Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методология научных исследований. Учебник
.pdf
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
Раздел VI МАЛАЯ ВЫБОРОЧНАЯ СОВОКУПНОСТЬ
§ 1 Таблицы случайных чисел и формирование малых выборок
Для того чтобы действительно случайно произвести отдельные частные
выборки или как говорится соблюсти фактор случайности из соответствующих генеральных совокупностей, можно использовать так называемую
таблицу случайных чисел (таблица 23), которая имеется во всех пособиях
биометрии. Эти таблицы состоят из четырехзначных чисел, составленных
случайно из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Четырехзначные числа расположены группами по 5 чисел в 10 столбцах на каждой странице. Случайность
расположения цифр 0, 1, 2, 3 и т.д. заключается в том, что они расположены без какого бы то ни было закона, но вместе с тем каждое из них на
странице встречается приблизительно одинаковое число раз. В зависимости
от вновь формируемого объема выборочной совокупности, устанавливаются
числа: номера однозначные, двузначные, трехзначные и т.д.
Приведем несколько примеров пользования таблицей случайных чисел.
1) Допустим, что из 100 деревьев нам нужно отобрать наудачу 20 для взятия из них образцов на определение технологических показателей древесины. Перенумеровываем для этого все имеющиеся деревья последовательными номерами 0, 1, 2, 3, 4 и т. Д. до 99. Затем из таблицы случайных
чисел, например из первого столбца первой страницы, выпишем первые 20
двузначных чисел, считая числа от 01 до 09 двузначными. Такими числами
будут: 85, 45, 49, 76, 43, 69, 03, 55, 65, 57, 60, 17, 97, 01, 09, 80, 51, 29, 14, 81.
Деревья с такими номерами и будут отобраны нами в качестве выборки для
определения технологических показателей.
Например, нужно отобрать 25 чисел-вариантов, смотрим на две последние или первые цифры и производим выписку вариант соответствующих выпавшему номеру.
Если до 100 вариантов берутся двузначные числа.
Если от 100 до 1000 вариантов берутся трехзначные числа.
Такое расположение цифр совершенно исключает всякую возможность их сознательного подбора и вместе с тем гарантирует одинаковую
вероятность встречаемости каждой цифры на определенном, не очень малом, отрезке таблиц.
§ 2 Решение малых выборок
Рассмотренная нами схема вычисления среднего квадратического отклонения применяется, как можно было видеть, к так называемым многочисленным выборкам, при обработке которых составляются вариационные ряды. В практике, однако, нередко приходится иметь дело с малым числом
наблюдений, когда среднее арифметическое (М) и среднее квадратическое
отклонение (
d
) определяются без предварительного составления вариацион-
ных рядов.
81
81
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 8574 5490 4069 0163 1241 8057 9706 1402 1354 3701
2 4576 6276 2709 4732 0301 5161 0303 4073 7434 7356
3 4999 8829 0291 0258 9430 2961 0338 2608 2693 3476
4 7627 6090 9572 0416 1218 1494 7129 7673 2919 4907
5 4315 5778 1508 9466 7012 8153 7758 8428 3110 1047
6 6987 8056 0026 8093 7121 0703 8108 7855 2170 5015
7 0387 9994 0103 3705 4252 6928 3015 4895 1510 0818
8 5581 2184 9763 8160 5917 6961 1672 8765 1761 2424
9 6531 8780 1572 1400 6529 2030 5510 1801 87771 2035
10 5735 5350 9828 5652 3698 3503 5568 5292 1721 4272
11 6092 0979 6190 2410 0650 9005 5857 2126 7494 5884
12 1791 3893 7019 3530 3463 4518 7817 9407 9389 6034
13 9776 5248 3866 3797 8070 3186 8225 3978 7487 5701
14 0118 1348 6571 0497 4376 7982 9039 8109 1998 9275
Таблица 23 – Случайные числа
82
15 0986 3888 4252 5736 7093 1414 4173 7896 0203 5920
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
n
S
n
S
n
n
10
S
a
Рассмотрим технику их вычисления для малых выборок. Среднее арифметическое в таких случаях, как известно, может быть определено при помощи общей формулы (4):
M
=
где V – значение отдельных вариант;
n – число вариант.
Наряду с этим обычным способом, для вычисления среднего арифметического может быть использован и способ моментов, что позволит значительно упростить в дальнейшем и технику вычисления среднего квадратического отклонения.
V
l
×+=
Выведенная ранее формула для большого числа вариант
bAM
1
при малых выборках приобретает следующий вид:
bAM +=
1
(30)
где А - условное или приближенное среднее;
b1 – начальный момент первой степени.
b
b
a
=
1
2
a
S
=
2
где а - отклонения отдельных вариант от условного среднего;
n - число измерений, наблюдений, количество вариант, дата;
b2 – начальный момент второй степени.
1 способ (таблица 24):
· Определяется сумма всех вариант
S
V = 68;
· Рассчитывается выборочное среднее арифметическое:
V
M 8,6
=
· Высчитываются отклонения вариант (
68
мм
==
) от среднего М: 5.4- 6.8 = -1.4
т.д.
(31)
(32)
7.2- 6.8 = 0.4 и
83
83
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
a
d
8.6
×=×=M
d
8.6
×=×
M
326.0
m
a
a
a
· Полученные разности суммируются алгебраически (алгебраическая сумма
отклонений от вариант всегда равна нулю);
· Все отклонения (
· Расчет среднего квадратического отклонения (
) возводятся в квадрат и результаты суммируются;
d
) по формуле, n -1 – число
степеней свободы отклонений вариант от среднего:
S
a
=
d
n
12-
2
S
a
=
d
=
-
n
1
52.9
-
==
110
мм
03.1058.1
(33)
· Все остальные показатели вычисляются по формулам большой выборки:
m 326,0
=
P
03,1
±==±=
n
10
m
326.0100100
мм
;
=
Сv
%8.4
;
M
t
03,1100100
=
8.6
===
;
%1.15
9.20
Таблица 24 – Техника вычисления малых выборок, 1 способ
№
п/п
1 5.4 5.4 - 6.8 = -1.4 1.96
2 7.2 7.2 - 6.8 = 0.4 0.16
3 6.0 6.0 - 6.8 = -0.8 0.64
4 8.2 8.2 - 6.8 = 1.4 1.96
5 7.2 7.2 - 6.8 = 0.4 0.16
6 8.2 8.2 - 6.8 = 1.4 1.96
7 6.1 6.1 - 6.8 = -0.7 0.49
8 6.7 6.7 - 6.8 = -0.1 0.01
9 5.5 5.5 - 6.8 = -1.3 1.69
10 7.5 7.5 - 6.8 = 0.7 0.49
Длина пло-
дов, V, мм
S
V = 68;
Мср=6.8
Отклонения вариант от средне-
го арифметического (
Sa=0 S
)
Квадраты отклонения вариант от
среднего арифметического (
2
= 9.52
2 способ (таблица 25):
· Среди вариант выбирается условное среднее (А). За условное среднее
можно принять любой вариант, но чем сильнее будет отклонение от среднего арифметического, тем более громоздким будет расчет, поэтому желательно выбрать значение ближе к среднему арифметическому, которое в
нашем случае равно М =6.8 мм и тогда условное среднее А= 6.7 мм;
2
)
· Высчитываются отклонения вариант от условного среднего: 5.4-6.7=-1.3
84
84
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
10
S=n
10
n
7.2-6.7=0.5 и т.д.;
· Полученные разности суммируются алгебраически;
· Возводятся в квадрат все условные отклонения и результаты суммируют-
ся;
Таблица 25 – Техника вычисления малых выборок, 2 способ
№
п/п
Длина плодов,
V, мм
Значения условных отклонений (а) от
условного среднего при А≠М
Квадраты условных
отклонений (а2)
1 5.4 -1.3 1.69
2 7.2 0.5 0.25
3 6.0 -0.7 0.49
4 8.2 1.5 2.25
5 7.2 0.5 0.25
6 8.2 1.5 2.25
7 6.1 -0.6 0.36
8 6.7 0 0
9 5.5 -1.2 1.44
10 7.5 0.8 0.64
S
V = 68;
Мср=6.8
S
а =1
S
a2=9.62
· Определяем начальный момент первой степени (для малых выборок без
учета частоты встречаемости вариант - р) по формуле (31):
1
b
a
1
1.0
==
· Выборочное среднее арифметическое определяется по формуле (30):
М=А+b1=6.7+0.1=6.8 мм;
· Начальный момент второй степени определяется по формуле (32):
2
a
S
b
=
2
62.9
962.0
==
· Определяем среднеквадратическое отклонение:
d
d
2
12
2
bb -=
12
98.0952.001.0962.0
==-=-= bb
(34)
· Все остальные показатели вычисляются по формулам большой выборки:
85
85
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
d
8.6
×=×
M
d
8.6
×=×
M
310.0
m
n
10
S
d
8.6
×=×
M
d
8.6
×=×
M
310.0
m
m
98.0
10
±==±=
m 310.0
n
=
P
;
мм
310.0100100
=
Сv
%6.4
=
;
M
t
98,0100100
=
8.6
===
;
%4,14
9.21
3 способ (таблица 26):
· Рассчитывается среднее арифметическое по известной формуле:
V
=
68
M 8,6
мм
==
· Полученная величина среднего арифметического (М=6.8) возводится в
квадрат:
М2 = 6.82 = 46.24
· Полученные квадраты суммируются алгебраически;
· Определяем среднеквадратическое отклонение по следующей формуле:
2
d
n
v
S
= M
d
2
n
2
v-S
=
10
2
M
92.471
98.0952.024.46
==-=-
(35)
· Все остальные показатели вычисляются по формулам большой выборки:
98.0
±==±=nm
10
=
P
m
;
310.0
310.0100100
=
Сv
%6.4
=
;
M
t
98,0100100
=
8.6
===
;
%4,14
9.21
Таблица 26 – Техника вычисления малых выборок, 3 способ
№
п/п
1 5.4 29.16
2 7.2 51.84
3 6.0 36.0
4 8.2 67.24
5 7.2 51.84
Длина плодов, V, мм V2, мм
86
86
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
6 8.2 67.24
7 6.1 37.21
8 6.7 44.89
9 5.5 30.25
10 7.5 56.25
S
V = 68; Мср=6.8
S
V2=471.92
Определение достоверности среднего арифметического при малых выборках и доверительных границ для генерального среднего производится
также по критерию Стьюдента. На пересечении фактического значения числа степеней свободы f' = n-1 и соответствующей доверительной вероятности
находится критическое значение критерия Стьюдента .
Если tф > t01(n') и t05(n'), то выборочное среднее арифметическое будет
достаточно надежно характеризовать генеральное среднее.
Если tф ≤ t01(n') и t05(n'), то выборочное среднее арифметическое не может надежно характеризовать генеральное среднее.
Например, при tф > t01(n'), если tф=21.9 > t01(9)=3.25, доверительный интервал для генерального среднего значения длины плодов составит: М ± 3.25
х m.
Значение 3.25 взято из таблицы 13 при Р = 99% и f 1 = n-1= 10-1=9. Из
чего следует: 6.8 ± 3.25 х 0.310, тогда доверительный интервал будет следующий: 5.79 --- 7.81.
Следует помнить, что при первом способе расчета среднего квадратического отклонения получается несмещенная оценка его значения, т.к. сумма
квадратов отклонений вариант от среднего арифметического делится не на
число вариант, а на число степеней свободы. Это делается потому, что отклонения вариант от среднего связаны условием
S
a=0, так что независимыми могут быть только n-1 отклонений, n-ое отклонение должно быть таким, чтобы выполнялось условие
S
a=0.
Число независимых величин, участвующих в образовании статистического показателя, называется числом степеней свободы этого показателя и
обозначается f 1. Оно равно общему числу величин, по которым вычисляется
статистический показатель, без числа условий, связывающих эти величины.
Среднее квадратическое отклонение вычисляется по n отклонениям, связанным одним условием, число степеней свободы будет f1 = n-1. Среднее
арифметическое вычисляется по n вариантам, не связанным какими-либо
условиями, поэтому число степеней свободы среднего арифметического f1 =
n.
Контрольные вопросы:
1. Как формируются малые выборки с помощью таблиц случайных чисел?
2. Когда соблюдается фактор случайности?
3. Как пользоваться таблицей случайных чисел?
87
87
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
4. Какова техника вычисления малых выборок?
5. Для чего может быть использован способ моментов?
6. Сколько способов вычисления малой выборки вы знаете?
7. Какие из показателей могут быть вычислены по формулам большой
выборки?
Контрольное задание: рассчитать все изученные статистические вели-
чины по первому признаку (решение малой выборки по предложенным способам).
Раздел VII РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИЗНАКА
§ 1 Закономерности распределения
Разнообразие объектов, составляющих группу - основное свойство
всякой совокупности. Знание закономерностей, по которым формируется
разнообразие признака в группе, имеет большое практическое и научное
значение. В малочисленных группах трудно подметить какую-либо закономерность в разнообразии дат. Обычно все значения бывают различными и повторяются без всякой видимой закономерности.
По мере увеличения численности изучаемых групп все более проявляется та закономерность в разнообразии, которая в малочисленных
группах была скрыта случайной формой своего проявления.
В больших группах эта закономерность проявляется уже достаточно
ясно в самой форме распределения значений признака в группе.
Если имеется многочисленная группа особей, то различные значения признака встречаются в этой группе неодинаковое число раз, одни
значения встречаются чаще, другие реже. Это явление называется
распределением признака. Закономерности распределения заключаются в том, что в группе особей наблюдается преимущественное
появление определенных значений признака. Обычно на протяжении
всего разделения от максимума до минимума бывает одна группа близких значений, которая появляется заметно чаще других значений. В некоторых распределениях наблюдаются две или три такие группы.
В процессе изучения многих совокупностей по различным признакам
наметилось несколько типов распределения признака в группе, получивших
математическое оформление. При исследовании биологических объектов
наибольшее значение имеют: нормальное распределение, биномиальное рас-
пределение и распределение Пуассона. Изобразить распределение признака
можно различными способами: вариационным рядом, гистограммой, вариационной кривой, кумулятой.
Закономерности распределения. Рассматривая вариационные ряды и
их графические изображения, особенно при большом числе вариант (n),
88
88
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
мы можем наблюдать, что частоты вариант возрастают по мере увеличения их значения от минимального до близкого к среднему арифметическому. Около этого среднего значения обычно наблюдаются максимальные
частоты вариант. По мере дальнейшего увеличения значения вариант частоты их уменьшаются и при максимальном значении вариант становятся минимальными. При бесконечно большом числе наблюдений графическое изображение вариационного ряда приблизится к некоторой плавной
кривой, которая называется нормальной кривой распределения (рису-
нок 1). Эта кривая называется также биномиальной кривой, так как она
представляет собою значения биномиальных коэффициентов при очень
высокой степени бинома.
-36 -26 -6 М +6 +26 +36
Рисунок 1 - Биномиальная кривая
Нормальная кривая является выражением нормального закона распределения вариант. Такое распределение вытекает как непосредственное
следствие закона больших чисел. Ординаты кривой распределения, представляющие собою частоты для отдельных значений вариант, одновременно выражают и вероятности появления этих значений во всей совокупности.
Так как для появления минимальных значений вариант требуется сочетание исключительно так называемых неблагоприятных факторов, что бывает
очень редко, то и вероятность их появления обычно очень мала. То же
имеет место и в отношении появления максимальных значений вариант.
§ 2 Правило золотого сечения
В качестве некоторой придержки при выборе масштабов или точнее,
соотношения между горизонтальным и вертикальным масштабами, может
быть использовано так называемое правило золотого сечения.
Золотым сечением, как известно, называется такое деление отрезка
прямой, при котором его большая часть является средней пропорциональной
между всем отрезком и его меньшей частью. В применении к чертежам правило
золотого сечения требует, чтобы отношение высоты прямоугольника, в котором располагается весь чертеж, к основанию равнялось отношению основания этого прямоугольника к сумме его основания и высоты. Такому
требованию примерно соответствует прямоугольник, у которого высота относится к основанию, как 5:8. Действительно, в таком прямоугольнике от-
89
89
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
ношение высоты к основанию (5:8) примерно совпадает с отношением ос-
нования к сумме основания и высоты (8:13) (рисунок 2).
8 + 5= 13 8:13
8 см
Рисунок 2 - Правило золотого сечения
§ 3 Графическое изображение вариационных рядов
Очень часто для более наглядного выражения изменчивости изучаемого материала и для сравнения между собою вариационных рядов прибегают к их графическому выражению. Сущность его сводится к построению
вариационных кривых или кривых распределения путем отложения в соответствующих масштабах по оси абсцисс (X) значений вариант и по оси
ординат (Y) их числа или так называемых частот (р).
Построение графических изображений вариационных рядов наиболее
удобно производить на клетчатой или миллиметровой бумаге (рисунок 3).
V = 5.35 ---- 5.85 ---- 6.35 ---- 6.85 ---- 7.35 ---- 7.85 ---- 8.35
р: 5 6 7 6 3 3
l
= 0.5; n = 30
Общий вид получаемых графиков зависит как от установленных
градаций (классов) для значения вариант и их частот, так и от выбранных масштабов. При выборе масштаба, хотя он вообще произволен,
приходится учитывать общую площадь чертежа с таким расчетом, чтобы
в горизонтальном направлении (по оси X) разместились все значения вариант от минимальных до максимальных, а по вертикали (по оси Y) все частоты, включая и наибольшую из них. Совершенно очевидно, что при построении на одном чертеже нескольких графиков однородных вариационных рядов, для их сравнения масштабы должны быть одинаковы.
После ранее произведенных вычислений, были получены следующие
величины, характеризующие данный вариационный ряд:
ld
bb М
12
l
- величина классового промежутка, l = 0.5;
22
76.05.017.037.2
=×-=×-=
усл.
b1 - начальный момент первой степени, b1 = 0.17 мм, 0.172 = 0.0289;
b2 - начальный момент второй степени, b2 = 2.37 мм.
90
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]