Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методология научных исследований. Учебник
.pdf
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
Во втором и третьем случаях имеет место корреляционная за-
висимость, где во втором случае связь более тесная, чем в третьем.
В четвертом случае связь между явлениями отсутствует.
Корреляционная связь не является точной зависимостью одного
признака от другого, поэтому она может иметь различную степень: от
полной независимости до очень сильной связи. Кроме того, характер связи между разными признаками может быть различен. Поэтому возникла
необходимость определять форму, направление и степень корреляционных связей.
Требуется пояснить смысл терминов «связь» и «зависимость». Как и во
всем статистическом анализе, основным здесь является выяснение причинной сути установленных корреляций. Так, если рассматривается связь между
диаметром дерева и его высотой. Если рассматривается связь между количеством выпадающих осадков и производительностью древостоев, то здесь
может быть только зависимость «в одном направлении», хотя статистически
можно попытаться установить и зависимость осадков от производительности
древостоев, и даже получить какое-то ее цифровое выражение, но бесплодность подобных упражнений очевидна.
Корреляционная связь между статистическими величинами может
быть прямая или положительная и обратная или отрицательная. При
положительной корреляции изменения одной величины соответствуют изменениям другой, т.е. с увеличением значения одной увеличивается и другая, а с уменьшением так же уменьшается. При отрицательной корреляции,
наоборот, с увеличением значения одной величины другая уменьшается, а с
уменьшением - увеличивается.
Пример прямой связи – диаметр и высота дерева. Обратную связь мы
можем наблюдать, изучая влияние вредителей (допустим, обыкновенного
соснового пилильщика) на прирост сосны. С увеличением количества гусениц на одном дерева прирост уменьшается.
Корреляционные таблицы дают нам первое общее представление о
характере связи, а также отчасти и о степени ее тесноты.
Если, например, варианты располагаются в клетках корреляционной
таблицы, группируясь более или менее тесно около диагонали, проходящей
из верхнего левого угла в правый нижний (рисунок 7, а), то это свидетельствует о наличии прямой или положительной корреляции. При таком типе
корреляции с увеличением одного среднего (Мх) другое среднее (Му)
также возрастает. В таких случаях мы имеем некоторую аналогию с прямой пропорциональностью в изменении двух величин.
Когда варианты в клетках таблицы группируются около диагонали,
проходящей от правого верхнего в нижний левый угол, то корреляция будет обратная или отрицательная (рисунок 7, б). Здесь имеет место некоторая аналогия с обратной пропорциональностью, т.е. с увеличением значений одной величины, другая с ней связанная, уменьшается. В случаях
101
101
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
отсутствия связи между изучаемыми величинами распределение вариант в
клетках корреляционной таблицы приближается к кругу (рисунок 7, в).
Как положительная (прямая), так и отрицательная (обратная) связи
объединяются в один общий тип так называемой линейной иногда
называемой прямолинейной корреляции. Чем ближе здесь располагаются варианты к той или иной диагонали, тем соответственно и теснее будет положительная или отрицательная связь.
Характер корреляции и степень тесноты самой связи при положительной корреляции будет иметь положительное значение, а при обратной
корреляции - отрицательное значение. Кроме того, чем теснее будет связь,
тем больше будет величина суммы произведений отклонений от средних.
а) б)
в)
Рисунок 7 - Схема распределения вариант при различной зависимости
а) положительная линейная корреляция, т.е. при возрастании одного признака
возрастает и другой;
б) отрицательная линейная корреляция, т.е. при возрастании одного признака
второй уменьшается;
в) отсутствие зависимости, r = 0.
102
102
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
§ 2 Коэффициент корреляции
Теснота связи или степень корреляции, прежде всего, находит свое
отражение в соответствии изменений количественных показателей сравниваемых величин. Чем больше, например, будет случаев соответствия увеличения диаметра стволов шелковицы увеличению ее листоносности, тем
теснее будет связь или корреляция, между диаметром и урожайностью листа. При отрицательной корреляции степень ее будет тем больше, чем чаще
будет увеличение одного показателя соответствовать уменьшению другого, с ним связанного.
Наиболее наглядным такое соответственное прямое или обратное изменение значений вариант двух взаимно связанных статистических совокупностей станет при замене значений вариант величинами их отклонений
от своих средних арифметических.
Совершенно очевидно, что знаки этих отклонений (+ или -) у большинства пар будут совпадать при положительной корреляции и будут
противоположны при отрицательной. При отсутствии же корреляции, т.е.
в тех случаях, когда нет ни прямой ни обратной связи, числа совпадений и
несовпадений знаков отклонений должны быть равны между собою.
Величина этого показателя степени тесноты связи может изменяться
в пределах от -1 до +1. Характер связи в зависимости от коэффициента
корреляции приведен в таблице 29.
Таблица 29 - Корреляционная зависимость признаков
Значение коэффициента корреляции (r)
< 0.3 слабый
0.3-0.7 средний
> 0.7 сильный
Характер связи
Рассмотрим подробнее, какие факторы влияют на величину выраже-
ния Sа
хау
:
1. Характер корреляции и степень тесноты самой связи. Как мы
уже видели, при прямой корреляции
S
ахау будет иметь положительное
значение, а при обратной корреляции - отрицательное значение. Кроме
того, чем теснее будет связь, тем больше будет величина суммы произведений отклонений от средних.
2. Число вариант (п), так как чем больше будет их число, то тем
больше, при прочих равных условиях, будет и величина
S
ахау.
3. Степень варьирования изучаемых статистических величин. Со-
вершенно очевидно, что с увеличением степени варьирования будут увеличиваться и величины отклонений от среднего, а тем самым и общее
значение
S
ахау.
103
103
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
4. Единицы измерения, в которых выражены значения вариант (Vx и
Vу). Чем крупнее будут эти единицы, тем меньше будут соответствующие
абсолютные величины отклонений ах и ау, и наоборот.
Таким образом, чтобы использовать выражение
S
ахау в качестве дей-
ствительной и вполне объективной меры для определения степени корреляции, как тесноты связи, мы должны устранить влияние на нее таких
факторов, как число вариант, степень варьирования и зависимость от
единиц измерения.
Контрольные вопросы:
1. Кем и когда введен термин «корреляция» в науку?
2. Каковы особенности и типы корреляционной зависимости?
3. Чем корреляция отличается от функциональной зависимости или от
так называемой обычной неразрывной причинной связи?
4. Назовите направление и степень корреляционной зависимости при-
знаков?
5. Как называется корреляция, если при возрастании одного признака
возрастает и другой?
6. Как называется корреляция, при возрастании одного признака вто-
рой уменьшается?
7. В каких пределах изменяется величина коэффициента корреляции?
8. Каков характер связи, если значение коэффициента корреляции
находится в пределах - 0.3-0.7?
§ 3 Вычисление коэффициента корреляции
при больших выборочных совокупностях
Корреляционные решетки. Одним из этапов на пути установления
и изучения связей между статистическими величинами является составление так называемых корреляционных таблиц. Корреляционные таблицы,
как было уже отмечено, дают нам представление о характере связи, но не
могут служить мерой степени тесноты и надежности этой связи. Техника
составления вариационного ряда по признаку Х, т.е. по длине плодов была
представлена в разделе II, § 1. Итак, по линейным параметрам плодов (таблица 30) по признаку Х имеется составленный вариационный ряд (таблица
31).
Таблица 30 - Линейные параметры плодов
№
п/п
1 6.1 4.2 16 7.8 4.8
2 6.7 4.0 17 6.7 4.9
длина - Х диаметр - У длина - Х диаметр (мм)
Плоды, мм
№
п/п
104
Плоды, мм
104
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
нов
.
Методом конверта подсчитать все варианты находящиеся в данных границах
K
5
-
х
2
х
S
х
S
х
2
3 5.8 3.8 18 5.9 3.7
4 5.4 3.5 19 6.0 3.9
5 7.2 5.3 20 6.5 4.0
6 7.5 5.2 21 7.0 4.2
7 8.2 5.1 22 7.3 4.7
8 5.5 3.8 23 8.0 5.5
9 6.0 4.7 24 6.4 4.6
10 5.8 4.4 25 5.5 3.7
11 6.2 4.0 26 6.7 4.0
12 6.4 3.5 27 7.5 4.5
13 5.9 4.9 28 7.9 5.5
14 7.2 5.4 29 6.7 4.7
15 7.5 5.0 30 6.9 4.6
Таблица 31 – Измененные границы классов, частота встречаемости вариант
1
а
2
а (условное отклонение)
3
V
(вариационный
ряд
ряд)
4
р(частота встречаемости)
-3 -2 -1 0 +1 +2
-2 -1 0 +1 +2 +3
5.35 ---- 5.85 ---- 6.35 ---- 6.85 ---- 7.35 ----- 7.85 ---- 8.35
5 6 7 6 3 3
5
S=30
Из таблицы 30, используя данные по диаметру плодов (признак У) составляем вариационный ряд по вышеприведенной технике (раздел II, § 1).
Внимательно просмотрев все варианты, безошибочно выделяем из них минимальное и максимальное значение, которые взяты из первичного материала по журналам наблюдений. Затем определяем величину классового промежутка.
VV
max
=
l
vin
=
5,35,5
»=
мм
5.04.0
Таблица 32 – Сумма произведений отклонений, частот для признака Х,
при n = 30
1 а
1 4 9
2 ах 1 2 3
3 +р
6 3 3
4 -рх 6 5 0
5
6
рха
рха
0х1 -2х2 3х3 =5
12х1 8х4 3х9 =71
105
105
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
нов.
Методом конверта подсчитать все варианты находящиеся в данных границах
у
2
у
y
S
у
S
у
2
Итак, при V
см. Разность V
= 3.5 мм и границе Г=0.05 при точности измерения 0.1
min
и Г=0.05 составит начало границ классов: 3.5 – 0.05 = 3.45
min
мм.
Составленный вариационный ряд будет выглядеть следующим образом:
Vу: 3.45 – 3.95 – 4.45 – 4.95 – 5.45 – 5.95
Затем составляются таблицы 33 и 34 по признаку У на основании
установленных границ классов, частот встречаемости, рассчитываются
2
S
руау и Sруа
.
у
При большом числе наблюдений, когда варианты распределяются по
вариационным рядам, для упрощения последующих вычислений, прежде
всего, составляется корреляционная решетка, в ячейках которой распределяются варианты признаков.
Для составления корреляционной решетки необходимо иметь два
вариационных ряда по Х и У, которые представлены ниже:
Vх: 5.35 – 5.85 – 6.35 – 6.85 – 7.35 – 7.85 – 8.35 (длина)
Vу: 3.45 – 3.95 – 4.45 – 4.95 – 5.45 – 5.95 (диаметр)
Таблица 33 – Границы классов, частота встречаемости вариант для признака
У при n = 30
1
а
2
а (условное отклонение)
3
V
(вариационный
ряд
ряд)
4
р(частота встречаемости)
5
S=30
3.45 ---- 3.95 ---- 4.45 ---- 4.95 ---- 5.45 ----- 5.95
-3 -2 -1 0 +1 +2
-2 -1 0 +1 +2 +3
7 7 9 5 2
Таблица 34 - Сумма произведений отклонений и частот для признака У,
при n = 30
1 а
2 а
3 +р
4 -рy 7 7
5
6
1 4
1 2
5 2
руа
руа
-2x1 -5x2 = -12
12x1 9x4 = 48
106
106
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
Корреляционная решетка представляет собой таблицу, в которой по
горизонтали расположены границы классов и условные отклонения по
признаку Х, а по вертикали соответственно данные по признаку У. Линиями, проведенными против границ классов, корреляционная таблица разбивается на ряд клеток (таблица 35).
В составленную корреляционную решетку из журнала наблюдений, а
в нашем случае из таблицы 30 заносятся парные значения вариант (по
двум признакам - длине и ширине). Например, первое значение плода по
длине V = 6.1 мм и по диаметру плодов V = 4.2 мм. Длина плодов 6.1 мм
находится в границе класса 5.85 --- 6.35, диаметр 4.2 мм располагается в
границе класса 3.95 --- 4.45.
Теперь на пересечении границ классов по горизонтали и вертикали в
соответствующей графе таблицы методом конверта обозначаем встречаемость значений длины и диаметра, взятую из журнала наблюдений.
Корреляционная решетка (таблица 35) подготовлена для дальнейших
расчетов, но даже без этого по расположению вариант видно, что между
длиной и диаметром плода прослеживается совершенно отчетливо положительная корреляционная зависимость (даты расположены по диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний).
107
107
S
7
7
9
5
2
×
×
×
×
××
1х(-1)
×
1х0
×
××
×
××
3х0
××
1х0
××
3х0
3х0
××
1х3
2х6
2х2
2х1
7 6 3 3 30
= 24+(-1)+0+21=44
у
а
х
ра
S
××
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
-2 -1 0 +1 +2 +3
××
××
2х2
×
××
4х4
2х1
1х2
××
2х0
5 6
5.35-5.85 5.85-6.35 6.35-6.85 6.85-7.35 7.35-7.85 7.85-8.35
0 2х1+2х2+1х3+2х6=21
х
а
4х4+2х2+1х2+2х1=24 1х(-1)=-1
длина Х
диаметр У
у
а
-2 3.45-3.95
-1 3.95-4.45
0 4.45-4.95
+1 4.95-5.45
+2 5.45-5.95
S
Таблица 30 – Корреляционная решетка
108
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
n
S
n
S
30
мм
n
S
n
30
S
Визуально видно, что решетка разбита на четыре квадрата. Для вы-
числения коэффициента корреляции необходимо найти сумму произведений отклонений на частоты - Sрахау:
- в первом квадрате: 4х4+2х2+1х2+2х1=24;
- во втором квадрате: 1х(-1)=-1;
- в третьем квадрате: 0;
- в четвертом квадрате: 2х1+2х2+1х3+2х6=21.
Итого сумма произведений отклонений на частоты: Sрахау = 24+(-
1)+0+21=44
Затем находим средние значения, начальные моменты первой степени и среднего квадратического отклонения (М, b, d) для Х и У по следу-
ющим формулам:
ap
b
=
x
xx
и
b
=
у
ap
уу
(36)
2
=
d
x
ap-S
n
2
xx
b
x
и
=
d
у
2
ap-S
уу
2
b
n
у
(37)
Подставив данные таблицы 32 (по признаку Х) и 33 (по признаку У)
получим:
pa
1)
d
2)
b
x
=
x
b
xx
= ==
ap
S
n
=
y
S
=
d
y
n
5
0.17
2
xx
b
ap
yy
=
2
ap
yy
b
71
2
x
30
12-=-
48
2
y
30
4.0
мм
=-=-
=-=-
2
b
= 0.172 = 0.0289
x
53.10289.0
2
b
= -0.42 = 0.16
y
2.116.0
После распределения вариант по отдельным клеткам решетки отпадает
необходимость в вычислении произведений отклонений ахау для каждой
варианты в отдельности. Как в любом вариационном ряду, отдельные варианты теряют свои индивидуальные значения, которые заменяются средними
значениями соответствующих классов, так и здесь все варианты, находящиеся в той или иной клетке корреляционной таблицы, имеют общие
для них величины отклонений ах и ау. Далее представлена формула (38)
для вычисления коэффициента корреляции при большом числе наблюдений:
109
109
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
×-S
×-S
bbNapa
r
=
N
dd
×
yxyx
yx
(38)
где r – коэффициент корреляции;
ах - абсолютные величины отклонений по признаку Х;
а
абсолютные величины отклонений по признаку У;
у -
n - число измерений, наблюдений, количество вариант, дата.
Подставляя в формулу свои значения, находим коэффициент корреляции:
bbNapa
yxyx
=
r
N
×
dd
yx
=
-××-
)4,0(17,03044
××
2,153,130
=
)04,2(44
--
08,55
=
84,0
Что же означает полученная величина коэффициента корреляции?
Принимая во внимание, что коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до +1 при прямой и от 0 до -1 при обратной связи, следует при-
знать, что значение его равное 0.84, свидетельствует о тесной связи между изменчивостью длины и диаметра плодов. Величину полученного коэффициента корреляции можно понимать так, что в данном случае степень
тесноты установленной связи представляет собою 84 % от полной нераз-
рывной связи, при которой значение r = 1.
Однако поскольку мы имеем дело с варьирующими величинами, представленными в виде выборки из генеральной совокупности, то для окончательного суждения о прочности установленной связи необходимо определить степень надежности найденного коэффициента корреляции подобно
тому, как это делается в отношении значений среднего арифметического и
разности между средними.
Вопрос об оценке надежности значения коэффициента корреляции будет рассмотрен особо в дальнейшем. Пока же мы можем лишь отметить,
что r = +0.84 говорит, по-видимому, о наличии тесной прямой связи.
Следует отметить, что при вычислении коэффициента корреляции
необходимо определение всех величин, и в частности вычисления bх, b
и d
производить с максимально возможной точностью. Недостаточная точ-
у
у
, d
х
ность вычислений и связанные с этим приближенные округления могут вызвать существенные искажения найденной величины коэффициента корреляции. Вместе с тем необходимо внимательно учитывать знаки bх и bу.
Проверкой правильности определения величины коэффициента корреляции
может служить повторное вычисление его от новых условных средних ах и
ау.
§ 4 Ошибка коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции, как и среднее арифметическое, представляет
собою величину, полученную в результате математической обработки изу-
110
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]