Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методология научных исследований. Учебник
.pdf
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
n
S
30
2
А мм
+
pa
=
b
1
(6)
где
S
ра – сумма произведений частоты встречаемости вариант и условного отклонения, чем дальше от среднего арифметического выбрано начало
отсчета, тем больше будет абсолютная величина
S
ра, которая в нашем случае
равна 5 (§ 2, таблица 5, пятая строчка);
n - число измерений, наблюдений, количество вариант.
Подставив значения в формулу (6) получаем значение начального мо-
мента первой степени:
5
1
==
ммb 17,0
Принимаем за условное или приближенное среднее (А) среднее значение
того класса - (6.35 +6.85) : 2, в котором находится 7 частот встречаемости вариант (нулевое условное отклонение) (§ 2, таблица 4).
==
6,60
(7)
6,35 6,85
Далее подставляем значения А, b1 и
l
в формулу определения среднего
арифметического для большой выборки (5) получаем среднее значение
длины плодов равное:
М = 6.60 мм+ 0.17
×
0.5 мм = 6.68 мм
Следует заметить, что если A = М, то b = 0; если A < М, то b > 0; если
A > М, то b < 0. В нашем случае A < М или 6.60 < 6.68 и b > 0, т.е. равно
0,17мм.
Найденная средняя величина, в данном случае длина плодов
представляет собой вполне реальную величину. Если произвести замеры
линейных параметров взятых для исследования плодов с точностью до 0.01
мм, то среди них мы с большой долей вероятности найдем такие, параметры
которых совпадают с вычисленным средним или очень близки к нему.
Вычисление среднего значения для целого варьирования примерно такое же,
только значения при этом берутся целые, а не дробные.
Такова техника вычисления средних значений для многочисленных совокупностей (большая выборка). Отметим, что проверка вычисления средних
производится путем повторного их нахождения при другом приближенном
или условном среднем (А), взятом в каком-либо ином классе. Совершенно очевидно, что в обоих случаях результаты должны быть тождественны.
51
51
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
1
V
n
S
2
V
n
S
S
nn
Mn Mn Mn Mn
×+×+×+×
§ 2 Взвешенное среднее арифметическое
При практических и научно-исследовательских работах в некоторых случаях приходится объединять полученные средние для однородности материала, т.е. на основе отдельных средних давать одно общее,
характеризующее весь изучаемый материал.
На практике такое общее среднее нередко получают путем простого
сложения отдельных средних с последующим делением полученной суммы
на их число. Такое, на первый взгляд, как будто бы и правильное решение вопроса на деле может привести иногда к довольно грубым ошибкам. Правильность отражения средним действительных закономерностей изучаемого материала в значительной степени зависит от числа вариант или наблюдений,
на основе которых было получено среднее. Иногда значения признака должны входить в сумму с неодинаковой поправкой. Эта поправка, выраженная
определенным множителем, в данном случае числа вариант (n), использованные при вычислении среднего (М), называется математическим «ве-
сом» значения.
Средняя, рассчитанная для значений признака с неодинаковыми «веса-
ми», называется взвешенной средней.
Таким образом, сводить отдельные средние в одно общее путем простого суммирования этих средних с последующим делением на их число можно
только в том случае, когда «веса» средних равны между собою. В случаях
же, когда эти «веса» неодинаковы, необходимо пользоваться особой формулой взвешенного среднего, вывод которой мы и рассмотрим.
Предположим, мы имеем отдельные средние M1, М2, М3 ... Мn и их соответствующие «веса» - n
1, n2, n3
... nn. Каждое из этих средних может быть вы-
ражено следующим образом:
V
M
1
1
= ,
M
2
= ….
2
М
1
n
=
(8)
n
n
Подставляя найденные величины и выражение общего или взвешенного
среднего, получаем следующую формулу для его вычисления:
M
11 2 2 33
=
nnnn
+++
123
...
...
n
(9)
1) Пример вычисления взвешенного среднего (,,,,,).
Предположим, что при выборочном учете урожайности плодов дикорастущей фисташки были получены средние показатели для одного дерева или
куста: 2.4 кг (М1) при учете 5 деревьев (n1); 1.9 кг (М2) - для 10 деревьев (n2) и
1.7 кг (М3) - при учете 21 дерева (n3). Следует учесть, что отдельные средние
могут быть и с одинакового количества кустов, деревьев и т.д., при условии,
52
52
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
3
+
+
36
36
21105
+
+
+
+
3
+
+
36
36
21105
+
+
+
+
когда необходимо взять или же есть достаточное количество деревьев в изучаемой совокупности.
При таком вычислении получается более точное среднее, чем, если мы
просто разделили на число «3» - количество средних арифметических, т.к.
имеется три варианта.
1)
=
1
6,19,14,2
кгМ 0,2
=
- по формуле простого среднего арифме-
тического значения.
ххх
М 85,1
2)
=
1
++
217,1109,154,2
=
7,350,190,12
7,66
==
кг
- по
формуле взвешенной средней арифметической.
Разница в значении средних, полученных двумя различными способами,
на первый взгляд, как будто бы и не такая значительная, т.е. всего 150 г. Однако если бы мы, пользуясь этими средними, решили определить урожай листа с одного гектара плантации при густоте стояния растений, к примеру, в
400 деревьев (схема посадки фисташки 5мх5м), то эта разница выразилась бы
уже весьма осязательной величиной.
В первом случае урожай с одного гектара составит:
=
1
6,19,14,2
==
кгдеревьевкгхМ 8004000,2
Во втором случае урожай с одного гектара составит:
ххх
М 74040085,1
=
1
++
217,1109,154,2
=
7,350,190,12
7,66
===
кгкгх
Разница между этими двумя расчетами составляет достаточно большую
величину - 60 кг плодов фисташки. При вычислении количества урожая при
более плотной схеме посадки, например 2мх2м, что, конечно же, неприемлемо для фисташки, разница будет более ощутимой.
2) Пример вычисления взвешенного среднего.
Проведено три независимых наблюдения сокращений определенного органа у определенного живого организма в определенной среде.
Например, в первом наблюдении зарегистрировано 24 сокращения в 1
час, во втором - 16 и в третьем – 23 сокращения, причем первое наблюдение длилось 2 часа, второе наблюдение - 6 часов и третье - 1 час. Для
определения среднего числа сокращений необходимо найти взвешенную среднюю арифметическую. Значениями признака будут наблюдавшиеся количества сокращений в час (24, 16, 23), их «весами» продолжительность отдельных наблюдений (2, 6, 1 час).
В первом случае средневзвешенное арифметическое составит:
53
53
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
9
162
+
+
3633
+
+
ххх
167
М 6,18
=
1
++
123616224
==
сокращений
Во втором случае простое среднее арифметическое составит:
=
1
231624
сокращенийМ ==
,21
которое дает более завышен-
ную характеристику, чем вычисление средневзвешенного.
Таким образом, во избежание просчетов при разном «весе» отдельных
средних необходимо всегда пользоваться формулой взвешенного среднего.
Контрольные вопросы:
1. Какой показатель определяется при изучении варьирующих количе-
ственных показателей?
2. Какова формула определения среднего арифметического для большой
выборки?
3. Для каких расчетов нужен начальный момент первой степени?
4. Что означает понятие «средневзвешенная величина»?
5. Что такое «вес» и при вычислении какого показателя его используют?
6. При каком вычислении среднего получается более точное значение?
Контрольное задание: рассчитать статистические величины по первому
признаку (среднее арифметическое значение, среднее взвешенное).
§ 3 Среднее квадратическое отклонение
Степень разнообразия особей в группе по изучаемому признаку измеряется несколькими показателями, из которых наибольшее значение
имеет среднее квадратическое отклонение (
d
- сигма). В качестве одной
из основных мер изменчивости при изучении статистических совокупностей
в настоящее время применяется не средний квадрат отклонений (
2
d
), называемый также дисперсией, а корень квадратный из нее (d), который берется со
знаком плюс. Среднее квадратическое отклонение используется при решении ряда вопросов, связанных как с оценкой достоверности найденных средних, так и для установления наличия и степени связи между отдельными совокупностями. Кроме того
d
используется как вспомогательная величина для
определения основных статистических показателей. Среднеквадратическое
отклонение, как и средние величины ряда, является именованной величиной,
выражающейся в величинах измерения ряда.
Величина среднего квадратического отклонения (d) показывает в какой
степени каждая варианта отличается от среднего арифметического. Чем
меньше значение
d
, тем признак обладает меньшей изменчивостью (вариа-
бельностью).
54
54
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
n
30
30
n
S
Среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение дают полную количественную характеристику эмпирической совокупности, подчиняющейся закону нормального распределения. Средняя арифметическая отображает действие на признак основных факторов. Среднее квадратическое отклонение, характеризующее варьирование значений признака
вокруг центра распределения, является мерой степени влияния на признак
различных второстепенных причин, вызывающих варьирование.
Например, два сорта имеют близкие показатели М, но значения d разные, более ценным сортом будет считаться образец с меньшей величиной
d
что свидетельствует о стабильности изучаемого показателя, обладающего
меньшей изменчивостью.
2
S
pa
=
n
2
ld
×-
b
- формула вычисления d для больших выборок
1
(10)
b2 (начальный момент второй степени) определяется по формуле:
2
pa
S
b 37.2
=
2
71
==
мм
(11)
Формула b1 была представлена и рассчитана выше и выглядит следую-
щим образом
b ==
pa
=
1
5
.17,0
мм
В этом случае получается следующая окончательная формула для упрощенного вычисления среднего квадратического отклонения при больших выборках:
2
d
bb -=
х l
12
(12)
,
Следует отметить, что
«отрицательных» вариант, как это было указано при вычислении среднего
арифметического. Вычисление же
55
где
d
- среднее квадратическое отклонение;
l
- величина классового промежутка, l = 0.5;
b1 - начальный момент первой степени, b1 = 0.17 мм, 0.172 = 0.0289;
b2 - начальный момент второй степени, b2 = 2.37 мм.
d
2
S
ра вычисляется с учетом «положительных» и
S
pa2 производится путем суммирования
55
==-=-=
ммххх 76,05,053,15,00289,037,25,017,037,2
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
частот (р) и умножения их на соответствующие значения а2, так как квадраты отклонений вариант от условного среднего всегда будут положительными
числами.
Среднее квадратическое отклонение служит основным показателем
выявления разнообразия значений признака в группе. Используется d и
как самостоятельный показатель, и как основа для построения многих других показателей в биометрии: коэффициента вариации, ошибок
репрезентативности, различных показателей распределения, коэффициентов корреляции и регрессии, элементов дисперсионного анализа.
Среднее квадратическое отклонение - показатель именованный и
выражается в тех же единицах, что и средняя величина. Если надо сравнить разнообразие признака разноименованного, например вес (кг) и
длина (см), производится расчет относительного показателя разнообразия - коэффициента вариации, которая будет представлена в последующих разделах. Вычисление среднего квадратического отклонения для прерывистого (целого) варьирования производится по такой же схеме.
Контрольные вопросы:
1. При решении, каких вопросов может быть применено среднее квадра-
тическое отклонение?
2. Что свидетельствует о стабильности изучаемого показателя?
3. Что служит критерием оценки надежности для полученных выбороч-
ных характеристик?
4. В каких единицах выражается среднее квадратическое отклонение?
5. Как вычисляется сумма произведений частот и условного отклонения?
6. Какие величины дают полную количественную характеристику эмпи-
рической совокупности?
7. Назовите схему вычисления среднего квадратического отклонения для
прерывистого варьирования.
Контрольное задание: рассчитать среднее квадратическое отклонение
по первому признаку.
§ 4 Ошибки репрезентативности
В связи с тем, что при проведении опытных работ и научных исследований в большинстве случаев мы не можем оперировать с очень большими
по численному составу выборками, совершенно естественно возникает
необходимость определения возможных ошибок в характеристиках изучаемого материала на основе этих выборок. Необходимо четко отметить при
этом, что под ошибками в данном случае мы понимаем не погрешности в
вычислениях тех или иных статистических показателей, а пределы возможных колебаний их значений по отношению ко всей совокупности.
56
56
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
Сопоставление отдельных найденных значений статистических показателей с возможными пределами их отклонений и служит, в конечном
счете, критерием оценки надежности для полученных выборочных характеристик.
Разрешение этого крайне важного как в теоретическом, так и практическом отношениях вопроса дает нам теория статистических ошибок.
Ошибки репрезентативности возникают всегда, когда требуется по
какой-либо части охарактеризовать целое. Эти неизбежные ошибки
вытекают из самой сущности выборочного исследования, вся генеральная совокупность может быть охарактеризована по одной своей части
только с некоторой ошибкой, с определенной погрешностью. Ошибки
репрезентативности не могут быть устранены при любой организации работ, за исключением перехода на сплошное изучение.
Уместен вопрос, а зачем проводить исследование, которое безнадежно обречено на получение ошибочных результатов? Ответ на этот вопрос содержится в особых свойствах этих ошибок.
Во-первых, ошибки репрезентативности можно свести к достаточно
малой величине, к величине допустимой погрешности, практически приемлемой при оценке генеральных параметров в конкретных условиях.
Делается путем привлечения в выборку достаточного количества объектов.
Во-вторых, возможную величину ошибок репрезентативности можно
определить на основе анализа выборочных данных и учесть при оценке
генеральных параметров.
Понимание сущности ошибок репрезентативности предохранит от
необоснованного применения их. Определять величину ошибок репрезентативности требуется только для выборочных показателей, так как генеральные параметры не имеют ошибок репрезентативности.
Кроме ошибок репрезентативности при исследовательских работах мо-
гут встретиться ошибки самого разнообразного характера:
- методические ошибки, которые возникают при нарушениях методики
исследований;
- ошибки точности (измерение с недостаточной точностью, непрове-
ренные измерительные приборы);
- случайные ошибки (просчеты, путаница материала и т.д.);
- при необъективной оценке генеральной совокупности, т.е. изъятие
предвзятой выборки, например лучшие экземпляры.
§ 5 Ошибка среднего арифметического
При рассмотрении применения методов математической статистики
мы уже отмечали, что среднее арифметическое, являясь одной из самых
основных величин, характеризуется в отдельных случаях различной степе-
57
57
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
нью устойчивости. Иначе говоря, среднее арифметическое, которое по своему значению должно быть средней типической характеристикой изучаемого количественного материала, не во всех случаях может претендовать на
роль такого показателя.
Каждое найденное среднее арифметическое представляет собою только некоторое приближение к действительному среднему значению всей
статистической совокупности, которое получилось бы при учете всех вариант, составляющих эту совокупность. Если бы мы взяли несколько
выборок из одной статистической совокупности, то в результате получили бы несколько значений среднего арифметического. Из них можно составить обычный вариационный ряд, в котором средние отдельных
выборок будут представлять собою варианты этого ряда.
Определять величину ошибок репрезентативности необходимо для того, чтобы выборочные показатели использовать еще и для нахождения возможных значений генеральных параметров. Этот процесс называется оценкой генеральных параметров. Оценка генеральных параметров не может
быть выражена одним числом - это точное значение параметра остается неизвестным. Но математические методы дают возможность определить, в
каких пределах может находиться значение генерального параметра. Практически такая приближенная оценка имеет часто большое значение, например, в метеорологии, при прогнозе температуры: «завтра в Алматы ожидается 15-160 тепла».
В результате анализа, так называемого нормального распределения
было установлено, что между средним арифметическим (М), средним
квадратическим отклонением (
d
) и процентным количеством вариант в
определенных частях вариационного ряда существуют устойчивые соотношения. Эти соотношения даны в таблице 11.
Таблица 11 - Соотношение в вариационном ряду
Пределы
отклонений от М
М ± 0.5 d
М ±1.0 d
М ± 1.5 d
М ± 2.0 d
М ± 2.5 d
М ± 3.0 d
М ± 3.5 d
(% вариант внутри пределов)
А
В (% вариант
38.3
68.3
86.6
95.5
4.5
98.8
1.2
99.7
0.3
99.95
вне
61.7
31.7
13.4
0.05
пределов)
Отношение
А : В
0.6:1
2.2:1
6.5:1
21:1
82:1
332:1
2000:1
Анализируя эти данные, мы видим, что, зная среднее квадратическое отклонение и значение какой-либо отдельной случайно взятой варианты можно с достаточной степенью вероятности судить о среднем
арифметическом данной совокупности.
58
58
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
n
s
Например, можно с вероятностью равной 0.997 (или 99.7 %) ожидать,
что величина среднего арифметического изучаемой совокупности отклонится не больше, чем на ±3
d
от значения любой произвольно взятой отдельной варианты из этой совокупности. Из величины отношения А : В эта
вероятность может быть также выражена, как «332 против 1».
В связи с такой зависимостью между М,
d
и распределением вариант в
вариационном ряду величину среднего квадратического отклонения можно
рассматривать как среднюю ошибку отдельной варианты.
Подобно тому, как распределяются варианты вариационного ряда
около своего среднего, так же будут распределяться и частные значения
средних, полученных из отдельных выборок.
Очевидно, что чем сильнее будут варьировать изучаемые объекты, тем
сильнее будут изменяться и эти частные средние. Вместе с тем, чем на
большем числе вариант будут получены частные значения средних, тем
ближе они будут к истинному значению среднего арифметического всей
статистической совокупности.
Таким образом, теория статистических ошибок дает следующую фор-
мулу основной или средней ошибки среднего арифметического (m):
m
=±
(13)
где m – ошибка среднего арифметического;
d
- среднее квадратическое отклонение;
n - число измерений, наблюдений, количество вариант, дата.
Эту ошибку среднего мы можем рассматривать как среднее квадратическое отклонение для вариационного ряда, составленного из многократных определений средних арифметических на разных выборках из одной и
той же статистической совокупности.
Как видно из формулы, ошибка среднего прямо пропорциональна величине среднего квадратического отклонения и обратно пропорциональна
величине корня квадратного из числа наблюдений или вариант.
Величина ошибки среднего дает нам те пределы, в которых может заключаться истинное значение среднего арифметического изучаемой генеральной статистической совокупности.
Например, для вариационного ряда по плодам в разделе II мы имеем
следующие показатели:
· М = 6.60 мм+ 0.17
d
·
×
0.5 мм = 6.68 мм;
2
=×-=
мм76.05.017.037.2
;
· n=30.
Тогда подставляя в формулу значения, мы получаем:
59
59
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
2mn
s
76.0
30
76.0
±=±=±=
48.5
ммm 14.0
или m =±0.14мм
Ошибка среднего арифметического зависит от двух величин:
- от степени разнообразия признака в генеральной совокупности;
- от размера выборки, чем больше выборка, тем меньше ошибка,
поэтому при вычислении ошибки среднего арифметического квадратическое отклонение делится на корень квадратный из числа наблюдений.
Таким образом, полное выражение среднего арифметического, учи-
тывая и его ошибку, будет:
М ± m = 6.68 мм ± 0.14 мм
Это означает, что действительная средняя длина плодов заключается
в пределах от 6.68 - 0.14 = 6.54 мм до 6.68 + 0.14 = 6.82 мм.
Оценка генеральных параметров по выборочным данным проводится
особым способом в форме не одного, а двух значений минимального и максимального. Эти крайние значения, в пределах которых может находиться искомая величина генерального параметра, называются доверительными границами. Генеральный параметр может отличаться от найденного выборочного
показателя не более чем на величину возможной погрешности определяемой
по выборочным данным. В нашем случае 6.54мм --- 6.82 мм - это и есть до-
верительные границы среднего арифметического равного 6.68 мм. Иными
словами, минимальное значение средней длины может быть 6.54 мм, а максимальное - 6.82 мм. Пределы колебаний этой истинной средней длины
выражаются в размере двойной величины найденной ошибки среднего или
0.14 х 2 = 0.28 мм.
Следует отметить, что определение ошибки среднего по формуле (13)
производится при допущении, что среднее квадратическое отклонение
одинаково характеризует как взятую выборку, так и общую совокупность
изучаемого материала. Поэтому при точных исследованиях необходимо
учитывать и величину основной или средней ошибки среднего квадратиче-
ского отклонения, которая определяется по следующей формуле:
=±
(14)
Как это видно из последней формулы, ошибка среднего квадратического отклонения оказывает существенное влияние на величину ошибки
среднего только при большей величине d и малом количестве наблюдений.
Контрольные вопросы:
1. Что означает теория статистических ошибок?
60
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]