Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
Величина
QTδ
L
Q
δ
−>
0Qδ=
S∆
Вторая часть второго начала термодинамики утверждает, что для необратимого процесса
(6.11)оказывается строгим неравенством:
Рассмотрим случай изолированной системы. В ней
возможен теплообмен между отдельными ее подсистемами, нодля системы вцелом для всех элементов процесса выполняется условие
в изолированных системах энтропия сохраняется при
равновесных процессах ивозрастает при неравновесных.
В реальных ситуациях все процессы неравновесные.
называется приведенной теплотой.
соотношение
() ()
SB SA
(6.12)
∫
T
L
, откуда следует, что
Постулат Т2.2. Второе начало термодинамики, часть
2. Возрастание энтропии
В изолированных системах процессы происходят
понаправлению возрастания энтропии. В положении
равновесия энтропия достигает максимума.
6.6. Третье начало термодинамики
Как следует изопределения энтропии, наблюдаемой
величиной является только ее приращение
она определена с точностью до константы. Следующий
экспериментальный факт позволяет зафиксировать
выбор этой константы универсальным образом. Оказывается, при стремлении абсолютной температуры
к нулю, энтропия любой системы стремится к одной
итой же универсальной величине, которую, всилу сказанного выше, можно принять равной нулю. Этот факт
носит название теоремы Нернста; его математическая
формулировка:
, то есть
91
lim ( ) 0
=
S
x
∂
∂
x
Q CdTδ=
Qδ
x
C
C
C
dU
ST
0
T
→
(6.13)
называется третьим законом термодинамики.
Также, экспериментально установлено, что вдополнение к(6.13)справедливо утверждение
— любой термодинамический параметр.
где
lim 0
T
=
0
→
(6.14)
6.7. Теплоемкость итеплопередача
Определение 6.4.
Теплоемкостью тела называется величина, определяемая соотношением
где
— количество переданного телу тепла, аdT—
приращение его температуры.
Из (6.15)следует, что теплоемкость зависит отпроцесса передачи тепла. Если рассматривается термодинамический процесс, при котором постоянен параметр
соответствующая теплоемкость обозначается
ности,
— теплоемкость при постоянном объеме, а
V
при постоянном давлении.
Пример 6.2.
Если для термодинамической системы справедливо
уравнение (6.4), то при отсутствии механической работы
(6.15)принимает вид:
(6.15)
. Вчаст-
x
p
,
-
CdT=
V
(6.16)
Рассмотрим процесс теплопередачи визолированной
системе из двух тел. Будем предполагать, что процесс
является равновесным.
92
Пусть
()Qt
t
22
Q C dTδ=
11
Q C dT−δ =
[, ]t t dt+
( )
+=
11 2 2 11 2 2
[, ]tt t+∆
()Tt
()Tt
Q
δ
Q
δ
δ −=+=>
12
TT
T
— температура первого тела,
1
T
— второго
2
итеплопередача идет отпервого тела второму. При этом
T
T
и
являются функциями времени. Обозначим
1
2
количество переданного тепла завремя
.
—
Считая теплоемкости постоянными величинами,
получим:
;
. (Здесь Qδ— абсолют-
ная величина переданного тепла запромежуток времени
). Суммируя эти соотношения, получим:
0d CT CT
11 2 2
, откуда
(0) (0)CT CT const CT CT+= = +
(6.17)
Следствие второго закона термодинамики: в изоли-
рованной системе при теплопередаче тепловая энергия
всегда переходит отболее горячего тела кболее холодному.
Пусть за промежуток времени
тела стемпературой
передано количество тепла Qδ. Будем предпола-
2
второму телу стемпературой
1
от первого
гать, что процесс равновесный. Тогда для первого тела
условие (6.6)принимает вид:
−=
dS
(6.18)
T
1
1
А для второго
dS
=
T
2
(6.19)
2
Суммируя (6.18)и (6.19), согласно второму закону
термодинамики, получаем:
откуда следует
11
TT
21
>
.
12
0Q dS dS dS
,
93
Получим теперь еще одно
12
12
TT
τ
12
12
12
TT
TT
ττ
1
()
2
()
12
12
TT
TT
ττ
+→
12
12
11 22 11 2 2
TT
TT
ττ
τ τλ= + +
1
1
τ+ τ= +
Следствие второго закона термодинамики: визолиро-
ванной системе издвух тел положение равновесия устанавливается после выравнивания их температур.
Суммируя соотношения (6.15)для первого ивторого
тела, получим:
Обозначим за
=+= +
dS dS dS C C
1 21 2
время достижения равновесия. Инте-
dT dT
(6.20)
грируя (6.20), получаем
SS C C
τ− = +
( ) (0) ln ln
() ()
(0) (0)
исогласно второму началу термодинамики температуры
T τ
задачи
T τ
и
CC
являются решениями оптимизационной
() ()
ln ln max
12
(0) (0)
при дополнитель-
ном условии (6.17). Функция Лагранжа для этой задачи
имеет вид:
LT T C C
( ), ( ), ln ln
( )
12 1 2
CT CT CT CT
+λ τ+ τ− −
[ ( ) ( ) (0) (0)]
() ()
(0) (0)
(6.21)
Уравнения Эйлера-Лагранжа для (6.21)следующие:
+λ=
()T
τ
1
( ) ( ) (0) (0)CT CT CT CT
11 22 11 2 2
И решение (6.22)имеет вид:
94
0
;
()T
τ
2
+λ=
0
;
(6.22)
(0) (0)
+
12
()
1
2
t
[, ]t t dt+
κ= κ
S
0
1 12
()
C TT
dt
2 12
()
C TT
dt
12
()
TT
12
CT CT
τ= τ=
() ()
TT
12
11 22
+
CC
12
(6.23)
Динамическое уравнение теплопередачи
Экспериментальный факт: количество переданного
тепла при теплообмене имеет вид:
где
T
T
и
— температуры, соответственно, более горя-
Q T T dtδ=κ −
чего иболее холодного тела вмомент времени
(6.24)
, Qδ—
количество теплоты, переданное впромежуток времени
. Величина κ называется коэффициентом тепло-
передачи. Она имеет вид
S
где
— площадь соприкосновения, апараметр
(6.25)
0
κ
, зависящий отсвойств тел, считается напрактике постоянной
величиной.
Используя (6.15), динамические уравнения (6.24)для
первого ивторого тела можно записать ввиде системы
линейных дифференциальных уравнений:
dT
1
= −κ −
dT
2
;
=κ−
(6.26)
Из (6.26)следует уравнение
которое сучетом начального условие дает
Используя (6.17)получаем решение динамического уравнения теплопередачи:
()
dT T
−
12
dt С С
TT T T e
−= −
12 1 2
= −κ + −
(0) (0)
( )
11
12
−κ +
11
СС
,
t
.
95
12
12
11
L
() ()SB SA=
AC→
CB→
AC→
= + ≤−+
CB→
QTδ
СС
11
СС
t
t
(6.27)
где
C
*
( ) (0) (0)
=+−
Tt T T T e
1 12
*
( ) (0) (0)
=−−
Tt T T T e
2 12
(0) (0)CT CT
*
T
=
+
11 22
CC
+
12
2
( )
+
CC
12
C
1
( )
+
CC
12
— температура равновесия
−κ +
−κ +
(6.23).
6.8. Термодинамические циклы. Тепловые машины
Определение 6.5.
Процесс
состояние совпадает сначальным:
В соответствии со вторым законом термодинамики
визолированной системе круговой процесс невозможен.
Пусть система неизолирована, ипроцесс можно разбить
на два подпроцесса:
обратим. Тогда
называется круговым, если его конечное
.
и
QQ Q
δδδ
∫∫ ∫
TT T
L AC C B
→→
() () () () 0.
SB SC SB SA
+− = − =
, причем процесс
() ( )
SC SA
Неравенство здесь обращается вравенство, если процесс
также обратим. Отсюда следует, что для про-
извольного кругового процесса справедливо соотношение
Неравенство (6.28)называется неравенством Клау-
зиса. Оно является строгим для неравновесных процессов
иобращается вравенство для равновесных.
96
≤
∫
L
0
(6.28)
Определение 6.6.
A
Q
ABC D A→→→→
AB→
()
BA
Термодинамическим циклическим процессом называется процесс, представляющий собой последовательность
круговых процессов.
Тепловая машина представляет собой устройство,
вкотором происходит термодинамический тепловой процесс, врезультате которого выполняется (полезная) механическая работа. Составная часть тепловой машины,
непосредственно выполняющая работу, называется рабо-
чим телом. Например, рабочим телом может быть газ,
выполняющий работу при тепловом расширении (см.
пример 6.1).
Коэффициент полезного действия по определению
равен
η=
(6.29)
Q
где
— потребляемое рабочим телом тепло, аA —
выполняемая работа. Очевидно, достаточно рассматривать эти величины для одного цикла.
Простой тепловой машиной (машиной Карно) называется система, состоящая изодного тела, подводящего
тепло (нагревателя), рабочего тела иодного тела, отводящего тепло (холодильника).
В теории рассматривается идеальная машина Карно,
вкоторой происходят равновесные циклы (всилу сказанного выше это модель, достижение которой вреальности
невозможно).
Простой цикл Карно представляется собой последовательность состояний
1
такте снагревателем (изотермический процесс). При этом
Q TS Sδ= −
11
Цикл Карно
:
— расширение при непосредственном кон-
.
97
2
BC→
δ=
СB
SS=
CD→
()
DС
Q TS Sδ= −
DA→
4
δ=
AD
SS
0dU =
()
BA
=δ =δ +δ +δ +δ = − +
()
BA
Q Q TS S=δ= −
12
1 (, )
— продолжение расширения после отсоеди-
нения рабочего тела отнагревателя (адиабатический процесс). При этом
3
— сжатие при непосредственном контакте
0Q
;
2
.
с холодильником (изотермический процесс). При этом
32
4
.
— продолжение сжатия после отсоединения
рабочего тела отхолодильника (адиабатический процесс).
При этом
0Q
=
;
.
Рабочее тело совершает работу на первом ивтором
процессах цикла, начетвертом процессе работа совершается над телом.
Так как процесс рассматривается как равновесный,
ивсоответствии с(6.3):
A Q Q Q Q Q TS S
При этом
1 2 3 41
( ) ( )( ).
+ −=− −
TS S T T S S
DС BA
2 12
11
фициент полезного действия (6.29) для идеальной
машины имеет вид:
η= −
Из (6.30)следует, что к.п.д. стремится кединице при
стремлении температуры холодильника кабсолютному
нулю.
В общем случае имеют место следующие два утверждения, применимые для всех машин Карно.
Первая теорема Карно. Коэффициент полезного действия идеальной машины зависит только оттемператур
нагревателя ихолодильника:
Вторая теорема Карно. Коэффициент полезного действия реальной тепловой машины неможет быть больше
такового идеальной машины.
98
, таким образом коэф-
T
2
1
(6.30)
T
1
TTη= −Φ
.
6.9. Простые термодинамические системы
V
T
S
TdS dU PdV= +
(,, ) 0f PTV =
U
S
Термодинамическая система называется простой,
если любое ее равновесное состояние описывается всего
двумя независимыми параметрами. Впростой термодинамической системе механическая работа выполняется
исключительно засчет расширения рабочего тела, то есть
справедливо соотношение (6.4).
Стандартный набор макропараметров содержит следующие величины:
Параметры состояния—
— температура.
Функции состояния—
няя энергия.
При описании состояний простых термодинамических систем иравновесных процессов вних два макропараметра выбираются занезависимые переменные (чаще
это параметры состояния), аостальные выражаются через
них при помощи трех уравнений.
При этом первое, основное уравнение, универсальное
для любой простой термодинамической системы, имеет
вид
— объем, P— давление,
— энтропия иU — внутрен-
. (6.31)
Оно представляет собой следствие изпервого и второго закона термодинамики (6.3), (6.6)ипредставления
работы вформе (6.9).
Второе уравнение имеет вид
. Оно называется уравнением состояния, позволяющим выразить
третий параметр состояния через остальные два, которые
принимаются занезависимые переменные. Оно является
специфичным для конкретной термодинамической
системы, устанавливается как экспериментальный факт
ипостулируется.
Для завершения описания необходимо задать вид
функции состояния внутренней энергии
или энтропии
отпараметров состояния.
99
Рассмотрим наиболее часто используемый выбор
V
(,)P PVT=
= += + +=
1SU
T TT
∂∂
∂∂
SU
∂∂
∂∂
1 11
11
U UP
=−= −
∂ ∂∂
−− + + + =
∂∂
∂∂
UP
VT
∂∂
∂∂
T
∂
∂
независимых переменных— объем
итемпературу T.
Пусть имеется уравнение состояния:
(6.32)
Используя (6.31), получим
11
dS dU PdV dT dV PdV
( )
T TT V
11
∂∂
UU
= ++
dT P dV
∂∂
TT T V
UU
∂∂
∂∂
,
(6.33)
откуда
=
;
1
= +
VTV
P
, (6.34)
и далее:
22 2
SS U
∂∂ ∂
0
∂∂ ∂∂ ∂∂
TV VT T VT
2
T
= +−
P
∂ ∂∂ ∂
V TTV TT
UP P
22
V TT
TT
1
2
.
(6.35)
Кроме того при постоянном объеме выполняется
(6.16). Таким образом, используя (6.16), (6.35), получаем
уравнения:
PT
=−+
U
=
;
C
(6.36)
V
Таким образом (6.32), (6.34), (6.36) представляют
собой уравнения, описывающие равновесные состояния
простых термодинамических систем.
10 0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]