Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методология научных исследований. Учебник
.pdf
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
,%
M
d
×
2. Что служит критерием оценки надежности для полученных выбо-
рочных характеристик?
3. Что представляет собою каждое найденное среднее арифметиче-
ское?
4. Что позволяет определить ошибка среднего арифметического?
5. Какую величину нужно учитывать при более точных исследованиях?
Контрольное задание: рассчитать ошибку среднего арифметического
двумя способами.
§ 6 Коэффициент вариации
Коэффициент вариации имеет большое значение при разрешении как
теоретических, так и практических вопросов. При изучении, например,
количественных признаков он позволяет выделить из них наиболее устойчивые. При помощи коэффициента вариации можно установить различия в
степени изменчивости, связанные с возрастом и полом организмов и т.д.
Наконец, коэффициент вариации может быть использован и при сравнительной оценке селекционных сортов. Совершенно очевидно, например, что
при сравнении двух мало отличающихся по своей продуктивности и качественным показателям сортов, предпочтение должно быть отдано тому из
них, который при равных условиях обладает меньшей изменчивостью.
Среднее квадратическое отклонение характеризует собою степень из-
менчивости изучаемого материала, выраженную в абсолютных мерах, т.е. в
тех же единицах измерения, что и отдельные значения вариант. В связи
с этим среднее квадратическое отклонение может быть использовано только при сравнении изменчивости статистических коллективов, варианты которых выражены в одинаковых единицах измерения.
Для решения многих теоретических и практических вопросов лесной
биометрии нужны относительные величины, характеризующие общие особенности размаха ряда распределения. Таким показателем является коэффициент вариации, который в литературе по лесному хозяйству называют еще
показателем изменчивости таксационных признаков лесных насаждений. Коэффициент вариации представляет собой показатель изменчивости изучаемого признака, выраженный в относительных единицах, обычно в процентах.
При сравнении изменчивости разнородных совокупностей необходимо
пользоваться мерой варьирования, представляющей собою отвлеченное
число. Такой мерой является коэффициент вариации или изменчивости
(Cv), представляющий собою среднее квадратическое отклонение, выра-
женное в процентах от среднего арифметического и определяющееся по следующей формуле:
100
Cv
=
(15)
61
61
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
68.6
M
d
<
>
Являясь показателем, не зависящим от принятых единиц измерения вариант, коэффициент вариации может применяться для сравнительной оценки величины варьирования различных признаков. Вместе с тем он в значительной
степени зависит от величины средней арифметической. Коэффициент вариации позволяет дать объективную оценку степени варьирования при сравнении
любых совокупностей.
n=30;
М = 6.60 мм+ 0.17
d
×
0.5 мм = 6.68 мм; m =±0.14мм;
2
=×-=
мм76.05.017.037.2
;
Имея в распоряжении вышеуказанные показатели, полученные в ходе
предыдущих решений по нашей сквозной задаче и подставив их в формулу
(15) получим следующее значение коэффициента вариации:
76.0100100
Cv
x
x
===
%4.11
По ни чем не обоснованному числу, полученной величине коэффициента вариации трудно судить о степени изменчивости, в связи с этим
С.А.Мамаев предложил шкалу степени изменчивости коэффициентов вариации (таблица 12). Согласно этой шкале плоды в выборочной совокупности и во всей генеральной совокупности в целом имеют низкий уровень
изменчивости, находящийся в пределах от 8-15 %.
Таблица 12 - Уровни изменчивости коэффициентов вариации
Значение коэффициента вариации, % Уровень изменчивости
7
8-15 низкий
16-25 средний
26-35 повышенный
36-50 высокий
50
очень низкий
очень высокий
Сравним варьирование диаметра у двухлетних сеянцев сосны в лесном
питомнике (1) и у двухлетних сеянцев культур сосны в рядовых посевах на
постоянном месте (2) в таблицах 13 и 14.
1) Получен следующий вариационный ряд для сеянцев сосны в питом-
нике (таблица 13) при n = 200,
l
= 2 мм, А = 12.25 мм, Sра = -43, Sра2 = 479.
Таблица 13
Условное отклонение а
Вариационный ряд
(диаметр сеянцев, мм
Частоты (р)
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
5.25---7.25---9.25---11.25---13.25---15.25---17.25---19.25---21.25
10 34 45 50 34 18 6 3
62
62
Таблица 14
2
S
S
2
200
Условное
Вариационный
а
2
1 4 9 16 25
5
1
S
а
а 1 2 3 4
р(+)
р(-)
ра
ра
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
1 4 9 16
34
45
18
34
6
10
(-11 х 1) + (-16 х 2)+( – 4 х 3) + (3 х 4) = -43
(79 х 1) + (52 х 4) + (16 х 9) + (3 х 16) = 479
3
-
479
d
200
2
=--=
ммммх 23,32)215,0(
или
d
= 3.23мм;
1
23.3100
×
=Cv
1
=
06.12
%8,26
2) По сеянцам сосны в рядовых посевах на постоянном месте получен
следующий вариационный ряд (таблицы 15 и 16) при n = 200,
12.25 мм,
S
ра = -27, Sра2 = 519.
27
1
-=-=
ммb 135,0
l
= 2 мм, А =
М=12.25-0.135х2мм=11.98 мм
d
Cv
519
200
23,3100
х
2
98,11
2
=--=
%0,2796,26
»==
или
d
ммммх 23,32)135,0(
= 3,23мм;
2
Таблица 15
отклонение а
ряд (Ø, мм)
Частоты (р) 9 35 44 46 34 21 7 3 1
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
5.25 ---7.25---9.25---11.25---13.25---15.25---17.25---19.25---21.25---23.25
n = 200, l = 2 мм
Таблица 16
а 1 2 3 4
р(+)
р(-)
ра
2
S
ра
34
44
21
35
(-10 х 1) + (-14 х 2)+( – 2 х 3) + (3 х 4) +(1 х 5)=
(78 х 1) + (56 х 4) + (16 х 9) + (3 х 16)+ (1 х 25) = 519
7
9
3
27
Итак, М1 = 12.06 мм;
М2 = 11.98 мм;
d
= 3.23 мм; Cv1=26.8 %;
1
d
= 3.23 мм; Cv2=27.0 %.
2
63
-
63
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
Условное
Вариационный
210.25
Частота (
р)
Сравнивая полученные результаты, мы приходим к заключению, что
двухлетние сеянцы сосны, как в питомнике, так и в рядовых посевах имеют
почти одинаковые диаметры. Изменчивость величины диаметров также
идет в близких пределах, только несколько увеличиваясь в условиях рядовых посевов. Этот вывод может быть сделан как на основании сравнения
величин средних квадратических отклонений, так и коэффициентов вариации. Средние арифметические влияют на величину коэффициента вариации. В данном случае небольшая разница средних арифметических М1 =
12.06 мм и М2 = 11.98 мм не выказали заметную, ощутимую разницу в зна-
чении сигмы.
Перейдем теперь к сравнению степени варьирования диаметров и высот у двухлетних сеянцев сосны. Для этого возьмем вариационный ряд
высот сеянцев в рядовом посеве и определим для него величины среднего
квадратического отклонения и коэффициента вариации (таблица 17).
После вычислений по приведенной ранее схеме получаем:
М1 = 99.14 см;
d
= 63.3 см; Cv1 = 63.8 %.
1
Для вариационного ряда диаметров сеянцев в рядовом посеве были
получены следующие показатели: М2= 11.98 мм;
d
= 3.21 мм; Сv2 = 26.8
2
%.
Таблица 17
отклонение а -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
ряд(высота,см)
n = 200, l = 20 см
30.25 ---50.25---70.25---90.25---110.25---130.25---150.25---170.25---190.25---
32 30 39 50 31 8 5 3 2
Если при сравнении изменчивости сеянцев сосны по диаметру можно
было пользоваться средним квадратическим отклонением и коэффициентом вариации, то в данном случае для этой цели может быть использован только коэффициент вариации. Совершенно ясно, что судить о сравнительной изменчивости диаметров и высот по величине
d
мы не можем,
так как d для диаметров выражена в мм, а для высот - в см. Коэффици-
ент вариации (Cv), выраженный в обоих случаях в процентах, наоборот,
вполне пригоден для этой цели. Сравнивая величины коэффициентов вариации, мы можем сделать вполне обоснованный вывод о том, что высоты у
сеянцев сосны варьируют значительно больше, чем диаметры.
Таким образом, коэффициент вариации является действительно универсальной мерой изменчивости, в то время как среднее квадратическое отклонение может быть использовано в качестве такой меры только в случаях
однородных совокупностей и притом имеющих близкие друг к другу значения средних арифметических.
64
64
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
M
×
30
68.6
×
мм
M
×
Контрольные вопросы:
1. В каких случаях применяется коэффициент вариации?
2. Какова связь коэффициента вариации со средним квадратическим от-
клонением?
3. Что определяет шкала С.А.Мамаева?
4. При сравнении изменчивости разнородных совокупностей какой
мерой варьирования нужно пользоваться?
5. Единицы измерения коэффициента вариации?
Контрольное задание: рассчитать коэффициент вариации по первому
признаку (длина плодов) и определить уровень изменчивости.
§ 7 Точность исследования
Точность исследования показывает, на сколько процентов мы ошибаемся, утверждая, что выборочное среднее арифметическое соответствует
генеральному среднему. Ошибка среднего может быть использована для
получения показателя точности исследования (Р), который представляет
собою величину, выраженную в процентах:
100,%m
P
=
(16)
где Р – точность исследования;
m – ошибка среднего арифметического;
М – среднее арифметическое.
· М = 6.60 мм+ 0.17
76.0
·
==
×
0.5 мм = 6.68 мм;
ммm 14.0
или m =±0.14 мм.
Подставляя в формулу полученные ранее значения, получаем следующую точность опыта:
14.0100
мм
Р
=
=
%1.2
Совершенно очевидно, что чем меньше величина Р, тем точнее
произведено исследование, точность опыта не должна превышать 5 % уровень.
Следует отметить, что показатель точности исследования Р может
быть выражен и при помощи коэффициента вариации. Если в формуле:
m
100
P
=
заменить m через среднее квадратическое отклонение, т.к.
65
65
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
d
Mn
s
×=×
Cv
M
s
×
Cv
n
m
=
, то получим
100
P
, где
100
. Отсюда вторая формула для
=
п
вычисления показателя точности исследования будет:
=
(17)
P
Cv
P
n
4.11
30
4.11
»===
%1.2
48.5
Из этой формулы видно, что величина показателя Р прямо пропорциональна величине коэффициента вариации и обратно пропорциональна корню квадратному из числа наблюдений.
Разберем примеры. При определении надежности найденных средних
для малых выборок в полевых опытах с боярышником величина показателя
точности исследований для первого примера равна P = 31.8 %.Для вари-
антов второго примера: P1 = 4.4 %, Р2 =2.1 %, Р3 = 9.6 %, и P4 =7.4 %.
Полученные показатели точности исследования свидетельствуют об
относительной выравненности условий полевых опытов, приведенных во
втором примере, и, наоборот, о значительной пестроте их для первого примера.
Разберем еще в качестве примера определение и сравнение показате-
лей точности опыта для больших и малых выборок:
Во всех трех случаях найденные средние являются вполне надежными,
а показатели точности исследования достаточно высокими. На первый
взгляд кажется несколько странным, что точность исследования при определении средних высот сосен, несмотря на малочисленность наблюдений
(n = 12), оказалась в два с лишним раза выше, чем точность исследования
при определении средней высоты сеянцев сосны в рядовых посевах, где
число вариант было во много раз большим (n = 200). Эта кажущаяся парадоксальность сразу же устраняется, если подойти к полученным цифрам с
точки зрения оценки однородности объектов наблюдений. 12 сосен имели
одинаковый диаметр ствола, что в значительной степени уже характеризовало однородность их роста и развития.
1) диаметр столетней
сосны:
n = 289;
М = 28.96 см
2) диаметр сеянцев
сосны:
n = 12
М = 22.5 см
3)высота сеянцев
сосны:
n = 200
М = 99.14 см
d
= 6.68 см
Cv = 23 %
m = ± 0.39 cм
Р = 1.3 %
66
d
= 1.44 см
Cv = 6.4 %
m = ± 0.42 cм
Р = 1.9 %
66
d
= 63.3 см
Cv = 63 %
m = ± 4.49 см
Р = 4.5 %
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
M
m
47.7
0.14
Сеянцы же в рядовом посеве находились в далеко не одинаковых
условиях, что нашло свое отражение и в довольно высоком коэффициенте
вариации по С.А.Мамаеву, относящегося к очень высокому уровню изменчивости. В связи с этим естественно и точность исследования при
определении средней высоты сосны, несмотря на небольшое число наблюдений, была более высокой.
Контрольные вопросы:
1. В чем выражается точность исследования и для чего она нужна?
2. В каких случаях точность опыта считается высокой?
3. Может ли точность опыта выражена при помощи коэффициента ва-
риации?
4. Влияет ли количество наблюдений на величину точности исследова-
ния?
Контрольное задание: Рассчитать точность опыта по двум формулам,
используя данные журнала наблюдений по первому признаку.
§ 8 Критерий Стьюдента или критерий достоверности
выборочного среднего
Во многих исследованиях возникает необходимость характеризовать
процессы и явления с определенной степенью достоверности, поэтому важно владеть понятием ошибок и точности определения средних величин и
других статистических показателей.
Ошибки, по которым дается оценка достоверности, называются ошибками репрезентативности или представительности. Точность определения
средней величины выборочной совокупности при известной изменчивости
признака позволяет сделать заключение о достаточности эмпирических
данных для получения достоверных результатов. Критерий Стьюдента или
критерий достоверности выборочного среднего определяется по формуле
при n > 30 (большая выборка):
t
=
(18)
где t - критерий Стьюдента или критерий достоверности выборочного
среднего;
М - среднее арифметическое;
m - ошибка среднего арифметического.
Подставив полученные ранее данные получим:
6.68
t ==
67
67
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
При условии, когда t
>
3 среднее считается надежным, если t ≤ 3, то
среднее считается не надежным и его нельзя использовать для суждения о
величине действительного среднего всей генеральной совокупности. Выборочное среднее арифметическое М = 6.68мм надежно характеризует гене-
ральное среднее с вероятностью более 99 % (таблица 18).
Контрольные вопросы:
1. По какой формуле определяется, и в каких случаях применяется
критерий достоверности выборочного среднего?
2. Что выражает t-критерий Стьюдента?
3. В каком случае среднее можно считать надежным критерий при про-
ведении сравнительного анализа?
Контрольное задание: рассчитать t-критерий Стьюдента первому при-
знаку.
Таблица 18 - Критические значения t-критерия Стьюдента
Доверительные вероятности или
Число
степеней
свободы
1 12.71 63.60 - 21 2.08 2.83 3.82
2 4.30 9.93 31.60 22 2.07 2.82 3.79
3 3.18 5.84 12.94 23 2.07 2.81 3.77
4 2.78 4.60 8.61 24 2.06 2.80 3.75
5 2.57 4.03 6.86 25 2.06 2.79 3.73
6 2.45 3.71 5.96 26 2.06 2.78 3.71
7 2.37 3.50 5.41 27 2.05 2.77 3.69
8 2.31 3.36 5.04 28 2.05 2.76 3.67
9 2.26 3.25 4.78 29 2.04 2.76 3.66
10 2.23 3.17 4.59 30 2.04 2.75 3.65
доверительные уровни
95 % 99 % 99.9 % 95 % 99 % 99.9 %
Число
степеней
свободы
Доверительные вероятности
или доверительные уровни
11 2.20 3.11 4.44 40 2.02 2.70 3.55
12 2.18 3.06 4.32 50 2.01 2.68 3.50
13 2.16 3.01 4.22 60 2.00 2.66 3.46
68
68
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
P
P
25
5
14 2.15 2.98 4.14 80 1.99 2.64 3.42
15 2.13 2.95 4.07 100 1.98 2.63 3.39
16 2.12 2.92 4.02 120 1.98 2.62 3.37
17 2.11 2.90 3.97 200 1.97 2.60 3.34
18 2.10 2.88 3.92 500 1.96 2.59 3.31
19 2.09 2.86 3.88 1.96 2.58 3.29
20 2.09 2.85 3.85
Нулевая гипотеза принимается при t
Предположение о «надежности» выборочного статистического показателя принимается при t
5 % 1 % 0.1 %
Уровни значимости Уровни значимости
> t01.
выб.
выб.
≤ t
и отвергается при t
05
5 % 1 % 0.1 %
> t01.
выб.
§ 9 Определение минимального предельно допустимого
размера выборочной совокупности
Если величина точности исследования превышает допустимые 5%, то
это в первую очередь связано с недостаточностью количества наблюдений.
Для исправления этого недостатка необходимо увеличить число наблюдений
(n). Предварительное количество наблюдений можно определить при помощи следующей формулы:
22
Cvt
×
a
N
=
, шт (19)
2
где N - предельно допустимый размер выборочной совокупности;
- табличные значения t-Стьюдента при доверительной веро-
58.2
=
t
)01(
a
ятности 99 % (таблица 14);
)05(
a
- табличные значения t-Стьюдента при доверительной веро-
96.1
=
t
ятности 95 % (таблица 14)
рассчитанное значение (Cv =11.4 %) или из литературы;
Р - максимальная допустимая точность опыта 5 %.
22
Cvt
×
a
N 20
=
=
2
22
4.1196.1
×
2
=
96.12984.3
×
»
шт
Подставив значения в формулу (19) получим минимальное предельно
допустимое количество выборочной совокупности равное 20 шт, хотя для
69
69
КентбаеваБ.А.«Методологиянаучныхисследований»
2
1
исследований была использована большая выборочная совокупность, равная
30 наблюдениям. При проведении повторных исследований или при их мно-
гочисленности прибегают к предварительному расчету числа наблюдений.
Если при начальных расчетах Р < 5 %, то количество наблюдений мож-
но снизить, соответственно если Р > 5 %, то количество наблюдений (n)
нужно увеличить.
Контрольные вопросы:
1. В каких случаях возможно снижение количества наблюдений?
2. Влияет ли рассчитанная точность опыта на размер выборочной сово-
купности?
3. Каково минимальное количество наблюдений и зависит ли оно от
численности генеральной совокупности и от характера изучаемых
показателей?
Контрольное задание: рассчитать минимально допустимое количество
выборочной совокупности с рассчитанной точностью опыта и с его максимальным значением по первому признаку.
§ 10 Расчет критерия «норма»
При проведении сравнительного анализа практически во всех случаях
приходится выделять растения, отличающиеся по каким-либо параметрам от
остальной массы. И в данном случае можно прибегнуть к разработанному,
Г.Ф.Лакиным критерию «норма». Из полученных по какому-либо признаку
средних арифметических величин выстраивается вариационный ряд (таблица
19). Определяется общая средневзвешенная величина (М) (среднее по средним) и среднеквадратическое отклонение (d) и устанавливается значение 2/3
d
.
Критерий «норма» имеет вид М ± 2/3d, если от общего среднего значения отнять 2/3 d, то получится точка нижнего предела, а если к М прибавить
2/3 d, то получим верхнюю точку предела. Далее сопоставляя величину каждой средней арифметической к данной линии, определяем местонахождение
первой. После этой процедуры все среднеарифметические распределяются в
три группы или категории годности, «лучшие» - это те образцы, среднеарифметические значения которых находятся выше верхней точки, «худшие» ниже нижней точки, а «нормальные» располагаются в промежутке этих двух
точек.
Таблица 19
Средние значения V V
M
70
5.6 31.36
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]