Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2017 18 19 20 > Следующая >>>

эллиптической орбите относительно Солнца и суточном вращении с практи-

(

)

rrr

(

)

(

)

чески постоянной по модулю и направлению угловой скоростью

-15

c1029.7-×»

Функцию Лагранжа материальной точки, движущейся относительно системы

отсчета

, согласно (50.6) можно представить в виде:

[ ] [ ]

wuw

rrrr

,),()()(

trUrUrUrmr

(52.1)

где

)(

WrmrU

Gmm

-×

(52.2)

потенциальная энергия материальной точки, возникающая в результате ее переносного поступательного движения с ускорением

действия с Солнцем (

– масса Солнца):

Gmm

)(

энергия гравитационного взаимодействия материальной точки с Землей ( масса Земли) и

– потенциальная энергия материальной точки, обуслов-

),( trU

, и гравитационного взаимо-

(52.3)

–

ленная наличием других силовых полей.

Вблизи земной поверхности переменная

Земли. Но радиус Земли во много раз меньше ее расстояния Поэтому мы можем считать, что переменная

. Покажем, что с точностью до величин порядка

оказывается не зависящей от

и, следовательно, ее можно исключить из

того же порядка, что и радиус R

до Солнца.

удовлетворяет условию:

функция

)(1rU

функции Лагранжа (52.1). Действительно, используя векторное равенство

rRr

, можно показать, что

ç è

-»

( )

ç ç

Отсюда, учитывая, что центр масс Земли движется относительно Солнца с

ускорением

¢¢

ç è

(52.4)

¢¢

находим

Gmm

)(

Gmm

--»

Близость переменной части функции (52.4) к нулю означает, что при

сила притяжения

/ rrGmm

, действующая на частицу со стороны

Солнца, почти полностью компенсируется переносной силой инерции

Wm¢-

Нескомпенсированная часть силы притяжения, определяемая выражением:

Gmm

é ê

()

ú ú

является одной из причин (хотя и не основной) приливных явлений, наблюдаемых на поверхности земных океанов.

161

(

)

[

]

rrr

Fr-

[

]

rrrrrr

Таким образом, с точностью до величин порядка

функцию Лагранжа

(52.1) можно заменить приближенным выражением:

[ ] [ ]

wuw

rrr

.),()(

trUrUrmr

(52.5)

Уравнение движения материальной точки, соответствующее этому лагран-

жиану, имеет вид:

где

-= /

Gmm

-= mrmr

FWm

()

rddUF

[ ]

],[2][

uwww

(52.6)

Центростремительное ускорение

(на экваторе), равное

c/см38.3=R

, что составляет около 0,3 % от ускорения

силы тяжести. Значение ускорения Кориолиса чем

ляет всего

uuw

×=

c/см46,1

. Таким образом, и центробежная, и кориолисовая силы

c/см1046.12

, что при скорости

][ r

имеет максимальное значение

]2[

никогда не бывает больше

c/см104=

(или ч/км360 ) состав-

инерции малы по сравнению с силой притяжения Земли. Однако ими нельзя пренебречь при решении ряда важных задач.

Рассмотрим случай, когда материальная точка покоится относительно равномерно вращающейся системы отсчета уравнении движения (52.6)

равновесия материальной точки относительно системы

Gmm

- rmr

()

, связанной с Землей. Полагая в

, приходим к следующему условию

[ ]

.0][

(52.7)

Применим это условие к объяснению наблюдаемой на опыте зависимости ускорения свободного падения от географической широты места. Допустим, что в некоторой точке A на поверхности Земли

какого-нибудь тела с помощью пружинного динамометра. В этом случае под

производится взвешивание

)( Rr

условии равновесия (52.7) следует понимать упругую силу, действующую на взвешиваемое тело со стороны динамометра. С другой стороны, сила

торой тело, покоящееся относительно системы

действует на пружину дина-

, с ко-

мометра, равна весу этого тела. Поэтому условие (52.7) в рассматриваемом случае можно представить в виде:

Gmm

где

gmP

Gmm

--==

162

+-=

,][

RmR

(52.8)

rrr

,cos

eRe

(52.9)

aqy

– единичный вектор, на-

RRe

правленный по перпендикуляру от оси вращения Земли, и q – геоцентриче- ская широта точки A, т. е. угол, под которым ее радиус-вектор наклонен к плоскости экватора (рис. 9.3).

Таким образом, вес

любого материального тела на поверхности Земли складывается из силы притяжения этого

Рис. 9.3

тела Землей, составляющей основную часть веса, и центробежной силы инерции – малой поправки, зависящей от широты места и исчезающей на полюсах Земли.

Линию действия вектора

называют вертикалью (или направлением

отвеса), а угол между вертикалью и плоскостью экватора – географической ши- ротой места y. Между геоцентрической и географической широтами места

имеется небольшое отличие, исчезающее на полюсах и экваторе.

Действительно, из рис. 9.3 видно, что

, где a – отклонение верти-

кали от прямой, соединяющей точку A с центром Земли. Из прямоугольных треугольников ABC и BCD , следует:

откуда

sin

(цц.б.

FmgBC

2sin

(52.10)

,sinsin

Из формулы (52.10) видно, что максимальное отклонение вертикали от на-

правления радиуса Земли имеет место на широте 45°, где ускорение свободного

падения личин R (6370 км), w и g дает 00175.0sin отклонение a составляет около

c/см62.980=g

. Подстановка в формулу (52.10) числовых значений ве-

. Это означает, что максимальное

Изменение ускорения g с изменением географической широты места y

можно описать формулой:

289

(52.11)

÷ ø

cos

1)(

ç è

где

c/см22.983=g

– ускорение силы тяжести на полюсе; формулу (52.1) можно

получить из (52.9), если пренебречь членами с

Контрольные вопросы

1. Какой явный вид уравнений движения материальной точки относительно

произвольной НИСО?

2. Указать все виды сил инерции и причины их появления.

3. В чём заключается суть принципа эквивалентности?

163

4. Как записывается теорема об изменении вектора импульса относительно

произвольной НИСО?

5. Как записывается теорема об изменении момента импульса?

6. Как записывается теорема об изменении кинетической энергии относи-

тельно произвольной НИСО?

7. При каких условиях у механической системы, движущейся в НИСО,

может сохраниться полная энергия

и из чего она складывается?

8. При каких условиях сохраняются в НИСО отдельные составляющие

импульса

и момента импульса

9. При каких условиях в НИСО сохраняется полная энергия механической

системы?

10. Как объяснить зависимость ускорения свободного падения от геогра-

фической широты места?

164

ГЛАВА 10. ОСНОВНЫЕ ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ååå

rrrrr

rrr

(

)

rrrrr

rrr

§ 53. Кинетическая энергия, момент импульса и тензор инерции твёрдого тела

При вычислении основных динамических характеристик твердого тела

(импульса, кинетической энергии и механического момента) будем рассматри-

вать его как дискретную систему материальных точек. Поэтому импульс твердого тела можно определить как геометрическую сумму импульсов отдельных его точек, т. е.

,][

rmVmmP

0][][ ==

откуда, учитывая, что

+==

rmrm

(начало подвижной системы отсчета K совпадает с центром масс тела и, следовательно, 0=

где

), окончательно находим:

mM – масса тела. Если бы начало системы отсчета

,CVMP

(53.1)

было выбрано в

произвольной точке O¢, то импульс твердого тела определялся бы как сумма:

].[OORMVMP

¢¢

Кинетическую энергию твердого тела:

( )

åå

+==

rVmmT

][

iCi

можно представить в виде суммы двух слагаемых при условии, что начало подвижной системы отсчета совпадает с центром масс тела:

1 2

так как дополнительное слагаемое, содержащее

,][

rmVMT

(53.2)

iiC

, при этом обращается в

нуль. Действительно,

.0][][ =×=

iCi

rmVrVm

iiC

В уравнении (53.2) первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию поступательного движения, а второй член – кинетическую энергию вращения твердого тела с угловой скоростью

относительно оси, проходящей

через его центр масс.

Используя известное тождество:

2222

)(][

rrr

×-=

представляя величины

ï í ï

www

в виде

wwww

165

++=×

zyxr

wwww

ziyixii

iii

22222222

++=++=

zyxr

iiiizyx

кинетическую энергию вращения твердого тела нетрудно преобразовать к виду:

ååå

()(

)

[

]

()(

)

[

]

¢¢¢

вр zyyzzxxzyxxyzzzyyyxxx

где

i i i

222

JJJJJJT

+++++=

izziiiyyiiixx

),222(

wwwwwwwww

(53.3)

222222

)(),(),(

yxmJzxmJzymJ +=+=+=

(53.4)

-=-=-=

i i i

.,,

zymJzxmJyxmJ

(53.5)

iiiyziiixziiixy

Кинетическую энергию вращения (53.3) можно представить и в более компактной форме:

вр

baab

baww

),,,,(

zyxJT ==

(53.6)

где индексы суммирования являются индексами осей системы координат K, а совокупность коэффициентов

J образует симметричную матрицу:

æ ç

ç ç

JJJ

xzxyxx

JJJ

yzyyxy

JJJ

zzyzxz

(53.7)

называемую тензором инерции твердого тела.

Отдельные элементы тензора (53.7) называются моментами инерции; они являются постоянными величинами, зависящими только от распределения массы твердого тела, его формы, а также от выбора начала и направления осей координат подвижной системы отсчета K, жестко связанной с данным телом. Будучи симметричным, тензор инерции (53.7) полностью определяется совокупностью только шести элементов: трех диагональных элементов

J ,

J , называемых

осевыми моментами инерции, и трех недиагональных элементов

J ,

называемых произведениями инерции (или центробежными моментами инерции).

Все элементы тензора (53.7) можно получить, исходя из общей формулы:

где

– символ Кронекера, равный единице при

abab

iiii

=×-=

bad

),,,,(

zyxrrrmJ

и нулю при

(53.8)

Если твердое тело приходится рассматривать как сплошное, то в определении (53.8) суммирование следует заменить интегрированием по всему объему тела:

abab

×-=

.2dVrrrJ

(53.9)

Можно показать, что для любой точки твердого тела (в том числе и для его центра масс) существует такая система декартовых координат

zyx

), в которой тензор инерции (53.7) приводится к диагональному виду:

¢¢

ç ç

ö ÷

(53.10)

¢¢

÷ ÷

¢¢

(с осями

J ,

166

Оси указанной системы координат называются главными осями инерции

===

rrrrr

rrr

uuu

gba

uuu

твердого тела, а диагональные элементы тензора (53.10) – главными моментами инерции. Их принято обозначать:

.,,

JJJJJJ

¢¢¢¢¢¢

zzyyxx

(53.11)

321

Переход от произвольной системы координат K, в которой тензор инерции недиагонален, к системе

осуществляется с помощью некоторого линейного и ортогонального преобразования координат, называемого преобразованием к главным осям. В справедливости этого утверждения проще всего убедиться, исходя из геометрических соображений. Рассмотрим с этой целью момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, проходящей через его центр масс и заданной с помощью единичного вектора nr:

где

– расстояние произвольной точки твердого тела до

, (53.12)

указанной оси. Из рис. 10.1 видно, что квадрат этого

Рис. 10.1

расстояния можно представить в виде

rnr

×-=

iii

где

knjnin

===

gba

и вектором

gba

;;

с ортами

222

=++

находим:

- косинусы углов, образуемые

kji

. Отсюда, учитывая, что

---

222

,)(

zyxzkyjxinrn

gba

++=++×=× )(

iiiiiii

2222222222

)()()(

gbar

bgagab

yxzxzy

-+++++=

iiiiiii

.222

zyzxyx

iiiiii

Подставляя это выражение в равенство (53.12) и учитывая определения

(53.4) и (53.5), получаем уравнение:

222

.222

bgagabgba

JJJJJJJ +++++=

(53.13)

yzxzxyzzyyxx

Введем теперь вектор

, определяемый равенством:

Его компоненты

синусами

соотношениями:

связаны с ранее введенными направляющими ко-

zyx

.,, JJJ

ugubua

===

zyx

(53.14)

Подстановка этих равенств в уравнение (53.13) дает:

222

В пространстве переменных

JJJJJJ

uuuuuuuuu

равенство (53.15) есть уравнение

zyx

.1222

=+++++

(53.15)

zyyzzxxzyxxyzzzyyyxxx

трехосного эллипсоида, называемого эллипсоидом инерции. Известно, что с помощью некоторого линейного преобразования переменных

это уравне-

zyx

ние всегда можно привести к каноническому виду:

167

JJJ

uuu

zyx

.1)()()(

(53.16)

Но уравнение (53.16) имеет как раз такой вид, который должно иметь

уравнение (53.13) в системе координат

, т. е. в той системе координат, в

которой тензор инерции диагоналей.

С алгебраической точки зрения операция приведения тензора инерции к диагональному виду эквивалентна задаче диагонализации симметричной матрицы (53.7). При этом главные моменты инерции твердого тела являются корнями векового уравнения:

JJJJ

xzxyxx

JJJJ

yzyyxy

zzyzxz

.0=

(53.17)

JJJJ

Параллельно с приведением тензора инерции к виду (53.10) квадратичная форма (53.3) для кинетической энергии вращательного движения твердого тела приводится к каноническому виду:

1вр zyx

++=

).(

JJJT

www

¢¢¢

(53.18)

Каждый из трех главных моментов инерции твердого тела не может быть больше суммы двух других:

222

iiii

.)()2(

+=£++=+

yxmJzyxmJJ

iii

Введение понятия о главных моментах инерции дает возможность произвести классификацию твердых тел по их инерционным свойствам. Твердые тела, у которых все три главных момента инерции различны, называют асим- метрическими волчками. Примером асимметрического волчка может служить однородное тело, имеющее форму прямоугольного или косоугольного параллелепипеда. Если два главных момента инерции равны друг другу, а третий не равен им

JJJ

, то твердое тело называют симметрическим волчком.

321

Симметрическим волчком является любое однородное тело вращения, правильная прямоугольная призма. Если совпадают между собой все три главных момента инерции, то твердое тело называют шаровым волчком. Примерами шаровых волчков могут служить однородные шар и куб.

Процедура отыскания главных осей инерции существенно упрощается, если рассматриваемое тело обладает той или иной симметрией. Например, если тело обладает осью симметрии какого-либо порядка, то его центр масс обязательно должен лежать на этой оси. С той же осью совпадает и одна из главных осей инерции тела, а две другие оси лежат в плоскости, перпендикулярной оси симметрии. Если к тому же порядок оси симметрии выше второго (т. е. тело может быть совмещено само с собой при повороте вокруг оси симметрии на угол

n/2

, где

), то выбор главных осей инерции, лежащих в указанной плоскости, становится неоднозначным. А это означает, что рассматриваемое тело является симметрическим волчком.

Особый случай представляет система частиц, расположенных на одной

прямой (например, линейная многоатомная молекула); такую систему назы-

168

вают ротатором. Если указанную прямую принять за ось z, то для всех частиц

rrr

+¢=

()(

)

[

]

rrr

-=¢

(

)

[

]

ротатора

и поэтому два его главных момента инерции совпадают

между собой, а третий обращается в нуль:

JzmJJ

,0,

===

(53.19)

при этом кинетическую энергию вращения ротатора можно представить в виде:

вр yx

).(

(53.20)

Отсюда видно, что ротатор имеет только две вращательные степени свободы,

соответствующие его вращениям вокруг осей x и y.

Если тело обладает плоскостью симметрии, то его центр масс и две главные оси инерции должны лежать в этой плоскости, а третья главная ось – перпендикулярна к ней. Особый случай при этом представляет система частиц, расположенных в одной плоскости. Если эту плоскость принять за координатную плоскость

xCy

, то для всех частиц такой системы

. При этом ее главные

моменты инерции оказываются равными:

.,,

JJJxmJymJ

+===

(53.21)

213

Введенный выше тензор инерции (53.8) определен по отношению к системе координат K с началом в центре масс C твердого тела. Однако в некоторых случаях значительно проще сначала найти тензор инерции для системы отсчета

с началом координат в произвольной точке O¢, а затем перейти к системе K. Поэтому необходимо выяснить, как преобразуется тензор инерции при параллельном переносе системы координат, при котором радиусы-векторы точек твердого тела преобразуются по закону .arr

При выводе интересующей нас формулы преобразования следует исходить из

определения тензора инерции относительно системы отсчета

abab

.)(

rrrmJ

iiii

Подставляя сюда

arr

и учитывая, что

aababab

×--

aaamJJ

.)()(

находим:

(53.22)

Полагая в этой формуле β = α получаем известную теорему Штейнера

для главных моментов инерции:

aaaaa

),,,(

zyxMdJJ =-

(53.23)

C и

O .

где

2/122

)(

aad -=

– расстояние между параллельными осями

Если начало системы координат K, жестко связанной с твердым телом,

выбрано в центре масс C, то его кинетическую энергию можно представить в виде:

вр

169

JMVT

(53.24)

baab

Если к тому же оси координат этой системы направлены вдоль главных

212

yjq

rrr

rrrrrrr

rrr

rrrrr

www

++=

www

++=

zyx

rrr

осей инерции тела, то его кинетическая энергия принимает вид:

+++=

).(

JJJMVT

www

(53.25)

zyxC

С помощью кинематических уравнений Эйлера ее можно определить как

функцию эйлеровых углов

,, и обобщенных скоростей

&&&

ZYX .

CCC

Рассмотрим теперь момент импульса твердого тела. Механический момент

тела

, определенный относительно начала O, инерциальной системы отсчета

можно представить в виде:

,][

LPRL

(53.26)

yjq

,,,,,

K ,

где

.]][[

rrmL

iiiC

(53.27)

Действительно, на основании общей формулы, справедливой для любой

механической системы, можно записать:

где

rmL ][

– момент импульса относительного движения точек твердого

iii

тела, но для абсолютно твердого тела скорость 0

,]][[][

rrmLPRL

iiiC

(все точки твердого тела

относительно жестко связанной с ним системы координат K неподвижны). Поэтому 0= нетическую энергию, момент импульса альной системы координат

мых: момента импульса поступательного движения ][ PR

вращательного движения твердого тела.

Механический момент

целью вектор

, приходим к равенству (53.26). Таким образом, так же как и ки-

твердого тела относительно инерци-

можно представить в виде суммы двух слагае-

и момента импульса

можно выразить через тензор инерции. С этой

предварительно запишем в виде:

.])([

×-=

rrrmL

iiiiC

Отсюда, используя определения (53.4) и (53.5), находим:

222

)(])([

wwwww

åå

iiiy

iiiz

iiziyixxiiCx

JJJL

zyzyyyxxyCy

JJJL

zzzyyzxxzCz

JJJzxmyxm

++=--

(53.28б)

(53.28в)

zymxzyxrmL

-+=++-=

iiix

(53.28а)

wwwww

zxzyxyxxx

Выражения (53.28) можно заменить одной общей формулой:

baw

Если оси

baba

подвижной системы координат направлены вдоль главных

осей инерции твердого тела, то эта формула дает:

170

).,,,( zyxJL

.,,

JLJLJL

www

===

321 zCzyCyxCx

(53.29)

(53.30)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2017 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]