Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методология научных исследований. Учебник
.pdf
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
чаемых нами малых или больших выборок. На основании полученного
значения коэффициента корреляции мы судим о характере и степени тесноты связи для всей генеральной совокупности. Совершенно очевидно, что
правильность наших суждений будет полностью зависеть от степени надежности или достоверности найденной величины коэффициента корреляции.
Здесь, как и для среднего арифметического, большое значение имеет
число наблюдений или вариант (п). Понятно, что чем больше вариант использовано для вычисления коэффициента корреляции, тем на основании
закона больших чисел, он будет надежнее.
Другим важным фактором, кроме числа вариант, является и степень
тесноты установленной связи. Если найденная величина коэффициента
корреляции приближается к единице, т.е. к той границе его значения, при
которой корреляционная зависимость переходит в неразрывную причинную связь, то достаточная достоверность, такой тесной установленной связи может иметь место и при относительно небольшом числе вариант.
В связи с этим Пирсоном и Филоном была предложена следующая
формула для определения так называемой средней ошибки коэффициента
корреляции (mr):
2
1
r
m
r
-
±=
1
n
-
(39)
где mr – ошибка коэффициента корреляции;
r – коэффициент корреляции;
n - число измерений, наблюдений, количество вариант, дата.
22
84.01
130
-
29.0
±==
05.0
38.5
m
r
-
1
±=
r
n
-
-
=
1
Если сравнить эту формулу с формулой ошибки среднего (m), то
можно видеть, что знаменатель у них общий, место же среднего квадратического отклонения (d) в числителе здесь заменяет выражение 1 - r2.
Из этой формулы следует, что при r = 1 числитель 1 - r2 = 0. Таким
образом, если величина коэффициента корреляции стремится к +1 или -1,
то значение его ошибки стремится к нулю.
Наоборот, при уменьшении величины коэффициента корреляции значение числителя 1 - r2 приближается к единице и тогда решающую роль
приобретает число вариант (n).
Таким образом, окончательное выражение коэффициента корреляции бу-
дет:
r = 0.84 ± 0.05
111
111
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
Это означает, что величина коэффициента корреляции заключается в пределах от 0.79 до 0.89. Пределы, как можно видеть довольно узкие, что говорит о
достаточной надежности значения найденного коэффициента корреляции.
Степень надежности определяется здесь, так же как и для среднего
арифметического, по соотношению между коэффициентом корреляции и его
ошибкой:
r
t =
r
(40)
m
r
где tr - критерий достоверности коэффициента корреляции;
r – коэффициент корреляции;
mr – ошибка коэффициента корреляции.
В нашем случае степень надежности, достоверности составляет:
r
t
r
m
84.0
===
8,16
05.0
r
Для больших выборок (при большом числе вариант), установленная
связь считается в достаточной степени надежной, если t
>
3. Следовательно,
прямую связь между длиной и диаметром плодов можно считать достоверной.
Контрольные вопросы:
1. Могут ли служить корреляционные таблицы мерой степени тесно-
ты и надежности связи?
2. Что дает составление корреляционной решетки?
3. Какова техника составления такой корреляционной таблицы?
4. Что означает величина коэффициента корреляции?
5. Как определяется степень надежности коэффициента корреляции?
6. В каком случае ошибка коэффициента корреляции равно 0?
7. Какие факторы влияют на величину выражения Sа
хау
?
8. В каких пределах изменяется величина коэффициента корреля-
ции?
9. Каков характер связи при значении коэффициента корреляции
больше 0.7?
10. Сколько вариационных рядов необходимо иметь для составления
корреляционной решетки?
11. Кем была предложена формула для определения средней ошибки
корреляции?
112
112
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
12
vv
n
SS
n
Контрольное задание: рассчитать все изученные статистические вели-
чины по первому признаку и второму признаку, составить корреляционную
решетку по двум признакам, определить коэффициент корреляции, его
ошибку и критерий достоверности.
§ 5 Корреляционный анализ при малых выборках
При малом числе наблюдений (таблица 36), коэффициент корреляции
вычисляется по следующей формуле:
vv
S-
12
r
=
dd
12
(41)
где r – коэффициент корреляции;
V
d
- варианты;
1, V2
- дисперсии признаков;
1, d2
n - число признаков.
Среднее квадратическое отклонение для длины (V1) и диаметра (V2) пло-
дов находим по формуле:
2
V
2
V
d
)(S
-S=
(42)
Таблица 36 - Данные длины и диаметра плодов для малых выборок, n = 15
№
п/п
1 6.1 37.21 4.2 17.64 25.62
2 6.7 44.89 4.0 16.00 26.80
3 5.8 33.64 3.8 14.44 22.04
4 5.4 29.16 3.5 12.25 18.90
5 7.2 51.84 5.3 28.09 38.16
6 7.5 56.25 5.2 27.04 39.00
7 8.2 67.24 5.1 26.01 41.82
8 5.5 30.25 3.8 14.44 20.90
9 6.0 36.00 4.7 22.09 28.20
10 5.8 33.64 4.4 19.36 25.52
11 6.2 38.44 4.0 16.00 24.80
12 6.4 40.96 3.5 12.25 22.40
13 5.9 34.81 4.9 24.01 28.91
14 7.2 51.84 5.4 29.16 38.88
15 7.5 56.25 5.0 25.00 37.50
S
Длина плодов Диаметр плодов
V
х V2
1
V1 V
2
1
V2 V
2
2
97.4 642.42 66.8 303.78 439.45
113
113
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
n
642.42 642.42 632.45 9.97
15 15
n
303.78 303.78 303.78 297.48 6.3
15 15
0.72
×
Вычисляем суммы вариантов, суммы квадратов вариантов, произведе-
ний длины и диаметров плодов и подставляем в соответствующие формулы:
2
d
V
11
1
-S=
= 642.42-
2
)(S
V
2
97.4 9486.76
=- =-=
2
66.8 4462.24
d
V
V
2
-S=
22
2
)(S
2
=
-=- =-=
439.45
= = ==
r
97.4 66.8
-
15
×
9.97 6.3 62.811
439.45 433.75 5.7
-
7.92
- сильная положительная связь.
Затем определяем ошибку коэффициента корреляции:
22
72.01
115
-
48.0
==
13.0
(43)
74.3
m
r
-
1
=
r
n
-
-
=
1
Так, коэффициент корреляции с его ошибкой при числе наблюдений рав-
ном n = 15 будет следующий: r=0.72
±
0.13 – сильная положительная зави-
симость.
Контрольные вопросы:
1. Как вычисляется коэффициент корреляции при малом числе наблю-
дений?
2. Что определяют для установления степени тесноты связи при криво-
линейной зависимости вместо коэффициента корреляции?
3. Какие данные нужны для коэффициента корреляции при малых вы-
борках?
4. Как рассчитываются корреляционные отношения при малых выбор-
ках?
Контрольное задание: рассчитать изученные показатели для малой вы-
борки (коэффициент корреляции, ошибку, достоверность).
§ 6 Расчет корреляционных отношений при малых выборках
Корреляционное отношение измеряет степень криволинейных и прямолинейных связей (рисунок 8). Для установления степени тесноты связи при
криволинейной зависимости вместо коэффициента корреляции определяют
корреляционные отношения.
114
114
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
Криволинейная связь между признаками - это связь, при которой равномерным изменениям первого признака соответствуют неравномерные изменения второго, причем эта неравномерность имеет определенный закономерный характер.
При графическом изображении криволинейных связей, когда по оси абсцисс откладывают значения первого признака, а по оси ординат значения второго признака и полученные точки соединяют, получают изогнутые линии.
Характер изогнутости зависит от природы коррелируемых признаков.
При изображении криволинейных связей на корреляционной решетке
частоты внутри решетки не располагаются в форме эллипса, а их ареал
расположения имеет форму изогнутых неправильных фигур. По виду корреляционной решетки можно выяснить характер связи (прямолинейная или криволинейная).
+ + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + +
+ + + +
+ + + + +
+ + +
а) прямолинейная связь б) криволинейная связь
Рисунок 8 - Корреляционные решетки
Степень статистической зависимости одного признака от другого мож-
но определить, сопоставляя разнообразие этих признаков:
- когда первый признак принимает разные значения, а второй признак
остается неизменным, можно заключить, что разнообразие второго признака
не зависит от разнообразия первого и связь между ними равна нулю;
- если при значительном разнообразии первого признака второй имеет незначительное разнообразие, можно заключить, что статистическая
связь между разнообразием обоих признаков имеется, но она несильная;
- в случае, когда при изменении первого признака второй изменяется
часто и значительно можно говорить о сильной связи признаков.
Рассмотрим пример (Федоров А.Н., 1967): необходимо установить характер и величину связи между дозой яда в граммах (Vx) и смертностью
насекомых вредителей в % (Vу) на основе проведенных опытов (таблица 32)
при n=16.
115
115
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
3
16
Мг
==
15%
16
0
S=
0
S=
0
S=
30
S=
720
xy
xy
aa
dd
SS
00
xy
dd
×
x
2
2
48
х
М ==
240
у
а
х
а
у
аа
ху
2
а
х
2
аS=
у
Если найти коэффициент корреляции по формуле малых выборок:
=
(44)
r
n
r
Подставив данные
=
16
получаем r = 0, из чего следует вывод о
×
полном отсутствии связи между двумя признаками.
Теперь подвергнем сомнению этот вывод и проведем более детальный
анализ. Для того чтобы судить о наличии или отсутствии связи, а также о ее
характере произведем группировку данных по двум признакам и получим 5
групп. Эти группы получены следующим образом: из таблицы 37 выписываем варианты по возрастанию, начиная от минимального значения Vx, полученные сгруппированные варианты заносятся в соответствующую графу таблицы 38. Над каждой вариантой Vx записываем ее значения Vy. Затем вычисляем средние для каждой группы (только для Vy) и записываем их значения в
верхнюю графу таблицы 38.
В группированных рядах хорошо прослеживается зависимость между
дозой яда и смертностью, при увеличении яда от 1 до 3 г, смертность возрастает, далее смертность падает. Таким образом, мы наблюдаем криволинейную корреляцию, а не отсутствие связи.
Таблица 37 - Характер и величина связи между дозой яда (г) и смертностью
насекомых вредителей (%), при n=16
№ п/п
1 3 24 0 +9 0 0 81
2 2 18 -1 +3 -3 1 9
3 4 12 +1 -3 -3 1 9
4 1 6 -2 -9 +18 4 81
5 5 12 +2 -3 -6 4 9
6 2 24 -1 +9 -9 1 81
7 3 18 0 +3 0 0 9
8 1 12 -2 -3 +6 4 9
9 5 6 +2 -9 -18 4 81
10 2 12 -1 -3 +3 1 9
11 4 18 +1 +3 +3 1 9
12 1 6 -2 -9 +18 4 81
Vx, г Vу, % аx ау
116
а
× ау
а
х
а
у
116
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
y
x
2
у
SD
2
у
а
S
2
у
SD
13 5 6 +2 -9 -18 4 81
14 3 24 0 +9 0 0 81
15 4 24 1 +9 +9 1 81
16 3 18 0 +3 0 0 9
S
48 240 0 0 0 30 720
Таблица 38
Групповые
средние (Му)
Доза яда V
Смертность
насекомых V
1; 1; 1 2; 2; 2 3; 3; 3; 3 4; 4; 4 5; 5; 5
8 18 21 18 8
6; 12; 6 18; 24; 12 24; 18; 24; 18 12; 18; 24 12; 6; 6
Для определения степени тесноты связи при криволинейной корреляции
принимается корреляционное отношение, обозначаемое буквой h (читается
«эта») и вычисляется по формуле:
22
SD-S
h
=
у
х
уу
(45)
2
ааS
у
22
SD-S
хх
(46)
2
а
х
h
а
=
х
у
S
где
h
у
х
и
h
- корреляционные отношения, показывающие зависимость
х
у
У от Х и Х от У;
ау и ах - величины отклонений вариант от своих общих средних;
D
и
D
у
- величины отклонений вариант от своих соответствующих груп-
х
повых средних.
Для получения
, необходимо вычислить
h
у
х
, величина
быть взята из таблицы 39.
Вычисляем
· значения V
· значения M
· значения Δ
· значения Δ
по следующей схеме:
(строчка 1) таблицы 39 взяты из таблицы 38 (строчка 2);
Y
взяты из таблицы 38 (строчка 1);
y
получаются вычитанием: Δy = Vy - My; Δy = 6-8 = -2 и т.д.;
y
возводятся в квадрат (Δ
y
2
): -22 = 4 и т.д.
y
может
117
117
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
Y
Δ
Δ
2
у
SD
2
у
а
S
0,82
х
Y
X
Δ
Δ
2
х
SD
Таблица 39
V
My группо-
вые средние
y
2
y
6 12 6 18 24 12 24 18 24 18 12 18 24 12 6 6
8 8 8 18 18 18 21 21 21 21 18 18 18 8 8 8
-2 +4 -2 0 +6 -6 +3 -3 +3 -3 -6 0 +6 +4 -2 -2
4 16 4 0 36 36 9 9 9 9 36 0 36 16 4 4
= 4+16+4+36+36+9+9+9+9+36+36+16+4+4=228;
=720
Следовательно,
у
h
х
720 228
==
-
720
В противоположность коэффициенту корреляции, который в данном
случае равнялся нулю (r=0), корреляционное отношение свидетельствует о
наличии весьма значительной зависимости процента смертности насекомых
вредителей от дозы яда.
Определим обратное корреляционное отношение
h
(по примеру
х
у
).
h
у
х
Для этого произведем группировку данных (таблица 40) по дозировке
яда в граммах (VX) в зависимости от % смертности насекомых (VУ).
Таблица 40
Групповые
средние (М
V
V
х
2
х
)
4; 4; 4; 4 4; 1; 1; 4 1; 0; 0; 1 1; 0; 1
3 3 3 3
1; 1; 5; 5 1; 2; 4; 5 2; 3; 3; 4 2; 3; 4
6; 6; 6; 6 12; 12; 12; 12 18; 18; 18; 18 24; 24; 24
-2; -2; +2; +2 -2; -1; +1; +2 -1; 0; 0; +1 -1; 0; +1
= 4+4+4+4+1+1+1+4+1+1+1+1=30
Sа
2
х
= 30 или
22
, что и следовало ожидать, так как групповые
аS=SD
хх
средние в данном случае остаются неизменными и равняются общему среднему Мх=3.
3030=-
Следовательно,
h
=
х
у
30
0
Таким образом, полученные корреляционные отношения показывают,
что если процент смертности насекомых вредителей в сильной степени зависит от дозы яда, то доза яда не зависима от процента смертности, налицо
пример односторонней криволинейной зависимости.
118
118
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
h
h
Примеры такой зависимости: урожайность от влагообеспеченности почвы; рост деревьев от почвенной влаги сначала возрастает, доходит до оптимума, затем снижается.
В отличие от коэффициента корреляции, применяемого только при прямолинейном характере связи, корреляционное отношение сохраняет свое
значение при любых типах зависимости между переменными величинами.
Как и коэффициент корреляции (r) корреляционное отношение (h) меняется от -1 до +1. Между коэффициентом корреляции (r) и корреляционным
отношением (
h
) имеется зависимость, которая может быть сведена к следу-
ющим основным положениям:
· величина коэффициента корреляции всегда больше или равно абсо-
лютной величине коэффициента корреляции, т.е.
· если между Х и У есть прямолинейная зависимость, то
· если корреляционная связь между Х и У отсутствует, то
h
³ r;
h
= r;
h
=0;
· если между Х и У имеет место однозначная связь, носящая функцио-
нальный характер, то корреляционное отношение принимает максимальное значение
h
=1;
· при наличии между Х и У криволинейной связи, то h > r.
Ошибка корреляционного отношения, при n=16 будет равна:
m
-
h
=
h
n
-
=
=
16
22
82.011
6724.01
-
4
=
082.0
(47)
m
где
- ошибка корреляционного отношения.
h
Критерием достоверности в данном случае служит величина, к которой
предъявляются те же требования, что и при рассмотрении ошибки коэффициента корреляции, т.е. при большом числе вариант, установленные отношения считаются в достаточной степени надежными, если t
>
3. Следовательно,
одностороннюю криволинейную зависимость можно считать достоверной,
корреляционное отношение можно считать существенным:
t =
h
m
h
(48)
82,0
t
h
m
h
082,0
10
===
Контрольные вопросы:
1. Отличие коэффициента корреляции и корреляционного отноше-
ния?
119
119
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
2. Как и в каких случаях рассчитываются корреляционные отноше-
ния?
3. При отсутствии корреляционной связи между Х и У чему равно кор-
реляционное отношение
h
?
4. В каком случае корреляционное отношение принимает максимальное
значение?
5. В каких пределах изменяется корреляционное отношение?
6. По какой формуле рассчитывается ошибка корреляционного отноше-
ния?
7. В каком случае одностороннюю криволинейную зависимость можно
считать достоверной?
Контрольное задание: рассчитать все изученные статистические вели-
чины по первому признаку (корреляционное отношение, ошибку, критерий
достоверности).
Раздел IХ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
§ 1 Определение коэффициента регрессии и ошибки регрессии
При изучении корреляционных связей, наряду с установлением характера и степени тесноты связи между отдельными явлениями, может иметь место вопрос также и о количественном изменении связанных друг с другом
показателей или признаков.
Так, например, после установления связи и к тому же очень тесной,
между объемом кроны и урожайностью листа у шелковицы, совершенно
естественно возникает вопрос о том, насколько же увеличится в среднем количество листа с одного дерева при увеличении объема кроны на 1 м3.
Коэффициент корреляции представляет собой отвлеченную величину,
устанавливающую только характер и степень тесноты связи, поэтому он не
может дать непосредственного ответа на поставленный вопрос.
Для этой цели служит так называемый коэффициент регрессии, показывающий, как изменяется один из связанных показателей при изменении
другого на какую-либо определенную единицу измерения. Регрессия - это
изменение функции при определенных изменениях одного или нескольких аргументов.
Функция - это признак, зависящий от другого признака, т.е. аргумента.
Зависимость функции от аргумента может быть физиологической или условно
принятой в исследовании. Примером физиологической зависимости может
служить зависимость веса животного (функции) от возраста (аргумента).
Если по длине определяется вес животного, считается, что вес зависит от
длины, если же необходимо предусмотреть размеры животных разного веса,
то принимается, что длина зависит от веса. Это пример условной зависимости.
120
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]