:
1. Уравнения, выражающие адиабатичность движения (60.1).
2. Уравнение непрерывности (60.3).
3. Уравнение Эйлера (60.5).
Гидродинамические уравнения упрощаются при стационарном течении, т. к.
скорость
является функцией координат и
0=
¶¶t
.
Уравнение (60.5) примет вид:
1
2
[ ]
rr
uuu
Wgradrotgrad -=-
(60.6)
Введём понятие о линиях тока, как линиях, касательные к которым в любой
точке совпадает по направлению со скоростью течения жидкости в той же точке.
При стационарном течении линии тока совпадают с траекториями частицы
жидкости. Умножим уравнение (60.6) на единичный вектор, касательный к
линии тока lr.
Уравнение (60.6), спроецируем на направление lr:
2
u
¶
=
( )
Wgrad
=
следовательно,
W
¶
¶
( )
grad
,
rot
rot
183
2
u
ll
0
l
Таким образом, из уравнения (60.6) мы получаем:
2
2
g
+
2
¶
¶
¶
Отсюда следует, что величина
u
2
æ
u
ç
ç
2
l
è
2
u
2
ö
÷
0
=
+
W
÷
ø
W+
постоянна вдоль линии тока:
constW =+
(60.7)
Уравнение (60.7) называют уравнением Бернулли (1738 г.)
Если внешними силами, действующими на жидкость, будут силы тяжести,
добавим
2
æ
¶
u
ç
ç
2
¶
l
è
ö
÷
0
++
=
gzW
.
÷
ø
Уравнение Бернулли: для жидкости в поле тяжести вдоль линии тока остается постоянной сумма
2
u
constgzW =++
§ 61. Уравнения движения вязкой жидкости
В реальных жидкостях при относительном движении ее отдельных слоев
возникают силы (pxy, pxz, pyz), препятствующие ее движению. Такие силы называются силами трения или сдвигающими напряжениями. Если эти силы незначительны и ими можно пренебречь, то движение среды описывается уравнением
идеальной жидкости. Жидкости, при движении которых учитываются силы
трения, называются вязкими.
Чтобы получить уравнение, описывающее движение вязких жидкостей,
необходимо к уравнениям движения в напряжениях присоединить дополнительные выражения, связывающие напряжение с кинематическими характеристиками движения.
При движении жидкости вдоль оси x касательное напряжение, приложенное к площадке, перпендикулярно оси x:
¶
u
p
=
yx
x
m
,
y
¶
где m – коэффициент вязкости.
Для вязких жидкостей уравнение непрерывности остается таким же. Уравнение
Эйлера должно быть изменено:
¶
ru
i
t ¶
¶
П – тензор плотности потока импульса, характеризует обратимый перенос
ik
П
ik
-=
x
k
импульса, связанный с механическим передвижением участков жидкости.
184
Вязкость (внутреннее трение) характеризует необратимый перенос импульса.
urud
+
=
d
s
¶
u
¶
u
=
u
r
¶
u
[
]
rrr
w
u
=
¶
¶
u
u
r
r
r
r
m
2
m
r
r
>
>
x
m
Поэтому уравнение движения вязкой жидкости можно получить, прибавив к
«идеальному» потоку импульса (57.6) дополнительный член
|
s
, определяющий
ik
необратимый, «вязкий», перенос импульса в жидкости.
Все элементы тензора можно получить по формуле
где
– символ Кронекера.
ik
Тензор:
p
pП
,1
ì
=
d
í
ik
,0
î
pП
|
sds
+-=
называется тензором напряжения,
ikikik
(61. 1)
kiikik
=
ki
,
¹
ki
|
urussurud
+=-+=
(61.2)
kiikikkiikik
|
s
– вязким
ik
тензором напряжения,
– определяет ту часть потока импульса, которая не
ik
связана с непосредственным переносом импульса вместе с массой передви-
|
гающейся жидкости,
s
зависит от производных по координатам. Трение воз-
ik
никает, когда части жидкости движутся друг относительно друга. Зависимость
|
s
от производных
ik
0|=
s
, при
ik
const
i
можно приближённо считать линейной.
x¶
k
|
s
ik
|
s
должно обращаться в нуль при равномерном вращении
ik
,
i
~
x¶
k
жидкости с постоянной угловой скоростью.
Линейными комбинациями производных
r
, являются суммы:
k
+
xx ¶
i
Тензор
i
¶
k
|
s
должен содержать эти симметричные комбинации производных.
ik
i
, обращающимися в нуль при
x¶
k
Общий вид тензора второго ранга, удовлетворяющего этим условиям,
является:
æ
|
s
ik
¶
i
ç
a
=
+
ç
k
è
ö
¶
k
÷
÷
xdx
¶
i
ø
uuu
¶
l
b
dx
d
ik
l
+
– коэффициент динамической вязкости, a и b не являются функциями скорости:
3
, -=º ba
mxm
– первый коэффициент вязкости, x – второй коэффициент вязкости
ö
u
¶
l
÷
+
÷
l
ø
xd
u
¶
l
ik
, (61.3)
dxdxxdx
l
где 0,0
æ
|
ik
¶
ç
ms
=
ç
è
.
uu
¶
i
+
¶
k
2
k
d
-
ik
3
i
185
Уравнения движения вязкой жидкости можно получить, прибавив выражение
r
r
x
m
u
¶
r
=
u
r
m
u
r
¶
m
=
()(
)
=
=
u
u
(
)
=
u
(
)
=
u
2
r
t
t
2
|
¶
s
ik
к правой стороне уравнения Эйлера:
x¶
k
æ
¶
u
i
ç
+
r
ç
è
u
¶
ö
¶
i
÷
k
÷
dxt ¶
ø
p
¶
-=
ik
|
¶
su
ik
+
xdx
k
ì
æ
¶
ç
ç
è
i
ur
+
k
k
ö
¶
uu
i
¶
tdx
¶
÷
÷
ø
p
+
-=
¶
æ
¶
¶
ç
m
í
ç
ki
è
î
¶
uu
2
i
k
k
+
-
d
¶
i
ik
3
ü
ö
¶
u
l
÷
ý
÷
ø
þ
æ
¶
ç
+
x
ç
¶
ll
è
Это общий вид уравнения движения вязкой жидкости. Коэффициенты
вязкости
,
зависят от давления и температуры, приближённо их можно считать
постоянными.
Правая часть уравнения (61.4) может быть представлена в виде:
2|
æ
¶
s
ik
x ¶
¶
k
¶
i
ç
=
m
ç
è
+
2
x
¶
k
Учитывая, что
¶
dx
¶
uu
¶
¶
i
l
=
l
k
i
div
2
-
r
u
¶
d
ik
¶
2
u
¶
i
,
2
x
¶
k
ö
¶
u
l
÷
+
÷
i
ø
u
D=
i
¶
u
¶
x
¶
l
xxdxxxx
¶
l
il
2
¶
u
=
i
m
2
x
¶
k
m
æ
++
x
ç
33
è
Уравнение (61.4) можно представить в виде:
u
¶
æ
r
ç
è
( )
t
¶
ö
Ñ+
÷
ø
Если жидкость несжимаема, то
( )
¶
t
uu
div
m
æ
xumuu
ç
è
0
:
1
pgrad
r
ö
++D+-=
÷
3
ø
rrr
u
D+-=Ñ+
(61.6)
r
rrrr
u
divgradpgrad
(61.5)
¶
u
l
¶
xxdxxdxxdx
l
¶
ö
÷
¶
ø
ö
÷
(61.4)
÷
ø
¶
u
l
xx
l
i
Уравнение (61.6) – это уравнение Навье-Стокса,
=v – кинематическая
r
вязкость.
Начальные условия при движении вязкой жидкости будут такими же, как и
для идеальной жидкости при
0
t
,
zyxppzyx ,,,,,
.
Граничные условия вязкой жидкости будут отличаться от граничных
условий идеальной жидкости: на твердой стенке частицы жидкости будут
прилипать. Это значит, что равняться нулю должна не только нормальная к
стенке составляющая вектора скорости частиц жидкости
тельная к стенке составляющая вектора скорости
0
.
t
0
, но и каса-
n
§ 62. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости
Наличие вязкости приводит к диссипации энергии, переходящей в тепло.
Кинетическая энергия несжимаемой жидкости равна:
= dVT
2
u
ò
.
Вычислим производную от этой энергии по времени. Для этого пишем:
2
¶
ru
=
¶
186
ru
¶
u
i
(62.1)
i
¶
Подставляя для производной
t
¶
u
¢
¶
¶
¶
srruuu
=
u
r
r
r
=
u
¶
u
i
её выражение согласно уравнению
¶
Навье – Стокса:
p
¶
11
i
-=
¶
i
k
-
xt ¶
¶
¶
ik
+
ik
(62.2)
xx
k
Подставляя (62.2) в (62.1), в результате получаем уравнение (62.1) в век-
торной форме:
2
¶
ru
t ¶
¶
( ) ( )
p
+Ñ-Ñ-=
Для несжимаемой жидкости
|
¶
s
ik
uuuuur
i
x
¶
k
div
ur
0
, поэтому можно записать первый
2
æ
u
ç
ç
22
è
ö
p
÷
+D-=
÷
r
ø
div
rrrrrr
( )
¶
u
||
i
-+
ssu
ik
(62.3)
x
k
член справа в виде дивергенции:
22
æ
u
ç
ur
ç
22
è
ö
p
÷
-
+-=
÷
r
ø
¶
ru
t ¶
¶
div
æ
ç
ç
è
rr
r
( )
ö
÷
÷
ø
¶
u
||
-
ssu
i
ik
(62.4)
x
k
Выражение, стоящее под знаком div представляет плотность потока энергии в
жидкости.
2
Первый член в скобках
æ
r
u
ç
ur
ç
2
è
ö
p
÷
– поток энергии связанный с процессом
+
÷
r
ø
переноса массы жидкости при ее движении, совпадает с потоком энергии в иде-
|
альной жидкости. Второй член
su
– поток энергии, связанный с процессами
внутреннего трения.
Проинтегрируем (62.4) по объему V , получим:
¶
ru
t
¶
dV
æ
ç
ç
SV
è
22
æ
u
ç
ur
ç
22
è
ö
p
÷
-
+-=
÷
r
ø
rr
r
( )
ö
÷
÷
ø
dS
¶
u
||
i
-
ssu
òòò
V
dV
ik
¶
(62.5)
x
k
Первый член в правой части определяет изменение кинетической энергии
жидкости в объеме V благодаря наличию потока энергии через поверхность
этого объема. Второй член (взятый с обратным знаком) характеризует уменьшение кинетической энергии в единицу времени, обусловленное диссипацией.
Если распространить интегрирование по всему объёму жидкости, то интеграл по
поверхности S исчезает, т. к. 0
¥
(скорость на бесконечности равна нулю),
тогда уравнение (61.5) примет вид:
æ
¶
u
&
T
-=
s
V
i
ik
dV
x
¶
k
1
-=
òò
2
V
¶
||
i
ç
s
ik
+
ç
¶
k
è
В этом уравнение учтены линейные комбинации
æ
|
ik
¶
i
ç
=
ms
+
ç
¶
k
è
ö
¶
uu
k
÷
÷
¶
xx
i
ø
ö
¶
uu
k
÷
dV
÷
xx
¶
i
ø
i
.
x¶
k
Находим окончательно формулу для диссипации энергии в несжимаемой
жидкости:
2
æ
¶
m
&
T
-=
2
i
ç
ò
V
+
ç
¶
k
è
187
ö
¶
uu
k
÷
dV
(62.6)
÷
xx
¶
i
ø
Диссипация приводит к уменьшению механической энергии, т. е. должно
быть 0,0 ><
&
T
m
, коэффициент вязкости положителен, т. к. интеграл (62.6)
положителен.
Контрольные вопросы
1. Что изучает предмет механики сплошной среды (МСС)?
2. Какие методы МСС?
3. Какие основные гипотезы МСС?
4. Какое пространство называется метрическим?
5. Какое пространство называют евклидовым?
6. Что такое «абсолютное время»?
7. Что такое прямолинейные и криволинейные системы координат?
8. Закон движения континуума.
9. Лагранжевы переменные.
10. Системы отсчета наблюдателя, сопутствующая система.
11. Точка зрения Эйлера на движение сплошной среды.
12. Как вводится уравнение неразрывности?
13. Сформулируйте и выведите закон Паскаля.
14. Что называется тензором напряжения?
15. Как выводится уравнение движения сплошной среды?
16. Какая жидкость называется идеальной? Запишите уравнение движения
идеальной жидкости.
17. Что называется гидродинамическим уравнением? Как оно выводится?
18. Выведете уравнение Бернулли.
19. Какая жидкость называется вязкой?
20. Каким образом выводится уравнение Навье–Стокса?
21. Как определяется диссипация энергии в несжимаемой жидкости?
188
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. Т.1. М.: Физматлит, 2007.
2. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. М.: Лань,
2009.
3. Колесникова К. С. Курс теоретической механики. М.: Изд-во МГТУ им.
Баумана, 2005.
4. Мещерский И. В. Задачи по теоретической механике: учебное пособие.
СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2010. 448 с.
Дополнительная
1. Жирнов Н. И. Классическая механика. М.: Просвещение, 1980.
2. Савельев И. В. Основы теоретической физики. Т.1. М., 1991.
3. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: учебник для вузов.
2-е изд., испр. М.: Высшая школа, 2007. – С. 416.
4. Вильке В. Г. Теоретическая механика: учебник. М.: Лань, 2003.
5. Голдстейн Г Классическая механика. РХД, 2011.
6. Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики: учебник. М.: Изд-во
МГТУ им. Баумана, 2000.
7. Бать М. И., Джангелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в
примерах и задачах. Т.1. М.: Наука, 1990.
8. Бать М. И., Джангелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в
примерах и задачах. Т.2. М.: Наука, 1990.
Методическая
1. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: учеб. пособие. СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2010. 639 с.
2. Кульгина Л. М., Механика и основы механики сплошных сред: лабора-
торный практикум. Ставрополь: Изд-во СГУ, 2005. 211 с.
Сайт научной библиотеки СКФУ
http://catalog.ncstu.ru/catalog/ncstu
Интернет ресурсы
http://bomaxi.narod.ru/
http://publ.lib.ru/ARCHIVES/S/''Shemotehnika''/_''Shemotehnika''.html
http://rf.atnn.ru/
http://smps.h18.ru/circuit_engineering.html
http://easyelectronics.ru/tag/nachinayushhim
189
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………..... 3
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ………………………………………………………………....... 5
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.
§ 6.
§ 7.
Основные определения и объекты изучения теоретической меха-
ники……………………………………………………………...........
Инвариантный метод описания движения материальной точки ....
Координатные методы исследования движения точки……………
Кинематика поступательного движения твёрдого тела ...………...
Вращение твёрдого тела относительно неподвижной оси ...……..
Скорость и ускорение материальной точки в различных системах
отсчёта. Теоремы сложения скоростей и ускорений ..……………
Кинематика твёрдого тела. Углы Эйлера ..………………………..
5
6
8
11
12
13
16
ГЛАВА 2. ДИНАМИКА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ…………………………………………………………………………
§ 8.
Понятия и законы динамики Ньютона. Принцип относительности
Галилея ………………….……………………………………………
§ 9.
Уравнения движения механической системы. Принцип причинности классической механики ……...………………………………
§ 10.
Работа силы и потенциальная энергия материальной точки во
внешнем силовом поле………………………………………………
§ 11.
§ 12.
Полная потенциальная энергия механической системы…………..
Классификация свободных механических систем…………………
22
22
27
28
31
32
ГЛАВА 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ...…………………………………….. 33
§ 13.
§ 14.
§ 15.
§ 16.
§ 17.
§ 18.
Первые интегралы уравнений движения ..………………………...
Законы сохранения и изменения механической энергии………….
Закон сохранения импульса замкнутой системы и теорема об
изменении импульса для незамкнутых систем ...………………….
Теорема о движении центра масс ...………………………………...
Закон сохранения момента импульса замкнутой системы и
теорема об изменении механического момента для незамкнутых
систем ...………………………………………………………………
Симметрия внешнего силового поля и сохранение отдельных
составляющих импульса и механического момента ...……………
33
34
37
39
41
46
ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ………………..………………….
§ 19.
§ 20.
§ 21.
§ 22.
§ 23.
Одномерное движение ..…………………………………………….
Задача двух тел ...…………………………………………………….
Одномерный эффективный потенциал ...…………………………..
Классификация орбит. Финитное и инфинитное движения ...……
Задача Кеплера ...…………………………………………………….
51
51
55
59
62
67
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]