Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
12 12
11
44
rr
12
n
ij
qq
σ
11 1
()() ()() [ ()] () .
=σ σ=
12
II+
00
22
VS
εε
∫∫
00
22
VV
εε
∫∫
12 12
= = = ⋅
∫∫
00
(, )
A F dr rdr
qq qq
πε πε
2
r
0 0 12
12
(5.51)
r
Таким образом
qq
4
1
πε
(5.52)
0 12
(2)
Ur= ⋅
есть потенциальная энергия системы издвух зарядов.
Для системы
зарядов
Un
= ⋅
()
n
11
∑
,1
ij
=
πε
0
24
(5.53)
r
ij
Для системы снепрерывным распределением заряда
сплотностью
U x y dV x dV y
= σσ⋅ =
∫∫
24 | |
VV
1 11
() () () ()
x y dV y dV x
∫∫
2 4||
VV
11
= σϕ = σϕ =− ϕ ⋅ϕ
x x dV x x dV div x x dV
∫∫ ∫
22 2
VV V
()() () ()
πε −
0
πε −
0
xy
xy
В силу равенства (2.56)интеграл равен
I div x x dV x x n x dS
= − ϕ ⋅ ∇ϕ = − ϕ ∇ϕ
1
[() ()] () (),()
по(2.45).
I x x dV E x E x dV
2
Энергия фиксированной системы неизменится, если
[ () ()] (), ()
= ∇ϕ ⋅ ∇ϕ =
поместить ее визолированный объем, вкотором нет ника-
ε
0
( )
, где
71
ких зарядов. Тогда можно считать, что V шар сколь
R
SR
1
R
1
R
1
I
U x Ex Ex dx
ε
() ()
2
ε
R
00
rr
σσ
= = =π=
εε
∫∫ ∫
2 22
00
4.
Q QQ
RR
=π==
2
угодно большого радиуса
. Тогда
ϕ
,
,
∇ϕ
и,следовательно,
2
считать сколь угодно большим, то интеграл
IR
1
, а, так как R можно
оказыва-
1
ется равным нулю.
Таким образом энергия электрического поля равна
0
() (), ()
=
e
∫
2
V
(5.54)
И плотность энергии
2
u r Er
e
0
=
(5.55)
Пример 5.7. Энергия равномерно заряженного шара
радиуса
.
Общая потенциальная энергия представляет собой
интеграл отплотности (5.55)повсему пространству.
В силу (2.15), (5.26)интеграл (5.54)повнутренности
шара имеет вид:
2
25
R
εε
2
00
I E r dV dV dr
1
() 4
2 2 3 18
VV
int int
π
2 11
= σ=
ε πε
45 10 4
00
Q
R
24
0
2
.
R
А повнешности:
Q
r
0
2
2
11
I E r dV dV
72
εε
= = =
2
∫∫
VV
ext ex
R
ε
0
∫
2 8 24
16
0
2
00
()
22
2
r dr
2 24
r
πε
0
4
πε
t
πε πε
Таким образом:
() ()
µ
2 22
q
p qd=
P
,,xyz
P
22
22
qq
dd
ϕ= − ≈
πε
2
. (5.56)
R
0
UI I
=+=
12
3154Q
Энергия магнитного поля
Формула плотности энергии магнитного поля аналогична таковой (5.55)для энергии электрического поля:
2
u r Hr
m
0
=
2
(5.57)
Таким образом общая энергия электромагнитного
поля (сучетом (5.2), (5.4)имеет вид:
E+= ε
E cB
0
2
(5.58)
5.8. Дипольное приближение электрического поля.
Поляризация
Определение 5.2
Пусть имеется пара зарядов
, d— расстояние между ними. Дипольным моментом
p
называется вектор
длины
ототрицательного заряда кположительному.
Введем систему координат так, что
наты положительного заряда,
отрицательного. Рассмотрим точку
потенциал поля вточке
1
P
()
πε
4
0
22 22
xy z xy z
++− +++
:
−
q
0,0,
+
q
,
равной величины
, направленный
0,0,
d
−
— координаты
2
(
d
коорди-
2
). Тогда
73
22
0
22 22
1
()
4
22
1
,
qq
P
dd
xy z xy z
z
ϕ= − ≈
πε
++− +++
2 22
r xyz= ++
1 (,)
pr
qq
qq
12
rr
2 1 11 2 2
n
1
ii
i
=
( ,)
ii
qr
()Pr
|| | |
rr>>
| | ( ) (,)
i i ii
rr rd h rd r re
r
11
0 00
1 1 (,)
1.
nn
ii
ii
qq
ϕ= ≈ ≈
∑∑
≈
qd
4
πε
3
r
0
(5.59)
где
Пусть теперь заряды
,
векторы
соответственно. Тогда дипольный момент
или
()
Prϕ= ⋅
4
πε
0
=
1
()p qr r qr qr= −= +
(5.60)
3
−
,
+
=
имеют радиус-
2
. (5.61)
Равенство (5.61) есть определение дипольного
момента впроизвольной системе координат. Оно может
быть обобщено наслучай
точечных зарядов:
n
p qr
=
(5.62)
∑
Пусть теперь имеется система зарядов
, причем
− = − + ≈− =−
er=
где
точечного заряда, второй называется дипольной поправ-
74
. Потенциал вточке P:
()
≈ + = +⋅
πε − πε
4 | |4
n
∑
4 44
πε πε πε
i
1
=
11
P
Здесь первый член представляет собой потенциал
. Тогда
i
22
rr
= =
00
q re
ii
rr r
i
(,)
Q pe
r
1
re
(,)
−
i
r
,
2
r
иточка
кой или дипольным приближением. Если суммарный
( )
00
() () , ()P Pp P
()Pϕ
Qq
1
2
i
i
1
2
12
Q
0Q =
V
()pV
заряд равен нулю, дипольная поправка является главным
членом приближенного значения потенциала.
В общем случае потенциал системы зарядов вудаленной точке имеет вид
где
ϕ = ϕ − ∇ϕ
— потенциал точечного заряда
0
, (5.63)
n
=
∑
i
=
1
, поме-
i
щенного вначало координат.
В явном виде дипольный момент (5.62) зависит
отвыбора системы координат, точнее, отточки, относительно которой он определяется. Рассмотрим две точки
(1)
O
O
и
иобозначим:
относительно точек
O
дипольные моменты относительно этих точек и
(2)
r
r
,
— радиус-векторы зарядов
O
и
, соответственно,
(1)
,
r OO=
(2)
p
—
.
p
Тогда
nn n
(2) (2) (1) (1) (1)
p qr q r r p qr p Qr
= = += + = +
∑∑ ∑
ii i i i
= = =
ii i
11 1
()
(5.64)
где
— суммарный заряд системы.
В частности, если система электрически нейтральна,
то есть
, то дипольный момент независит отточки,
относительно которой он определяется.
Пусть рассматривается однородная электрически нейтральная среда, способная кполяризации— спонтанной
или под воздействием внешнего электрического поля.
Если
— выделенный объем, то его дипольный момент
зависит только отвеличины объема, причем, как следует
из(5.6)он прямо пропорционален объему.
Определение (5.8).
Вектор
PV=
(5.65)
75
()
pV
+σ
p SL V=σ=σ
P = σ
01
EE E
где
— дипольный момент среды вобъеме V, называется вектором поляризации (или просто поляриза-
цией).
Пример 5.8
Рассматривается однородная способная кполяриза-
ции среда воднородном внешнем электрическом поле
E
0
(рис. 5.2).
Рис. 5.2.
Тогда на противоположных боковых поверхностях,
перпендикулярных дипольному моменту, возникнут
поверхностные связанные заряды соднородными поверхностными плотностями
и−σ (краевыми эффектами
пренебрегаем). Поляризованный параллелепипед можно
рассматривать как макроскопический диполь, момент
которого повеличине равен
величина поляризации оказывается равной
. Таким образом,
.
При этом связанные поверхностные заряды создают
внутри поляризованной среды дополнительное макроско-
E
пическое поле снапряженностью
, направленное про-
1
тив внешнего поля. Таким образом поле внутри среды
оказывается равным
= −
.
76
5.9. Электромагнитные волны ввакууме
0divE =
t
∂
0divB =
t
c
∂
0E =
; 0B =
OX
xx
= =
OX
0divE =
yz
∂
+=
() 0
t
=−=
∂
zy
−=
() 0
E
∂
B
zy
∂
−=
0divB =
yz
∂
+=
Решение уравнение (П2.55)называется волной.
Рассмотрим уравнения Максвелла впустоте, то есть
вобластях, несодержащих токов изарядов:
;
rotE
B
∂
= −
;
;
rotB
1 E
∂
= −
(5.66)
2
Тогда скалярный ивекторный потенциалы удовлетворяют волновому уравнению (2.55). Из(2.59)также следует, что сами напряженности электрического имагнитного полей также удовлетворяют волновым уравнениям:
(5.67)
Плоские волны
Рассмотрим случай, когда напряженности электрического имагнитного полей перпендикулярно некоторому
направлению (
), то есть
EB
0
. (5.68)
Соответствующее решение (5.67)называется плоской
волной. Как следует издальнейшего, динамика происходит внаправлении
.
Из (5.68)
E
E
∂
y
z
rotE
x
⇒
∂∂
B
∂
x
∂
⇒
∂∂
0
(5.69)
E
E
∂
y
z
0
(5.70)
rotB
1
= =
x
2
∂
c
x
t
⇒
⇒
B
y
∂∂
B
∂
y
z
∂∂
B
∂
z
0
(5.71)
0
(5.72)
77
Уравнения (5.69)-(5.70) и (5.71)-(5.72) имеют вид
yz
yz
w y iz= +
22 22 22 22
zz zz
EE BB
yzyzyz yz
+=+=+=+=
22
yy
EE
x ct
∂∂
−=
∂∂
22
zz
EE
x ct
∂∂
−=
∂∂
22
yy
BB
x ct
∂∂
−=
∂∂
22
zz
BB
x ct
∂∂
−=
∂∂
(,) 0
−=
( ) ( )
12
= −+ +
( )
−
t
x
tt+
x ct+
c
x
уравнений Коши-Римана, которые означают, что
()E
W E iE= −
W B iB= −
и
()B
аналитические функ-
ции аргумента
(5.73)
Из этого следует:
22 22
EE BB
∂∂ ∂∂
yy yy
22 22
∂∂ ∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
и,стало быть, уравнения (5.68)принимают вид:
1
2 22
1
2 22
0
;
0
;
1
2 22
1
2 22
0
; (5.74)
0
, (5.75)
то есть оказываются уравнениями Даламбера.
22
1
∂∂
2 22
∂∂
x ct
f xt
(5.76)
Общее решение (5.76)имеет вид
g
где
g
,
Рис. 5.2 произвольные гладкие функции.
1
2
Функция
если вмомент времени
ние вточке
(,)f x t g x ct g x ct
g x ct
1
обладает следующим свойством:
она принимает какое-то значе-
, то вмомент времени
же значение вточке
свои значения соскоростью
, то есть она распространяет
.
(5.77)
она примет то
В частности, отсюда следует, что если поля независят
отвремени, то они независят иотпеременной
.
Таким образом при условии (5.68)решение уравне-
ний (5.66)имеет вид:
0
,
78
() ()
( ,,) ( , ,)
yy
( ,,) ( ,,)
zz
z
( ,,) ( ,,)
yy
( ,,) ( , ,)
zz
xt
∂
∂∂
tx
c
∂
∂∂
xt
∂∂
tx
c
∂∂
()/ ()/ ()/ ()/
()/ ()/ ()/ ()/
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ]
zz y y
zz y y
yy zz
yy z z
f g FG
f g FG
f g FG
f g FG
c
x ct−
f
x ct+
()/ ()/
1
[ ] []
yz
Gg
c
()/ ()/
1
[ ] []
yz
Ff
c
()/ ()/
1
[ ] []
zy
Ff
c
()/ ()/
1
[] []
zy
Gg
c
E f x ct y z g x ct y z=− ++
y
() ()
E f x ct y z g x ct y z=− ++
B F x ct y z G x ct y z=− ++
B F x ct y z G x ct y z=− ++
() ()
y
() ()
z
(5.78)
При этом выполняются условия (5.73).
Из второго и четвертого уравнений (5.66) следует
также:
∂
z
=
E
∂
B
∂
y
= −
∂
1
y
;
2
∂
1
z
;
2
B
E
B
E
E
y
z
=
(5.79)
B
∂
y
= −
z
Подставляя (5.78)в(5.79), получаем:
1
( )
c
1
( )
c
1
( )
c
1
( )
+ =−+
−+ = +
()/ ()/ ()/ ()/
+=−
()/ ()/ ()/ ()/
−=+
(5.80)
где штрихом обозначена производная по
ций
иF ипроизводная по
Из (5.80) следует:
имеет вид:
=
;
= −
для функ-
для g иG.
=
;
= −
ивитоге общее решение
;
79
() () ()
( ,,) ( , ,) (,)
yyy
zzz
z zy
y yz
OX, OY
22
Iz
cr
22
Iy
cr
=−⋅
(, ,,) (,)xyzt rtϕ=ϕ
2 22
r xyz= ++
22
rr
r ct
−=
∂∂
E f x ct yz g x ct yz u yz
E f x ct yz g x ctyz u yz
z
B f x ct yz g x ctyz v yz
B f x ct yz g x ct yz v yz
z
( ,,) ( , ,) (,)
=− ++ +
y
() () ()
( ,,) ( ,,) (,)
=− ++ +
11
=−−+ ++
y
= −− ++
() () ()
cc
11
() () ()
( ,,) ( ,,) (,)
cc
(5.81)
где при этом выполняются условия (5.73).
Любое трехмерное поле можно представить как сумму
составляющих, перпендикулярных направлениям
и соответственно, ив силу линейности уравнений
Максвелла общее решение представляет собой суперпозицию решений (5.81).
Пример 5.9. Поле бесконечного прямого проводника
спеременным током.
Пусть рассматривается проводник с током вида:
x
= πω − + ϕ
cos 2
IA t
c
с частотой ω. Тогда в силу
0
(5.40):
B
= ⋅
y
2
πε
0
B
;
z
2
πε
0
Пример 5.10. Сферически симметричные волны.
Рассматривается электрический потенциал поля
точечного источника, находящегося вначале координат.
Вэтом случае
В сферически симметричном случае волновое уравнение принимает вид:
Откуда следует, что его общее решение:
80
, где
() 1 ()
∂ϕ ∂ϕ
2 22
.
0
(5.82)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]