Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
1. Оператор
F
H
F
F
()
F
λ
() ( ) ()
i
qc q
∑
F
ψ = λψ λ
ij
FF
λλ
ψ = λψ λ ψ =
∑
FF
λµ
ψ = λψ λ µψ µ =
∫∫
вещественны, ивпространстве
— эрмитов, его собственные значения
*
имеется базис, ортонормированный вслучае дискретного спектра инормированный
надельта-функцию вслучае непрерывного спектра (см. 2.7).
Постулируется, что физическая величина
может
принимать только значения, принадлежащие спектру
соответствующего оператора
Обозначим
F
ψ
— собственный вектор оператора
λ
соответствующий собственному значению
.
,
. Всилу теоремы
П2.11 волновая функция может быть представлена ввиде
()
ψ = λψ
F
i
(8.6)
λ
i
в случае дискретного спектра оператора
() () ()
q c qd
∫
Λ
в случае непрерывного спектра. При этом
2 () ()
| ()| ( ) ()( ) ()
q dq c q c q dq
∫∫
XX
= λλψ ψ =
( )( ) () ()
c c q q dq
∑
ij
ij
,
= λ λδ= λ
()( ) |()|
cc c
∑∑
ij i
,
ij
ij
,
FF
() ()
λλ
∫
ij
X
i j ij i
в случае дискретного спектра и
| ()| () () () ()
∫ ∫∫ ∫
XX
в случае непрерывного спектра.
2 () ()
q dq c q d c q d dq
ΛΛ
() ()
= λ µ ψ ψ λ µ=
()() () ()
с с q q dq d d
∫∫
Λ×Λ
= λ µ δ λ−µ λ µ= λ λ
()()( ) |()|
с с dd с d
Λ×Λ Λ
FF
λµ
X
()
F
λ
и
(8.7)
2
2
141
Таким образом из условия нормировки волновой
()c λ
F
ii
⊂Α = λ λ
Α⊂Λ
()c λ
()
=λλ λ
функции (8.5) следует аналогичная нормировка для коэффициентов
.
Распределение значений физической величины
определяется условиями:
( ) | ( )|
PF c
=λ= λ
ψ
2
(8.8)
в дискретном случае и
( ) | ( )|PF c d
ψ
∫
Α
2
,
(8.9)
в непрерывном случае.
В соответствии с(2.) коэффициент
() () ()
c q q dq
λ= ψ ψ
∫
X
()
F
λ
имеет вид
(8.10)
В частности, собственные функции оператора обоб-
щенной координаты есть дельта-функции:
()
q
i
ψ =δ −λ
λ
q
(8.11)
i
и соотношение (8.9) принимает вид (8.4).
8.4. Среднее значение идисперсия
физической величины
По определению среднего значения (математического
ожидания) случайной величины
непрерывного спектра, в дискретном случае все интегралы заменяются насуммы)
14 2
( ) | ( )|EF c d
ψ
∫
Λ
2
; (8.12)
Отсюда из равенства (приводится выкладка для
( )
FF
λµ
∫∫
( )
=ψψ
F
λ
F
F
( )
( )
FF
λµ
∫∫
( )
=ψψ
()
ψψ
()
()EF
λ→λ−
, ()( )()
F q F q dq
ψ ψ= ψ ψ =
() () () ()
c qd c qd dq
= λ ψ λ µ µψ µ =
∫∫ ∫
X
ΛΛ
= λ µµ ψ ψ λ µ=
()() () ()
c c q q dq d d
∫∫
Λ×Λ
= λ µ µδ µ − λ λ µ == λ λ λ
()() ( ) |()|
c c dd c d
Λ×Λ Λ
∫
X
() ()
() ()
FF
λµ
X
2
следует
Так как собственные значения оператора
2
, асобственные вектора совпадают ссобственными век-
торами оператора
() ,EF F
ψ
, то всилу эрмитовости
2
,,
F FF
ψ ψ= ψ ψ=
(8.13)
2
равны
:
То есть
c
F F EF
= −
c qd c qd dq
= λ λψ λ µ µψ µ =
∫∫ ∫
X
ΛΛ
c c q q dq d d
= λ µ λµ ψ ψ λ µ =
∫∫
Λ×Λ
= λ µ λµδ µ − λ λ µ = λ λ λ
c c dd c d
Λ×Λ Λ
() ()
() () () ()
() ()
()() () ()
FF
λµ
X
()() ( ) |()|
2
() ,EF F
ψ
2
. Центрированной величине
, соответствует оператор
собственные значения которого получаются постоянным
сдвигом
в(8.14), получим окончательно:
. Сделав соответствующую замену
ψ
(8.14)
22
c
F F EF
= −
ψ
14 3
,
( )
2
=ψψ
F, G
F
G
( )
( )
22
cc
⋅ =ψ ψ⋅ψ ψ≥
[ , ][,]
( )
4
F
F
σ=∞
c
() ,
DF F
ψ
(8.15)
8.5. Одновременное измерение физических величин.
Принцип неопределенности
Пусть система находится всостоянии ψ ирассматри-
ваются две физические величины
,
ными операторами
() ( ) , ,
DF DG F G
ψψ
Используя очевидное равенство
ношение (8.16) можно переписать ввиде
. Тогда всилу (П2.84)
1
≥ψ ψ
4
cc
,[ , ]
FG
( )
сассоциирован-
2
c
c
F G FG=
(8.16)
, соот-
σ ⋅σ ≥ ψ ψ
Соотношение (8.17) называется принципом неопреде-
ленностей Гейзенберга. Изнего следует, что если опера-
торы физических величин некоммутируют, то при увеличении точности измерения одной величины, разброс
значений другой неограниченно возрастает. Вчастности,
если система находится всостоянии, вкотором величина
имеет определенное значение (вектор состояния— соб-
ственный вектор оператора
14 4
( ) ( ) ,[ , ]
), то
cc
()G
F G FG
ψψ
1
2
(8.17)
.
ψ
8.6. Координатное представление.
0
p
m
d
ψ
ψ =ψ −ε =ψ −ε + =
=−∇
∇
x
d
dx
Оператор импульса
В координатном представлении конфигурационное
пространство является обычным трехмерным эвклидовым пространством, и обобщенные координаты есть
обычные декартовы координаты.
Чтобы получить выражение оператора импульса
в координатном представлении, заметим, что импульс
вклассической физике вектор импульса является каса-
r
тельным ктраектории движения: если
положение точки, то малая эволюция имеет вид:
— начальное
rr
= +ε +
0
ε
...
Тогда, согласно 3.11, оператор импульса
должен быть генератором оператора трансляций:
ε
( ) ( ) ( ) ...
Tr r r
id
=ψ − ε− +
( ) ...
r ih
h dr
dr
ψ
(8.18)
Таким образом оператор импульса вкоординатном
представлении имеет вид:
— оператор Гамильтона (П2.35). Мнимая единица
где
p ih
(8.19)
здесь нужна для эрмитовости, апостоянная Планка —
для согласованности сформулой (8.1).
Для координаты
p ih
= −
x
, справедливо соотношение
и компоненты импульса
[, ]
x p ih=
(8.20)
x
И неравенство (8.17) имеет вид:
14 5
2
h
σσ ≥
d
dx
ψ
−=ψ
pe
()
ψ
()
ψ
pe
(,)qtψ
()( )
xp
x
(8.21)
Откуда следует, что координата иимпульс немогут
одновременно иметь определенное значение.
Собственные значения оператора импульса, удовлетворяющие уравнению
ih p
(8.22)
x
имеют вид:
i
px
1
ψ=
()
x
Аналогичный вид имеют компоненты
h
(8.23)
π
2
p
и
y
p
,
z
таким образом собственные функции оператора
i
импульса —
ψ=
()
(2 )
1
π
3/2
px
h
представляют собой про-
стые волны (П2.78). Из(П2.76) следует, что собственные
функции функции оператора координаты иоператора
импульса связаны соотношениями (П2.79−П2.80), то
есть переход откоординатного представления кимпульсному инаоборот производится методом преобразования
Фурье.
8.7. Эволюция волновой функции.
Уравнение Шредингера иоператор эволюции
До сих пор состояние системы рассматривалось водин
фиксированный момент времени. Если же вводить также
зависимость состояния отвремени, то волновую функцию
следует рассматривать как
.
14 6
Определим оператор
H
(,)
(,)
qt
∂ψ
H
H
22
ph
mm
= =−∆
(,)
2
tm
∂
2
m
уравнением
ih H q t
∂
= ψ
t
(8.24)
Уравнение (8.24) называется уравнением Шредингера.
Можно показать, что оператор
, удовлетворяющий
(8.24), является эрмитовым. При этом определение (8.24)
абсолютно формально, ивобщем случае при постановке
задачи явный вид оператора
должен быть постулирован. Мы рассмотрим здесь самую простую задачу квантовой механике— свободную частицу.
В классической механике уравнение (3.43) задает эволюцию координат и импульсов в виде производных
гамильтониана, имеющего смысл энергии. Для свободной
частицы (то есть при отсутствии потенциальных полей)
2
p
кинетическая энергия представляется в виде
Hm=
.
2
Тогда оператор кинетической энергии имеет вид
H
2
2
, где ∆— оператор Лапласа. Таким образом
для свободной частицы уравнение Шредингера имеет вид:
(,)
qt h
∂ψ
ih q t
2
= − ∆ψ
(8.25)
где
Решение уравнения (8.25) имеет вид:
i
−
pr Et
rt e
ψ=
(,)
2
p
=
E
.
( )
1
h
π
2
(8.26)
Функция (8.26) называется волной де-Бройля.
147
Упражнения
6 10−⋅
9 10⋅
1. Каков импульс фотона сэнергией
19
Дж?
2. С какой скоростью должен двигаться электрон,
чтобы его импульс был равен импульсу фотона сдлиной
волны, равной 520нм?
3. При какой длине волны излучения энергия фотона
равна энергии покоя электрона?
4. Насколько увеличится масса тела, если дополни-
12
тельно сообщить ему
Дж энергии?
5. Каким импульсом обладает электрон при движении соскоростью, равной 0,8скорости света ввакууме?
6. При какой скорости движения кинетическая энергия частицы вдвое больше ее энергии покоя?
7. Какую ускоряющую разность потенциалов должен
пройти первоначально покоящийся электрон, чтобы его
кинетическая энергия стала в10раз больше его энергии
покоя?
9. ЭЛЕМЕНТЫ ЭКОНОФИЗИКИ
Примерно в1990-х годах появилось достаточно большое количество работ, вкоторых отмечалась возможность
применять методологию физики канализу экономических данных. Вскоре американский физик Гарри Юджин
Стэнли ввел термин эконофизика, предлагая использовать
его для объединения множества исследований, вкоторых
типично физические методы иприемы использовались
при решении экономических задач.
Тогда же этот термин стали использовать не только
в применении к чисто экономическим задачам, но и
вболее широком смысле— ксоциологическим, политологическим исследованиям.
Ярче всего возможности эконофизики проявляются
вситуациях когда оказывается, что физическое иэкономическое явление сточки зрения математики представляют
собой близкие, ато исовпадающие объекты— вчастности
описываются одной итой же динамической системой.
Здесь мы рассмотрим один показательный пример—
модель работы лазера и модель управления городским
хозяйством.
Лазер (laser — Light Amplification by Stimulated
Emission of Radiation)— это устройство, позволяющее
создать когерентный, монохроматический, поляризованный иузко направленный поток излучения за счет так
называемого вынужденного испускания фотонов атомами
рабочей среды.
Опишем здесь (весьма грубо) принцип работы
иустройство лазера.
14 9
В рабочей среде одномодового лазера атомы могут
21
N
E
N
находиться вдвух состояниях— основном и возбужденном, сболее высоким энергетическим уровнем.
Физической основой работы лазера служит явлениевынужденного (индуцированного) излучения. Суть
явления состоит втом, что возбуждённыйатом способен
излучить фотон под действием другого фотона без его
поглощения, еслиэнергия последнего равняется разности энергий уровней атома дои после излучения. При
этом излучённый фотонкогерентенфотону, вызвавшему
излучение (является его «точной копией»). Таким образом происходит усилениесвета. Этим явление отличается
отспонтанного излучения, вкотором излучаемые фотоны
имеют случайные направления распространения,поляризациюифазу.
Вероятностьтого, что случайный фотон вызовет индуцированное излучение возбуждённого атома, вточности
равняется вероятности поглощения этого фотона атомом,
находящимся вневозбуждённом состоянии. Поэтому для
усиления света необходимо, чтобы возбуждённых атомов
всреде было больше, чем невозбуждённых (так называемаяинверсия населённостей).
В обычном состоянии число атомов, находящихся
на возбуждённых энергетических уровнях, определяетсяраспределением Больцмана [17]:
E
−
где
— число атомов, находящихся в возбуждённом
2
состоянии с энергией
N Ne
=
,
kT
(9.1)
— число атомов, находя-
1
щихся восновном состоянии k—постоянная Больцмана,
T—температурасреды. Иными словами, таких атомов,
находящихся ввозбужденном состоянии, меньше, чем
восновном, поэтому вероятность того, чтофотон, распространяясь по среде, вызовет вынужденное излучение,
также мала посравнению с вероятностью его поглоще-
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]