Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
2
U(x)
2
ml
=
=
u
2
U(x)
К ИНТЕГРИРОВАНИЮ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ.
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
§ 19. Одномерное движение
Одномерным называется движение консервативной механической системы
с одной степенью свободы, если ее полную энергию можно представить в виде:
2
&
E =+=
xm
()
,
constxU
(9.1)
где U(x) – потенциальная энергия системы во внешнем силовом поле х – некоторый параметр, описывающий ее положение в пространстве. В частности,
это может быть задача о прямолинейном движении
свободной материальной точки массой m в поле с по-
тенциальной энергией
. Одномерной можно также
считать задачу о движении плоского математического
Рис. 4.1
маятника (частицы массой m в однородном поле притяжения Земли, рис. 4.1). Полная механическая энер-
гия такой связанной системы также сохраняется и ее можно представить в виде:
2
&
j
E -=
ml
mgl
,cos
j
если потенциальную энергию маятника отсчитывать от горизонтальной прямой,
проходящей через точку подвеса O.
Поэтому в общем случае под x и m в выражении (19.1) не следует понимать декартову координату и массу какой-либо частицы. Положительный параметр m будем называть кинематическим параметром системы (у плоского
математического маятника в роли указанного параметра выступает величина
2
– момент инерции).
Рассматривая закон сохранения (19.1) как дифференциальное уравнение
первого порядка и разделяя в нем переменные, находим:
откуда
dt-=
0
2
dxm
( )
,
ExFtt
,
(19.2)
()
xUE
==+
2
ò
dxm
-
.
(19.3)
()
xUE
Роль произвольных постоянных в общем решении задачи (19.3) выполняют
полная энергия E и постоянная интегрирования
через начальные значения координаты )0(
2
m
u
E =+=
0
xx
0
( ) ( )
t
, которые можно выразить
0
и скорости )0(
.,,
tExFxU
(19.4)
000
&
x
0
системы:
Это общее решение задачи, содержащее исчерпывающую информацию о
поведении одномерной механической системы во внешнем силовом поле, в
котором она имеет потенциальную энергию
51
. Закон сохранения энергии
(19.1) позволяет качественно исследовать одномерное движение с помощью
2
(
)
£
(
)
=
U(x)
=
>
=
¥
-¥
графиков потенциальной и полной энергий. При качественном исследовании
движения обычно интересуются следующей группой вопросов:
1. При каких значениях полной энергии E в поле U(x) в принципе возможно
(допустимо законом сохранения энергии) движение?
2. В каких областях изменения независимого переменного возможно дви-
жение системы? Указанные области принято называть классически разрешенными областями (т. е. областями, в которых допускается движение законами
классической механики).
3. Какой характер имеет движение в каждой разрешенной области?
Чтобы получить ответ на первые два вопроса, перепишем закон сохранения энергии (19.1) в виде:
2
mx
()
³-= xUE
,0
поскольку кинетическая энергия системы существенно положительная величина. Таким образом, в классически разрешенной области потенциальная энергия
системы должна быть меньше (или, в крайнем случае, равна) полной энергии:
.ExU
(19.5)
Точки, в которых потенциальная энергия системы равна полной энергии
,ExU
(19.6)
называются поворотными точками или точками остановки системы, так как в
этих точках скорость системы х изменяет свой знак, проходя через нулевое
значение. Указанные точки являются границами, отделяющими классически
разрешенные области от запрещенных областей, в которых условие (19.5) не
выполняется.
Одномерное движение системы может происходить только при таких
значениях полной энергии E, при которых имеется хотя бы одна разрешенная
область, не сводящаяся в точку.
Рис. 4.2
. При заданном значении E у механической системы имеются две раз-
UU
max2
решенные области ),(
. Разрешенную область
),(32xx
запрещенную область ),(
Пусть, например, зависимость
некоторой системы имеет вид, представленный
на рис. 4.2. Различные значения полной энергии можно представить прямыми, параллельными оси абсцисс. Непосредственно из рис. 4.2
видно, что движение рассматриваемой систе-
мы возможно только при
при этом имеется, по крайней мере, одна клас-
сически разрешенная область.
Рассмотрим теперь некоторое значение полной энергии E, заключенное между нулем и
xx , ),(
21
x и две запрещенные области ),(
3
принято называть потенциальной ямой, а
),(21xx
xx – потенциальным барьером.
32
52
для
,
UUE
так как
)(1 +¥
x
1
и
Движение механической системы при данном E может происходить
¥
<
<
>
+¥
+¥
-³D
+¥
-
(
)
=
(
)
=
)
(
E
T
U(x)
U(x)
)
(
E
T
только в одной из разрешенных областей ),(
области
),(21xx в область ),(
, а при
),(21xx
x возможен только в том случае, если ей дополнительно
3
)0( xx
– в области
3
сообщается кинетическая энергия .
xx или ),(
21
x
3
EUT
2
x : при
3
. Переход системы из области
),(
)0( xxx
– в
21
Подбарьерные переходы клас-
сических объектов, подчиняющиеся законам ньютоновской механики, без
сообщения им дополнительной кинетической энергии строго запрещены законом
сохранения энергии.
Если разрешенная область ограничена двумя поворотными точками (потен-
циальная яма ),(
xx ), то движение происходит в ограниченной области про-
21
странства и его называют финитным. Движение системы в области, не ограниченной с обеих сторон или ограниченной с одной стороны (например, движение в области ),(
x ), называют инфинитным, так как система в этом случае
3
может уходить на бесконечность.
Финитное движение в одномерной потенциальной яме носит колебательный
характер: система совершает периодически повторяющееся движение между
поворотными точками
енное время, необходимое системе для прохождения отрезка
x и 2x . Период этого колебания определяется как удво-
1
xx
. Согласно
12
(19.3), это время равно:
x
2
dx
ò
-
)(
x
1
xUE
где
Exx
и
11
Exx
– корни уравнения (19.6).
22
=
2)(
mET , (19.7)
Период колебаний одномерной механической системы в общем случае
является функцией ее полной энергии, следовательно, полностью определяется
начальными условиями. Существует только одна одномерная механическая
система, период колебаний которой не зависит от энергии. Такой системой
является линейный гармонический осциллятор, полную энергию и период
колебаний которого можно представить в виде:
kxmx
E
22
,
22
p
2
T
w
==+=
0
Понятие об обратной спектральной задаче. Если зависимость
k
p
2
(19.8)
m
для
какой-нибудь одномерной системы известна из эксперимента, то равенство (19.7)
можно рассматривать как интегральное уравнение относительно неизвестной
функции
задачу о восстановлении вида потенциальной кривой
циальной ямы (область ),(
функции
. Можно сформулировать обратную спектральную задачу, т. е.
в области потен-
xx на рис. 4.2) по известной из опыта спектральной
21
. Выясним, всегда ли данная задача допускает однозначное
решение.
53
Уравнение (19.7) относится к числу интегральных
U
x
)
(
Uxx
=
U(x)
)
(
U
x
)
(
U
x
a
)
(
E
T
-
)
(
x
U
)
(
E
T
)
уравнений Абеля. Чтобы решить это уравнение, необходимо поменять ролями переменные
, а именно
будем рассматривать U в качестве независимой переменной, а переменную x как функцию от U, т. е.
)
. В отличии от
функция
является
двузначной: каждому значению потенциальной энергии U
соответствуют два значения функции
. Обозначим
(рис. 4.3) одну из ветвей этой функции, лежащую в
Рис. 4.3
положительной полуплоскости, через )(
лежащую в отрицательной полуплоскости, через )(
Ux , а ветвь,
2
1
Ux .
Из сказанного очевидно, что при переходе от x к новой независимой переменной U интеграл в уравнении (19.7) необходимо разбить на две части, при этом в
качестве пределов интегрирования по U следует взять 0 и E.
Учитывая вышесказанное, перепишем уравнение (19.7) в виде:
E
Udx
ET
)(
m
2
2
=
dU
0
dU
-
Умножим обе части равенства (19.9) на EdE -
0
Udx
)()(
1
+
UE
dU
E
dU
-
/ , где
E
dx
é
òòò
ê
UE
dU
ë
0
a
dx
-=
dU
dU
ù
12
ú
û
UE
-
(19.9)
– некий вспомо-
гательный параметр, и проинтегрируем полученное при этом уравнение по E от
нуля до a; в результате получим:
E
1
2
m
)(
-
0
aa
dEET
ò òò
E
0 0
dE
é
ê
ë
dx
dU
dx
ù
12
-=
ú
dU
û
dU
aa
))((
UEE
--
или, меняя порядок интегрирования в правой части:
aa
1
2
m
)(
dEET
-
0
E
dx
é
ê
ë
dU
dx
-=
dU
E
ù
12
dU
òòò
ú
û
00
dE
aa
.
))((
--
UEE
Интеграл по E в правой части полученного равенства оказывается равным π.
После этого интегрирование по U дает:
a
1
2
m
)(
dEET
ò
a
E
-
0
[ ]
-=
)()(
aap
xx
12
.
Заменяя в этом равенстве a на U, получаем следующую формулу обра-
щения исходного уравнения Абеля (19.7):
U
1
==-
UfUxUx
12
)(2)()(
p
ò
m
2
0
Таким образом, по известной из опыта спектральной функции
dEET
)(
. \(19.10)
-
EU
в
общем случае можно определить лишь разность )()(
ции )(
Ux и )(2Ux при этом остаются неопределенными. Это означает, что су-
1
ществует бесчисленное множество потенциальных кривых
одной и той же зависимости
. Все эти кривые можно получить, подвергая
UxUx
; сами же функ-
21
, приводящих к
одну из них деформации одностороннего сдвига, при котором расстояния между
поворотными точками при любых U сохраняются неизменными. Поэтому для
54
получения однозначного решения обратной спектральной задачи необходимо
)
(
E
T
)
(
E
T
)
(
x
U
=-=
r
r
rrr
r
¢
r
r
rrr
r
r
иметь в общем случае наряду с зависимостью
вторую спектральную
функцию, не сводящуюся к
.
Многозначность решения обратной задачи (19.10) исчезает также, если ис-
комая потенциальная кривая
)()()(
UxUxUx
12
. В этом частном случае формула (19.10) дает однозначное
симметрична относительно оси ординат, т. е.
решение задачи:
U
)(
Ux
1
=
2
m
p
)(
dEET
(19.11)
ò
0
.
-
EU
§ 20. Задача двух тел
Задачей двух тел называют задачу о движении замкнутой механической
системы, состоящей из двух взаимодействующих между собой частиц. Эта задача допускает полное и точное решение в общем виде, а ее практическое значение трудно переоценить: решение задачи двух тел лежит в основе небесной
механики и теории свободного движения искусственных спутников, в основе
классической теории столкновений и рассеяния частиц. Идеи, используемые
при решении классической задачи двух тел, являются основой для понимания
многих важных задач атомной и молекулярной физики и т. д.
Рассмотрим замкнутую систему двух частиц с массами
m и 2m ; допустим,
1
что известна потенциальная энергия их взаимодействия как функция относительного расстояния
rrr
-= , т. е. )(rU . В общем случае движение системы
21
двух частиц, как и любой более сложной механической системы, складывается
из движения системы как единого целого и движения частиц относительно их
общего центра масс. Очевидно, что поступательное движение рассматриваемой
системы особого интереса не представляет, так как о нем все заранее известно:
центр масс частиц
системы отсчета
RtVR
+= , constVc=
cocc
m и 2m движется относительно произвольной инерциальной
1
K (л-системы) прямолинейно и равномерно, так что
0
.
Отсюда видно, что задача двух тел есть, по су-
ществу, задача об относительном движении частиц
m
1
и
m
, рассмотрение которого удобнее всего вести
2
в ц-системе, т. е. в подвижной инерциальной системе
Рис. 4.4
системе отсчета через
r
и
1
отсчета
m
. Обозначая радиусы-векторы частиц в указанной
2
r
(рис. 4.4), запишем дифференциальные уравнения
2
K
, связанной с центром масс частиц
c
m
1
и
движения системы в виде:
m
2
rd
1
1
2
dt
U
¶
-=
r
¶
1
m
2
rd
2
2
2
dt
U
¶
.,
-=
r
(20.1)
r
¶
2
Дифференциальные уравнения (20.1) являются уравнениями с неразделен-
r
ными переменными
1
r
и
; это становится очевидным, если записать:
2
55
U
r
¶
r
¶
r
r
+
=
m
)
(
r
U
r
r
r
r
r
r
rrr
-
=
=
+
r
r
r
r
r
r
¶
¶
¶
¶
dt
r
)
(
r
U
r
r
=
r
r
-
r
r
¶
1
rr
( )
rrF
-=
2112
U
-
r
r
¶
,
2
rr
( )
rrF
-=
2121
.
Основной целью рассмотрения задачи двух тел является доказательство
следующей основополагающей теоремы: переменные
r
и
r
1
в системе диффе-
2
ренциальных уравнений (20.1) разделяются, при этом задача о движении частиц
m и 2m относительно их общего центра масс С сводится к эквивалентной зада-
1
че о движении некоторой фиктивной частицы с массой )/(
внешнем центрально-симметрическом поле
с центром, находящимся в
mmmm
во
2121
точке С.
Для доказательства этой теоремы предста-
вим радиусы-векторы частиц
ции вектора
(рис. 4.5), характеризующего
относительное расположение частиц
r
и
r
1
как функ-
2
m и 2m
1
(т. е. одной частицы относительно другой). С
этой целью обратимся к уравнениям, вытекающим из определения вектора
и центра масс
системы:
rrr
,
21
0
rmrm
. (20.2)
2211
Решая эту систему уравнений относитель-
Рис. 4.5
Из определения вектора
но
и
r
1
, находим:
r
2
m
rr
2
r
= , r
1
r
r
mm
+
2
21
m
-= (20.3)
+
rr
1
mm
21
вытекают также следующие очевидные равенства:
U
U
=
r
¶
¶
1
U
,
rr
r
r
¶
2
U
.
-=
rr
(20.4)
r
¶
Подставляя выражения (20.3) и (20.4) в уравнения (20.1), убеждаемся, что
каждое из них сводится к одному и тому же уравнению:
2
rd
m
2
U
¶
,
-=
(20.5)
r
r
¶
формально описывающему движение фиктивной m-частицы массой:
m
называемой приведенной массой частиц
ней центрально-симметрическом поле
=
21
, (20.6)
mmmm+
21
m
1
и
, во внешнем по отношению к
m
2
с центром в точке С. Тем самым
сформулированную выше теорему можно считать доказанной.
Интегрирование уравнения движения (20.5) для m-частицы позволяет най-
ти закон изменения со временем относительного расстояния частиц, т. е. вектор
)(trr
. Пользуясь далее формулами (20.3), можно получить траектории частиц
)(1tr
и
)(2tr
относительно центра масс и, наконец, обращаясь к формулам (см.
рис. 4.5):
56
r
u
u
r
r
u
r
r&r&r&r
r
®
¢
r
2
rrr
r
2
2
rrrrr
r
r
u
u
r
r
cLr
ì
=
t
1
ï
ï
í
r
ï
ï
î
-=
t
2
m
r
2
+
mm
21
r
m
1
+
mm
21
rr
++
,)()(ρ
RtVtr
coc
rr
++
,)()(ρ
RtVtr
coc
найти абсолютное движение частиц, т. е. их движение относительно лабораторной
системы отсчета
Скорости
K .
0
,
реально существующих частиц
21
m
1
и
и скорость
m
2
о
фиктивной m-частицы (которую можно понимать и как относительную скорость
u
&
ρρ
-=-= rr
2121отн
частиц
m
1
и
, не меняющуюся при переходе
m
2
KcK
)
0
связаны соотношениями:
= ,
1
2
mmm+
21
rr
uu
-= . (20.7)
2
rr
1
uu
mmm+
21
Соотношения (20.7) можно получить, дифференцируя по времени t выра-
жения (20.3).
Таким образом, задача двух тел действительно допускает полное и точное
решение, так как она фактически сводится к простейшей динамической задаче –
задаче о движении одной материальной точки.
Так как фиктивная m-частица движется в стационарном и центральносимметрическом поле, ее полная энергия
E и момент импульса cL
0
относи-
тельно центра поля, сохраняются:
2
mu
0
,)(
constrUE =+=
Покажем, что для системы реально существующих частиц
является внутренней энергией, а вектор
cL
– собственным механическим
constrcL == ][
um
. (20.8)
m и 2m энергия 0E
1
моментом.
Действительно, согласно определениям внутренняя энергия и собственный
механический момент системы двух частиц равны:
2
mm
uu
22
rmrmcL += , (20.10)
)(
rU
(20.9)
uu
222111
и ][][
где
, rr
и
,
21
– радиусы-векторы и скорости частиц в ц-системе. Подставляя в
21
E ++=
0
2
11
(20.9) и (20.10) выражения (20.3) и (20.7) и учитывая равенство (20.6), находим:
22
mm
E +=+
=
0
21
+
+
2
mm
21
r
cL =
= .
2
mm
uu
221
2
)(2)(2
mm
+
21
2
mm
21
r
2
)(
mm
+
21
)(
rU
=+
r
r
][
+
mm
+
mm
221
2
)(
mm
+
21
2
21
u
)(2
mm
21
r
r
)(
r
r
][][
umuu
rr
mu
2
)(
rUrU
,
2
Таким образом, под сохраняющимися у фиктивной m-частицы величинами
E
0
и
всегда следует понимать внутреннюю энергию и собственный механи-
ческий момент системы двух реально существующих частиц.
57
Из соотношений (20.3) и (20.7) следует, что траектории реальных частиц
m
cLr
const
c
L=r
m
a
-
=
=
a
=
a
<<
¥
®
rr=
=rr
=
m
=
=
2
2
2
m и 2m , составляющих замкнутую систему двух тел, и фиктивной
1
-частицы
подобны между собой (причем центром подобия является центр масс частиц
и
m ) и лежат в одной и той же плоскости, перпендикулярной к вектору
2
m
1
.
Вследствие закона сохранения
указанная плоскость сохраняет
неизменную ориентацию в пространстве. Это означает, что если фиктивная
-частица движется по эллиптической траектории, то и реальные частицы
также описывают эллиптические орбиты. Такая ситуация, например, имеет
m
2
m и
1
место, если взаимодействие между частицами носит кулоновский характер, т. е.
если энергия взаимодействия частиц rrU /)(
взаимодействие) или
ee
(электростатическое взаимодействие).
21
, где
mGm
(гравитационное
21
Рассмотрим некоторые частные случаи движения системы двух частиц в
зависимости от соотношения их масс
1.
mm
(такое соотношение масс реализуется в системах планета –
21
m и 2m :
1
Солнце, водородоподобный атом). В этом случае выражения (20.3) и (20.6) для
радиусов-векторов и приведенной массы частиц можно представить в виде:
æ
ç
1
1
ç
è
В пределе при
m
2
системе двух частиц сводится к движению легкой частицы
неподвижной (в ц-системе) тяжелой частицы
поля, в котором происходит движение частицы
2.
mmm
(такое соотношение масс реализуется в некоторых двойных
21
ö
mrrr
1
÷
, r
r
r
-»
÷
m
2
ø
;
rr
,
1
2
2
m
rr
1
-» ,
m
2
0
,
m
æ
ç
1
m
1
ç
è
m
и, следовательно, движение в
1
m . Эта частица является центром
2
m .
1
ö
m
1
÷
m
.
÷
2
ø
m относительно
1
-»
звездах, а также в системах протон – протон, протон – нейтрон при столкновениях). В этом случае
1
= , rr
1
rr
rr
2
rr
1
-= ,
m
=
m
.
В гравитационном поле при определенных условиях
для фиктивной ц-частицы возможно устойчивое движение по круговой орбите, при этом реальные частицы с
равными массами будут двигаться по одной и той же
круговой орбите, как бы гоняясь друг за другом
(рис. 4.6). Такая ситуация, как показывают фотометрические исследования, имеет место в двойной звезде
Большой Медведицы.
Рис. 4.6
58
(
)
+
=
m
=
>>
m
(
)
=
(
)
(
)
r
r
(
)
(
)
j
(
)
(
)
(
)
j
(
)
j
r
r
u
r
(
)
2
(
)
(
)
j
j
§ 21. Одномерный эффективный потенциал
Исследование относительного движения в системе двух взаимодействую-
щих между собой точечных частиц с массами
m и 2m сводится к решению эк-
1
вивалентной задачи о движении одной частицы с приведенной массой
/ mmmm
во внешнем центрально-симметрическом поле. Эту часть про-
2121
блемы двух тел называют задачей о движении в центрально-симметрическом поле.
Если
mmm
, то можно говорить о движении легкой частицы массой m во
12
внешнем центрально-симметрическом поле, создаваемом неподвижной тяжелой
частицей
Рассмотрим движение точечной частицы массой
симметрическом поле, в котором ее потенциальная энергия имеет вид:
m
.
2
в центрально-
rUU
где r – расстояние от частицы до некоторой неподвижной точки O, называемой
центром поля.
При движении частицы в стационарном силовом поле
rU сохраняется ее
полная механическая энергия E и момент импульса L относительно центра поля.
Сохранение неизменным направления вектора L приводит к тому, что движение
частицы в центрально-симметрическом поле
rU
оказывается плоским: траек-
,
тория частицы лежит в плоскости
Введем для описания плоского движения частицы в поле
координаты
,r , причем полюс полярной системы координат совместим с
0=× Lr
, перпендикулярной вектору L.
rU
полярные
центром поля O , а полярную ось направим пока произвольно. Таким образом,
исследование движения частицы в центрально-симметрическом поле
дится к определению функций
tr и
t
. Решение этой задачи проще всего по-
rU сво-
лучить, исходя из законов сохранения энергии и абсолютного значения момента импульса (интеграла площадей):
ì
E
ï
í
ï
î
Действительно, используя полярные координаты
жения для радиуса-вектора
и скорости
2
m
u
2
r
r
( )
[ ]
u
()
=+=
,
constrU
(21.1)
==
.
constmrL
,r и известные выра-
, законы сохранения (21.1) можно
переписать в виде:
m
E
&
2
&
j
mrL =
222
&
j
.
(21.3)
++=
()
,
rUrr
(21.2)
Полученные равенства представляют собой дифференциальные уравнения
первого порядка относительно неизвестных функций
tr и
t
.
Переменные r и j в системе уравнений (21.2), (21.3) легко разделяются.
Действительно, выражая из (21.3) угловую скорость
&
через механический
момент L
59
mr
d
j
2
2
mr
(
)
r
r
(
)
(
)
j
(
)
=
(
)
j
=
(
)
(
)
j
(
)
&
j
dt
L
==
(21.4)
2
и подставляя полученное выражение в интеграл энергии (1.2), перепишем его в виде
2
&
Функцию
rm
E
() ()
эфф
+=
()
.
rU
эфф
rUrU
(21.5)
2
L
+=
2
(21.6)
называют одномерным эффективным потенциалом.
Из уравнения (21.5) находим:
dr
&
r
2
[ ]
-±==
mdt
эфф
()
rUE
, (21.7)
разделяя переменные r, t и интегрируя:
±= .
t
ò
dr
2
[ ]
-
m
эфф
()
rUE
Из второго интеграла движения (21.8) можно определить функцию
(21.8)
+
t
0
tr
подстановка которой в уравнение (21.4) позволяет получить еще один второй
интеграл:
()
t
m
ò
2
()
+= .
tr
jj
0
(21.9)
dt
L
Полученные вторые интегралы движения (21.8) и (21.9) вместе с уравнением
плоскости, в которой происходит движение частицы:
zLyLxLrL
,0=++=×
zyx
(21.10)
дают полное решение задачи о движении частицы в заданном центральносимметрическом поле
произвольных постоянных
rU . Полученное общее решение задачи содержит шесть
,,,,, tLLLE
, определяемых начальными усло-
zyx
00
виями. Выбор знака перед интегралом в (21.8) должен быть согласован со
знаком начальной радиальной скорости
&&
00rr
.
,
Уравнение траектории частицы
rr
в плоскости (21.10) можно по-
лучить двумя способами. Во-первых, в некоторых случаях это можно сделать,
исключая время t из функций
tr и
t
, определяемых вторыми интегралами
движения (21.8) и (21.9). Кроме того, уравнение траектории частицы, движущейся в любом центрально-симметрическом поле
rU
, можно представить в виде
квадратуры. Исключая из уравнений (21.4) и (21.7) дифференциал времени dt,
получим:
Ldr
2
откуда
d
±=
j
±= .
ò
2
r
[ ]
2
-
эфф
Ldr
2
r
[ ]
-
эфф
60
,
(21.11)
()
rUEm
+
jj
(21.12)
()
rUEm
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]