Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
Действие
(
)
¶
¶
(
)
¶
¶
(
)
r
tqS ,
механической системы с обобщенно-потенциальными ак-
тивными силами и голономными идеальными связями удовлетворяет соотношению (43.7). Если в этом соотношении обобщенные импульсы
qS
частными производными
/
, то мы получим уравнение:
a
p заменить
a
¶
S
¶
æ
ç
+
ç
t
è
qqqH
21
s
¶
¶
¶
S
S
q
KK
¶
q
21
которому должна удовлетворять функция действия
ö
¶
S
÷
,0,,,,;,,,
=
t
¶
q
s
(43.8)
÷
ø
tqS ,
. Это уравнение в
частных производных первого порядка называется уравнением Гамильтона –
Якоби. Оно является нелинейным уравнением, так как частные производные
qS
/
(или импульсы) входят в него во второй степени. Например, для сво-
a
бодной частицы массой m, движущейся в потенциальном поле
rU
, уравнение
Гамильтона – Якоби (43.8) имеет вид (если в качестве обобщенных координат
частицы использовать ее декартовы координаты):
¶
S
¶
+
1
2
mt
é
æ
ê
ç
è
ê
ë
¶
S
¶
x
2
ö
÷
ø
+
æ
ç
ç
è
¶
S
¶
y
ö
÷
÷
ø
2
+
æ
ç
è
¶
S
¶
z
ö
÷
ø
2
ù
ú
ú
û
r
()
=+
rU
.0
(43.9)
Важное значение уравнения Гамильтона – Якоби (43.8) состоит в том, что
оно вскрывает аналогию между классической механикой частицы и волновым
процессом, играющую важную роль при объяснении волновых свойств микрочастиц в квантовой механике.
Контрольные вопросы
1. Какая механическая система материальных точек называется несвободной?
2. Какие типы связей различают? Охарактеризуйте эти связи.
3. В чем состоит задача динамики?
4. Какие перемещения точек системы называются возможными?
5. Какие перемещения называются виртуальными?
6. Что понимают под вариацией функции? Как она вычисляется?
7. Что называется виртуальной работой?
8. Как формулируется и записывается условие идеальности связей?
9. Как записывается система уравнений Лагранжа первого рода?
10. Как формулируется принцип виртуальных перемещений?
11. Как записывается условие равновесия свободной частицы?
12. Что называется обобщенной силой? Как она определяется?
13. Как формулируется дифференциальный вариационный принцип
Даламбера – Лагранжа?
14. Как записывается уравнение Лагранжа второго рода в обобщенных
координатах?
15. Как определяется кинетическая энергия в декартовых координатах?
В цилиндрических? В сферических?
16. Что называется функцией Лагранжа?
131
17. Как записываются уравнения Лагранжа, если на систему действуют
диссипативные силы?
18. Как формулируется закон сохранения полной механической энергии?
19. Что называется обобщенными импульсами механической системы?
20. Какие координаты называются циклическими?
21. Как записывается функция Лагранжа для материальной точки в декартовой
системе координат? цилиндрических координатах? сферических координатах?
22. Что называется конфигурационным пространством?
23. Как формулируется принцип Гамильтона – Остроградского?
24. Как формулируется интегральный принцип Гамильтона – Остроградского?
25. В чем суть метода Гамильтона?
26. Какая функция называется функцией Гамильтона?
27. Что называется каноническими уравнениями?
28. Что называется скобками Пуассона?
29. Как записать канонические уравнения движения при помощи скобок
Пуассона?
30. Какие величины называют фундаментальными или основными скобками
Пуассона?
31. Что называется функцией действия?
32 Как записывается уравнение Гамильтона – Якоби?
132
ГЛАВА 8. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
2
-
³
-
=
q
x
&
&
=
=
=
2
§ 44. Свободные одномерные колебания
Теория малых колебаний широко применяется при исследовании как
механических, так и немеханических систем (например, в акустике, теории
молекулярных спектров, теории колебаний электрических цепей и т. д.).
Рассмотрим малые колебания с одной степенью свободы. Допустим, что на
одномерную механическую систему наложены стационарные и голономные
связи. Лагранжиан такой системы можно представить в виде:
где q – обобщенная координата,
),(),(
&
),( qqT
– кинетическая энергия и
1
=-=
2
&&
,)(
qqf TqUqqTL
(44.1)
)(qU
– внут-
ренняя потенциальная энергия системы. Состоянию устойчивого равновесия
соответствует такое положение системы
q ,
в котором ее потенциальная энергия
0
имеет минимальное значение. При отклонениях системы от положения равновесия
0q
возникает сила
dU/dq
, стремящаяся вернуть систему в исходное по-
ложение равновесия. Поэтому система, получившая в начальный момент времени
t
0
скорость
точки
q
0
достаточно малое отклонение
&
q
, при любом
0
0tt
не выйдет за пределы небольшой окрестности
, при этом ее обобщенная скорость q& также будет достаточно мала.
0qq
и достаточно малую начальную
С помощью лагранжиана (44.1) можно исследовать любое произвольное
движение системы, однако для изучения ее малых колебаний указанный
лагранжиан следует преобразовать, привести к более простому виду. С этой целью
введем новый независимый параметр:
qqx
,
0
, (44.2)
называемый смещением системы, и произведем разложение функции Лагранжа
(44.1) в ряд по степеням x и x
&
с точностью до величин второго порядка малости.
Разложение потенциальной энергии системы )(qU по степеням смещения x в
указанном приближении имеет вид:
2
dq
ö
Ud
2
dqdU
2
÷
÷
ø
qqqq=
0
0)/(
=qq
, то
0
ö
æ
dU
÷
ç
если принять 0)(
)()( x
qUqU
+» ,
0
ç
dq
è
qU и учесть, что обобщенная сила, действующая на систему в
0
x
+
÷
ø
=
0
положении равновесия, обращается в нуль, т. е.
2
kx
)(
xU =
æ
или 0
ç
=
k . (44.4)
ç
dq
è
, (44.3)
2
ö
Ud
÷
÷
ø
>
=qq
0
2
æ
1
ç
ç
2
è
Постоянную k, определяемую формулой (44.4), называют силовым коэффициентом или динамическим параметром колебательной системы.
133
Кинетическую энергию в том же приближении можно представить следую-
2
=
2
2
-
=
-
=
w
w
w
w
+
=
щей формулой:
1
2
xmT&»
, (44.5)
где величину
)(0qfm
(44.6)
называют кинематическим параметром системы.
Функцию Лагранжа одномерной механической системы, совершающей
малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия, с точностью до
величин второго порядка малости по x и x& (или в гармоническом приближении)
можно представить в виде:
L -=
&
22
kxxm
.
(44.7)
Механическую систему с лагранжианом (44.7) обычно называют линейным
гармоническим осциллятором. Гармоническое приближение (44.7) для точного
лагранжиана (44.1) перестает быть справедливым, если не выполняется хотя бы
одно из следующих двух условий:
где
l
a <<<<
æ
ç
=
ç
è
dq
3
k
l
3
ö
Ud
÷
,
3
÷
ø
0
m
a
,,
(44.8)
m
ö
æ
df
÷
ç
=
m
ç
è
dq
,
÷
ø
0
a – максимальное смещение системы из положения равновесия.
Используя лагранжиан (44.7), можно получить следующее уравнение движения системы вблизи положения устойчивого равновесия q0:
&&
kxxm
2
или
где введено обозначение
&&
w
0
0
=+ xx
, (44.9)
k
2
=
w
0
. (44.10)
m
Уравнение (44.9) является линейным дифференциальным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами; поэтому колебания механической
системы, описываемые уравнением (44.9), называют линейными. Кроме того,
уравнение (44.9) является однородным; колебания системы, описываемые однородными уравнениями, называют собственными или свободными колебаниями.
Обобщенную силу
kxQ
, возникающую при отклонении системы из
положения устойчивого равновесия, называют обобщенной квазиупругой силой.
В роли квазиупругой силы могут выступать самые различные силы, например: в
пружинном маятнике такой силой является сила упругой деформации пружины, а в математическом маятнике – составляющая момента силы тяжести.
Двумя независимыми решениями линейного и однородного дифференциаль-
tltl
ww
ного уравнения (44.9) являются функции
cos
sin
t
,
0
t
0
или
-
ee00,
. Поэтому
его общее решение можно представить в виде:
tAtAtx
sincos)(
134
(44.11)
0201
titi
2
2
a
w
+
=
=
=
u
w
w
w
{
}
2
2
2
ww
-
00
или
где в отличие от
A и 2A произвольные постоянные 1С и 2С являются комплексно
1
сопряженными величинами, т. е.
С
a
a
i
,
e
=
1
С-=
2
a
a
i
, где a и a – новые действительные постоянные, можно по-
e
)(
*
СС =
. Представляя эти постоянные в виде
12
eCeCtx
+=
21
, (44.12)
лучить третью форму представления общего решения уравнения (44.9):
)cos()(
tatx
0
. (44.13)
Выражение (44.13) показывает, что вблизи положения устойчивого равновесия механическая система совершает гармоническое колебательное движение.
Максимальное отклонение a системы от положения равновесия называют
амплитудой колебаний, а аргумент косинуса – их фазой, при этом постоянная a
именуется начальной фазой. Постоянные a и a определяются через начальные
значения
)0( xx
0
и
)0( xx
координаты и скорости системы по формулам:
0
2
u
2
0
tg
+= xa
0
w
0
a
,
2
0
-=
. (44.14)
x
w
00
Постоянную
, определяемую согласно (44.10) кинематическими и дина-
0
мическими свойствами самой колеблющейся системы, называют собственной
частотой. Собственная частота
системы. Следует, однако, иметь в виду, что указанное свойство частоты
не зависит от начальных условий движения
0
есть
0
следствие линейности колебаний, и оно исчезает, если в разложении лагранжиана
(44.1) учесть члены более высокого порядка относительно x и x&.
Во многих случаях смещение системы )(tx удобно представлять в виде
действительной части комплексного выражения
ti
0
Aetx
где
Re)(w=
a
i
aeA = – комплексная амплитуда колебаний (ее модуль совпадает с дейст-
, (44.15)
вительной амплитудой a, а аргумент – с начальной фазой a).
Комплексное представление колебаний (44.15) удобно тем, что многие математические операции с экспоненциальными функциями выполняются проще,
чем с тригонометрическими (например, дифференцирование и интегрирование
этих функций не меняют их вида). Часто опускают знак к взятия действительной
части, переходят к ней лишь в окончательных результатах.
Полная энергия системы, совершающей малые колебания, сохраняется:
E =+=
&
22
kxxm
const
. (44.16)
Подстановка сюда выражения (44.13) показывает, что
22
am
Ew=
0
, (44.17)
т. е. полная энергия системы пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
Таким образом, свободные колебания одномерной системы с энергетической точки зрения представляют собой процесс непрерывного превращения
135
механической энергии системы из одного ее вида в другой. При этом средние
p
4
2
(
)
(
)
2
w
+
=
по периоду колебаний
2
=T значения кинетической и потенциальной энергии
w
0
системы оказываются равными:
22
am
E
UT
w
0
=== . (44.18)
§ 45. Вынужденные колебания гармонического осциллятора
в отсутствии сил трения
Рассмотрим, какие изменения в характер малых колебаний системы вносит
действие переменного внешнего поля.
При наличии внешнего поля к собственной потенциальной энергии систе-
мы 2/
2
kx прибавляется потенциальная энергия
e
),()(tqU
, обусловленная дейст-
вием этого поля. Мы будем предполагать, что это внешнее поле достаточно
слабое, так что колебания системы по-прежнему можно считать малыми. Разлагая
внешнюю часть потенциальной энергии системы в ряд по малому параметру x,
получим:
)(
e
ö
U
¶
÷
;),(),(
÷
q
¶
ø
qq
=
0
qqxx
-=
. (45.1)
0
Здесь первый член
)()(
ee
)(
e
),(
tqU
может быть представлен в виде полной произ-
0
æ
ç
tqUtqU
+»
0
ç
è
водной по времени от некоторой функции времени и поэтому при подстановке в
лагранжиан системы может быть опущен. Во втором члене производная
)(qqe
/
представляет обобщенную силу, действующую на колеблющуюся
qU=¶¶
0
систему в положении равновесия со стороны переменного внешнего поля.
Эту силу называют возмущающей или вынуждающей; она является заданной
функцией времени, т. е.
)(
e
æ
ç
-
ç
è
ö
U
¶
÷
÷
q
¶
ø
qq
=
0
)(
tF
=
. (45.2)
Таким образом, при наличии переменного внешнего поля лагранжиан гармо-
нического осциллятора принимает вид:
L +-=
m
2
&
w
22
0
)(
txFxx
, (45.3)
где
– частота свободных колебаний осциллятора.
0
Уравнением движения осциллятора теперь является линейное неоднородное
дифференциальное уравнение вида:
&&
w
xx =+
0
m
Его общее решение складывается из двух слагаемых:
)(
tF
. (45.4)
xxx
, где
10
–
x
0
1
2
общее решение однородного уравнения (44.9), описывающее свободные колебания осциллятора, и
x
– частное решение неоднородного уравнения (45.4),
1
описывающее вынужденные колебания системы. Таким образом, задача, по су-
136
ществу, сводится к отысканию частного интеграла
=
a
w
+=¢
l
l
b
+
=
b
+
=
уравнения (45.4). Вид этого
x
1
интеграла существенно зависит от характера возмущающей силы )(tF .
Пусть вынуждающая сила постоянна, т. е. PtF
Такая ситуация, например, имеет место для пружинного
маятника (рис. 8.1). Частный интеграл уравнения (45.4) в
этом случае можно представить как
/wmPx =
общее решение записать в виде:
или
tax
0
aw
tax ++=
0
¢
)cos(
;
P
)cos(
m
w
2
0
P
l
xxx -=-=
ст
m
w
2
0
Таким образом, единственным изменением, которое
вносится в характер малых колебаний одномерной системы действием постоянной вынуждающей силы, является
Рис. 8.1
смещение центра колебаний на отрезок
. Величину
ст
называют статическим смещением положения равновесия.
Наибольший практический интерес представляет случай, когда вынуж-
дающая сила – периодическая функция времени
)γcos()(
0
tFtF
, (45.6)
)( .
2
, а его
01
. (45.5)
ст
где
, γ – амплитуда и частота вынуждающей силы, аb – ее начальная фаза.
F
0
Уравнение движения (45.4) в рассматриваемом случае принимает вид:
F
2
&&
0
0
xx
)γcos(
bw
+=+ t
. (45.7)
m
Частное решение этого уравнения будем искать в виде
)γcos(
1
tBx
. (45.8)
При подстановке выражения (45.8) в уравнение (45.7) последнее должно
обращаться в тождество, т. е.
22
0
tB
F
m
0
)γcos()γcos()γ(
bbw
+º+- t
.
Отсюда следует, что
F
m
w
0
0
. (45.9)
22
)γ(
-
=
B
Прибавляя к выражению (45.8) общее решение уравнения (45.9), получим
следующий закон малых колебаний осциллятора:
F
w
0
22
)γ(
-
0
)cos()(
aw
tatx
0
++= t
m
b
+
)γcos(
,
(45.10)
где произвольные постоянные a и a определяются из начальных условий движения системы.
Под действием периодической вынуждающей силы одномерная система
вблизи положения устойчивого равновесия совершает движение, представляющее
137
собой наложение двух гармонических колебаний: собственного колебания с
w
w
<
w
>
w
=
=
=
=
=
w
=
=
a
2
w
=
w
=
частотой
и вынужденного колебания с частотой вынуждающей силы γ.
0
В отсутствии сил трения вынужденные колебания осциллятора происходят либо
синхронно с изменением вынуждающей силы (при
угол p (при
γ
). Случай
0
γ
требует специального рассмотрения. Рассмотрим
0
γ
), либо отстают по фазе на
0
энергетические превращения, происходящие в механической системе, совершающей вынужденные колебания. Допустим, что в начальный момент
система находится в положении равновесия и покоится, т. е. 0)0(
x и 0)0(
&
x
.
Пусть на систему действует вынуждающая сила
tFF cosγ
0
, причем
Закон движения рассматриваемой системы согласно (45.10) имеет вид:
F
Из начальных условий находим:
tatx γcos
)γ2cos()(
a
0
++=
и
m
a -=
0
2
γ3
t
.
F
0
. Поэтому окончательно
2
γ3m
можно записать:
)(
tx -=
m
F
0
2
γ3
&
)γcos2γ(cos
tt
,
)(
tx -=
F
m
0
)γsinγ2sin2(
tt
. (45.11)
γ3
Запишем внутреннюю энергию колеблющейся системы:
m
2
)(
tE
0
&
+=
w
22
)(
xx
.
0
Подставляя сюда выражения (45.11), находим:
2
откуда
F
m
0
2
γ18
2
F
m
00
γ6
-=
)(
tE -+= ,
0
dE
dt
32
)γcos8γcos35(
tt
tt
γ2sin)1γcos4(
. (45.12)
2γ
.
0
С другой стороны, энергия, затрачиваемая в единицу времени на раскачку сис-
темы источником вынуждающей силы (т. е. переменным внешним полем), равна:
2
F
&
tFxN γ2sin)1γcos4(
)(
m
0
γ6
--=-=
tt
. (45.13)
Выражения (45.12) и (45.13) показывают, что в процессе вынужденных колебаний системы происходит непрерывный обмен энергией между колеблющейся системой и источником вынуждающей силы, при этом суммарная энергия колеблющейся системы и внешнего поля остается неизменной (в отсутствие
сил трения никакого поглощения механической энергии не происходит).
Величину
mFb
00
, входящую в закон колебаний осциллятора
22
)γ(/)(γ
-=
w
(45.10), называют амплитудой вынужденных колебаний. Из рис. 8.2, на котором
графически изображена зависимость этой величины от частоты вынуждающей
силы γ, видно, что при
γ
амплитуда вынужденных колебаний испытывает
0
бесконечный разрыв. Это явление носит название резонанса. Отсюда следует,
138
γ
становится неприменимым.
0
что полученное нами решение (45.10) при
Чтобы получить общее решение уравнения (45.7), пригодное и при
w
=
w
®
e
w
+
=
w
e
<<
(
)
w
[
]
[
]
γ
0
следует заметить, что в силу произвольности постоянных a и a решение
(45.10) всегда можно переписать в виде:
F
m
w
0
22
-
0
γ
aw
++= tt
tatx
)cos()( . (45.14)
0
При
( ) ( )
[ ]
)γ(
второй член в правой части выра-
0
cosγcos
bwb
+-+
0
жения (45.14) дает неопределенность вида 0/0.
Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, находим:
tF
Рис. 8.2
aw
tatx
)cos()( (45.15а)
0
или
tatx
0
0
w
m
2
)cos()(
aw
2
Таким образом, при резонансе амплитуда
вынужденных колебаний нарастает по линейному
m
0
0
w
( )
sin
tF
cos
0
bw
+++= t
0
p
æ
+++=
ç
0
è
bw
-t
2
ö
. (45.15б)
÷
ø
закону. Кроме того, вынужденные колебания (даже в
отсутствии сил трения) оказываются сдвинутыми по фазе относительно вынуждающей силы на угол 2/p. Закон колебаний осциллятора (45.15) справедлив
только до тех пор, пока колебания не перестанут быть достаточно малыми.
Рассмотрим вынужденные колебания осциллятора вблизи резонанса, когда
γ
, где
0
. С этой целью представим общее решение (45.10) в ком-
0
плексном виде:
ti
w
ti
e
eBeAtx0)(
, (45.16)
1
-
æ
0
ç
1
+=
ç
ew
è
ö
e
÷
.
÷
2
w
00
ø
a
i
где
Величина
aeA =
,
ti
e
BeA
-
является медленно меняющейся функцией по сравне-
нию с фазовым множителем
-=
b
i
beB =
b
,
)exp(0ti
F
2
m
. Поэтому вынужденные колебания осцил-
,
лятора вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания с переменной (или модулированной) амплитудой, при этом выражение (45.16) можно
переписать в виде:
ti
w
где
0
w
0
)(δcos)()(Re)(
tttcetCtx
+==
-=º )()(
, (45.17)
titi
ed
BeAetctC
. (45.18)
Приравнивая в (45.18) действительные и мнимые части, получаем:
+-=
),εcos(cos)(δcos)(
ba
ì
í
î
tbattc
+-=
).εsin(sin)(δsin)(
ba
tbattc
Отсюда находим:
222
é
=
arcctg)(δ
t
ê
ë
139
+-+= tabbatc
+
ea
+
ea
)-εcos(2)(
ab
; (45.19)
ù
)tcos(-cos
βba
. (45.20)
ú
)tsin(-sin
βba
û
Выражения (45.19) и (45.20) показывают, что модулированная амплитуда
(
)
2
2
a
w
l
<
w
l
±-=
{
}
)(tc
и фазовая переменная
)(δ t
периодически колеблются с частотой e между
некоторыми предельными значениями, а именно:
ì
ï
í
ï
î
+££
,)(
batca-b
(45.21)
a
t
+££-
aa
b
a
.arcctg)(δarcctg
b
Поэтому вынужденные колебания вблизи резонанса называют биениями.
§ 46. Свободные затухающие колебания одномерной системы
Свободные колебания линейного гармонического осциллятора, если они
происходят в вязкой среде, постепенно затухают в результате действия со стороны
среды диссипативных сил трения. Для полного описания движения механической системы, подверженной действию сил вязкого трения, необходимо
наряду с лагранжианом ввести диссипативную функцию Рэлея, описывающую
процесс рассеяния механической энергии:
m
L
2
0
1
222
Ф,
&&
xxx
aw
=-=
. (46.1)
Соответствующее им уравнение Лагранжа можно представить так:
2
где
w
&&&
wl
k
2
0
,
=
m
02
=++ xxx
0
, (46.2)
l
.2
=
(46.3)
m
Общее решение линейного и однородного дифференциального уравнения
(46.2) можно записать в виде:
trtr
21
eCeCtx
, (46.4)
21
2
2
2
,
wll
-±-=r
(46.5)
0
2
02
=++wlrr
, т. е.
0
где
)( +=
r
– корни характеристического уравнения
2,1
2,1
при этом следует различать три случая:
1. Если
(силы вязкого трения малы по сравнению с действующими в
0
системе квазиупругими силами), то корни характеристического уравнения оказываются комплексно сопряженными:
,
ir
2,1
где
22
.
lww
-=
0
(46.6)
При этом общее решение (46.4) можно представить в виде:
tit
wl
,Re)(
Aeetx
(46.7)
где
-
=
a
i
a
eA =
– произвольная комплексная амплитуда. По аналогии с выражения-
ми (44.11) и (44.13) это решение можно также переписать в виде:
t
l
или
-
l
-
t
140
+=
21
).cos()(
aw
+=
tetx
(46.9)
)sincos()(
tAtAetx
ww
(46.8)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]