Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
считать дугой окружности радиусом R=80 м. Трением
пренебречь.
13. Чаша вформе полусферы радиусом 0,8 м вращается спостоянной угловой скоростью ωвокруг вертикальной оси. Вместе счашей вращается шарик, лежащий наеё
внутренней поверхности. Расстояние отшарика донижней точки чаши равно её радиусу. Определить угловую
скорость вращения чаши.
14. Какую среднюю мощность и силу тяги должен
развивать электровоз, чтобы состав массой 1000т через
2мин после начала равноускоренного движения погоризонтальному пути приобрел скорость 72км/ч? Коэффициент силы сопротивления движению 0,005.
15. Поезд массой 1000т начинает двигаться сместа
равноускоренно идостигает скорости 36 км/ч за время
10с. Коэффициент сопротивления движению 0,01. Определить среднюю мощность тепловоза.
16. Трактор массой 10т имощностью 150 кВт поднимается вгору соскоростью 5м/с. Найти угол наклона
горы кгоризонту.
4. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
M
r
r
γ
1
rM
r
V
4.1. Гравитационное поле
Постулат. 4-й закон Ньютона
Сила гравитационного взаимодействия между точеч-
ным источником
Знак минус вформуле (4.1)указывает нато, что гра-
витационная сила является силой притяжения. Вектор
направлен отисточника кточке, авектор (4.1)отточки
кисточнику. Таким образом гравитационное поле является радиальным ипотенциальным.
Величина
ной, ее значение см. П1.3.
Из второго закона Ньютона следует, что напряженность гравитационного поля численно равна ускорению
тела, если нанего недействуют никакие другие силы.
Потенциал гравитационного поля:
иматериальной точкой m имеет вид:
F Mm
= −γ
(4.1)
3
r
называется гравитационной постоян-
()
ϕ = −γ ⋅
(4.2)
Оказывается, в реальности практически все источники значимого гравитационного взаимодействия оказываются точечными.
Чтобы оправдать этот тезис, сначала рассмотрим шар
объема
42
, ипусть σ— плотность. Пока предположим,
что σ— постоянная величина, то есть масса шара
MV= σ
a
1 11
r aa
R
hR<<
1
()
22
11
Mh Mh
RR
γγ
=γ⋅ = ⋅+ ≈ ⋅− ≈
Потенциал поля вточке, удаленной отцентра шара нарасстояние
всилу результата примера П2.3 имеет вид:
()Va dV V M
ϕ = γσ⋅ = γσ = γ
∫
(4.3)
Таким образом: гравитационное поле однородного
шара совпадает сполем помещенного вцентр шара точечного источника заряда, равного общему заряду шара.
Простой модификацией приведенной выкладки
примера 2.3 можно получить и более общее утверждение. Результат остается верным ив случае неоднородного шара— достаточно лишь, чтобы он был «сферически однородным», то есть плотность заряда зависела бы
только отрасстояния доцентра.
В первом приближении планету или звезду можно
принять за послойно однородный шар. Таким образом
большинство космологических объектов сточки зрения
гравитации оказываются точечными источниками.
При этом гравитационное взаимодействие является
настолько слабым, что сколько-нибудь значимое гравитационное поле может создать только очень большая масса,
которой обладают только космологические объекты.
При этом вмасштабах малых, по сравнению сразмерами космологического объекта, гравитационное поле
является близким коднородному.
Действительно, рассмотрим гравитационное поле
планеты или звезды радиуса
имассыM нарасстоянии
отее поверхности. Напряженность поля направ-
.
лена кцентру шара ичисленно равна
Тогда
EM
1
()
22 2
Rh R R
+
−
EM
=γ⋅
Rh
+
.
2
43
22
22 2
1
11
()
2
Mh Mh
EM
RR
Rh R R
MM h
R
RR
−
γγ
=γ⋅ = ⋅+ ≈ ⋅− ≈
+
γγ
M
R
γ
Eg=
00
()
11
()
F mE=
0 1 01
()() ( )
() ()U r U h mgh= =
v
≈− =−
23
hg g
2,
(4.4)
где
g
=
. (4.5)
2
В ситуациях, нетребующих большой точности, принимается допущение
, то есть гравитационное поле
насравнительно небольших расстояниях отповерхности
планеты считается постоянным иоднородным. Часто оно
называется полем тяготения, авеличина (4.5)— ускорением силы тяжести.
Потенциальная энергия тяготения
Пусть тело массы m под действием силы тяжести
перемещается източки
над землей вточку
Mr
Mr
, находящейся навысоте
, находящуюся навысоте
h
0
h
.
1
Примем приближение (4.4)–(4.5). Тогда силовое поле
, иработа сил тяготения имеет вид
A M M mg h h=ϕ −ϕ = −
Так как поопределению потенциальная энергия определяется сточностью доконстанты, можно считать, что
потенциальная энергия массивного тела вполе тяготения
имеет вид:
Пример 4.1.
Пусть телу споверхности Земли придана вертикальная скорость
. Если пренебречь сопротивлением воздуха, движение будет осуществляться впотенциальном
поле тяготения, таким образом выполняется закон сохранения механической энергии. Внижней точке имеется
44
(4.6)
(4.7)
2
2
E mgh=
v
m
m
r
r
11
mr F
22
mr F
+=+
mv
кинетическая энергия
E =
, апотенциальная энергия
равна нулю. В верхней точке, наоборот, кинетическая
энергия равна нулю, апотенциальная
2
v
следует равенство
gh=
2
, которое связывает начальную
. Откуда
скорость имаксимально достигаемую высоту.
Первая космическая скорость
Если придать телу (находящемуся насравнительно
небольшом— порядка 100−200км) направленную параллельно поверхности Земли скорость
2
mv
щую условию
mgR=
1
, то есть
, удовлетворяю-
1
v gR=
1
, (4.8)
то тело будет двигаться покруговой орбите (то есть станет спутником Земли). Скорость (4.8) называется пер-
вой космической скоростью. Ее приближенное значение
7,91км/c.
4.2. Задача двух тел. Законы Кеплера
Рассматривается замкнутая система из двух тел,
массы которых равны
Тогда в силу второго и третьего закона Ньютона (3.1),
(3.9)
Закон сохранения импульса имеет вид:
mm
12
++
mm mm
12 12
и
1
=
r r r vt
1 20
, радиус-векторы—
2
;
= −
(4.9)
,
1
2
, (4.10)
45
.
Поместим начало координат вцентр масс ирасполо-
12
rr
0z =
1
m
12
12
mm
ϕ
−ϕ
13
ρ= +
1 23
1 23
1
rr F
m
rr F
m
жим оси так, чтобы вначальный момент вектора
ρ
лежали вплоскости
Для вектора
ρ
уравнение (4.9)имеет вид:
ρ=
F
(4.11)
где
mm
=
m
— (4.12)
+
приведенная масса.
Рассмотрим уравнения (4.11)вцилиндрических коор-
динатах (П2.2). Введем вектора
ρ= −
,
cos
sin
e
= ϕ
1
0
Они образуют ортонормированный базис. В этом
базисе:
re ze
( ) (2 )r r e r r e zeρ= − ϕ + ϕ+ ϕ +
и уравнения (4.11) в цилиндрических координатах
записываются ввиде:
46
e
;
2
;
2
−ϕ=
ϕ+ ϕ=
2
sin
cos
= ϕ
0
re r e zeρ= + ϕ +
2
1
0
0
e
=
;
3
, (4.13)
1
;
, (4.14)
(4.15)
r
(4.16)
ϕ
1
zF
m
Fr
() ( ) 0
dd
dt dt
= × =×=
()
r
r
0z =
h
hr
( )0
d
m
r
α
12
=
(4.17)
z
Важный случай— центральных сил:
||
. Вэтом
случае
Mr rr rr
(4.18)
Из (4.18)следует, что вектор кинетического момента
h Mr=
(4.19)
сохраняющаяся величина. Следовательно, иортогональная этому вектору плоскость — плоскость вкоторой лежат
и
векторы
движение происходит вплоскости
— также постоянна. Отсюда следует, что
.
Из (4.19)следует, что вцилиндрических координатах
2
вектор
имеет вид:
(0,0, )
= ϕ
||h h r const= = ϕ=
и
2
(4.20)
Модуль кинетического момента— сохраняющаяся
величина.
2
При этом уравнение (4.16)принимает вид:
rdtϕ=
и является, таким образом, следствием изуже полученного результата (4.20).
Таким образом, уравнения движения (4.11)сводятся
кодному скалярному уравнению (4.15).
Если вкачестве силы рассматривается сила гравита-
ционного взаимодействия, то (4.15)принимает ви
где
2
−ϕ= ⋅
rr
mmα = −γ
.
1
(4.21)
2
47
Сделаем замену
1
1dr dr du
r rh
dd d
ϕϕ ϕ
22
22
du du
dd
ϕϕ
2 32
22
d hm
hm
α
0ϕ=
cos
hm
ϕ
+ϕ
sin
hm
ϕ
+ϕ
0z =
22
2 22
αα
q
hm
α
ρρ
ur=
. Тогда
= ϕ= ϕ=−
r
2
2
r h hu
=− ϕ=−
и
22
, а
r uhϕ=
. Отсюда (4.21)при-
нимает вид
2
du
+=
ϕ
Решение (4.22)имеет вид
ограничения общности можно положить
α
u
= ϕ−ϕ +
(4.22)
cos( )uC
0
0
. Без
2
. Таким
образом вцилиндрических координатах уравнения движения имеют вид:
x
=
α
2
cos
C
y
=
;
α
C
2
cos
;
(4.23)
Из (4.28)следует
12y Cx C x
42 42
hm hm
=−+−
Таким образом, траектория вектора
(4.24)
является кри-
вой второго порядка. При выполнении неравенства
C
<
(4.25)
2
она представляет собой эллипс, водном изфокусов кото-
рого находится центр масс. При этом
48
11 1
= −
С
2
min max
, где
min
ρ
ρ
149597870700м
147090000000мρ=
152100000000мρ=
1
6.659208 10 1.119684 10 cos
−−
⋅+ ⋅ θ
12
[, ]
()rr= ϕ, ()tϕ=ϕ
и
— соответственно, перигей иапогей орбиты.
max
Соответствующий результат представляет собой
Первый закон Кеплера
Планеты движутся поэллипсу, водном изфокусов
которых находится центр масс Солнечной системы.
С достаточно хорошей точностью можно считать что
центр масс солнечной системы находится всамом Солнце.
Кеплер сформулировал свой первый закон именно втаком
виде.
Пример 4.2. (орбита Земли)
7
Средняя угловая скорость
ω=θ= ⋅
1.995 10 /рад с
−
.
Среднее расстояние отЗемли доСолнца (1 астрономическая единица) =
Перигей
Апогей
min
max
Масса Солнца
Масса Земли
1.98892 10M кг= ⋅
5.9742 10m кг= ⋅
.
.
30
24
.
.
Уравнение орбиты имеет вид:
ρ=
Второй закон Кеплера
Обратимся теперь вновь кравенству (4.20). Оно может
быть записано ввиде:
Проинтегрируем (4.26)наотрезке
. Из(П2.24)следует, что
12 13
2
r d hdtϕ=
(4.26)
tt
, считая, что
t
2
2
rdϕ
∫
t
1
м
представ-
49
ляет собой секторальную площадь соответствующей части
M
2
r
орбиты. Как следует из(4.26), такая площадь пропорциональна времени движения поэтой части орбиты. Эквивалентная формулировка этого утверждения исоставляет
второй закон Кеплера:
За равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает равные площади (рис. 4.1).
Рис. 4.1.
Третий закон Кеплера
Механическая энергия планеты массы m вполе тяготения звезды массы
В силу закона сохранения энергии величина (4.27)во
всех точках орбиты одинакова.
50
имеет вид
2
mv mM
E
= −
γ
. (4.27)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]