Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
(0)L
и
()Lt
()St
() ( ) ()St St t St∆ = +∆ −
()
()
+∆
()
()
()
St
∆
2
dS d
dt dt
ϕ
()
dS t
L
(0) ( )L LT=
S
A
1
() ()
∆= = + ∆= ⋅ + ∆=
R
щадью.
Пусть
торами
. Функция
rt
и
rt t
называется секторальной пло-
, а∆ϕ— угол между век-
St∆
и
— площадь сектора радиуса
rt
сцентральным углом ∆ϕ. Тогда
lim 1
0
t
∆→
∆
()
St
=
, откуда
следует формула для секторальной площади:
1
2
r
=
(П2.23)
Величина (П2.23)называется секторальной скоростью:
Если кривая
Vtdt=
S
представляет собой замкнутый контур
. (П2.24)
()
без самопересечений, а начальная точка O
расположена внутри этого контура, то площадь контура
имеет вид:
T
S V t dt=
()
(П2.25)
S
∫
0
Отметим важный частный случай формулы (П2.23):
когда вточке
кривой радиус-вектор OA направлен
понормали (рис. П2.4).
Тогда
S S S o t OA AB o t
где
сектораOAC OAB
1
= ⋅ +∆ +∆
2
— длина вектора OA, итаким образом вточке A
A
∆
dl
R A ot ot
() () (),
A
dt
2
секторальная скорость имеет простой вид:
171
Рис. П2.4.
() ()
2
SA
()l rt=
( )
( ,) , ( )
xy z
L
F dl⋅
∫
S
V A RvA=
1
(П2.26)
П2.5. Действие ициркуляция векторного поля
Определение П2.3
Действием векторного поля
называется криволинейный интеграл второго рода
Если кривая представляет замкнутый контур, действие (П2.27)называется циркуляцией поля. Обозначение
Действие поля вдоль кривой обозначается также
A F l F dr F dx F dy F dz= = ++
∫∫
ll
( ,) ,
C F l F dl=
∫
l
Определение П2.4
Потоком векторного поля через двумерную ориентированную поверхность
называется поверхностный интеграл
, ограниченную контуром L,
[ ( )]Frt
вдоль кривой
(П2.27)
. (П2.28)
172
(,) ,
Φ
q
()rt
()
(,)
dq q
∂
S
F dS⋅
∫
q
() ( , , ,)q t dV x y z t dxdydz=σ=σ
(,,)xyzσ
(,,)
qt∂
∂
()
(, )mt S
S
()
( ,)
dm v
∂σ
F
q
Fj
()qt
dq
dt
() 0
q
t
∂
+=
∂
F S F n dSΦ=
∫∫
S
(П2.29)
Физический смысл величины
некоторая субстанция
переносится впространстве потраекториям
Ft
— векторное поле траекторий. Тогда
Поток поля через поверхность обозначается также
(реальная или виртуальная)
= +Φ
dt t
∂
следующий: пусть
FS
(П2.30)
. Пусть
Пример П2.4
Рассматривается движение несжимаемой жидкости
— масса). Перенос можно рассматривать как поток
(
частиц массой
плотность жидкости вточке
лагается несжимаемой, ее масса вфиксированном объ-
еме — величина постоянная, то есть
vr
— поле скоростей, а
текающей через площадку
= +Φσ
dt t
rxyz
— масса жидкости, про-
. Тогда
vS
∂
, где
. Жидкость предпо-
0
=
(П2.31)
—
. Пусть
Поле
ется током величины
=
Из (П2.30)следует, что если
величина, то есть
, удовлетворяющее условию (П2.30), называ-
. Стандартное обозначение тока
.
q
— сохраняющаяся
0
=
то имеет место равенство
div j
, (П2.32)
17 3
j
q
() 0
∇
() ()f grad f∇=
xyz
eee
xyz
∂∂∂
∂∂∂
() ()gr gre=
r
dg
dr
F
где
— ток величины q. Уравнение (П2.32)называется
уравнением непрерывности. Оно представляет собой
сильную (локальную) форму закона сохранения. Если
при этом величина
независит явно отвремени, то
div j =
. (П2.33)
(см. определение П2.7).
Равенство (П2.33) представляет собой статический
закон сохранения.
П2.6. Дифференциальные операторы навекторных полях
Определение П2.5
Оператором Гамильтона (оператор «набла») называется дифференциальный оператор
изпространства гладких функций впространство векторных полей:
В трехмерном пространстве в декартовых координатах оператор Гамильтона имеет вид:
∇= + +
Пример П2.5
Для сферически симметричной функции
er=
где
— единичный радиальный вектор,
, действующий
(П2.34)
(П2.35)
,
поле
174
[ ( )]
grad g r e
Определение П2.6
Ротором векторного поля
=
(П2.36)
называется векторное
∇
()
yy
z zx x
xyz
FF
F FF F
yz xz xy
∂∂
=−−−+−
z
()
( ( )) 0rot grad U =
() 0
L, F
( ,) (,)
Φ=
()rot F F=∇×
(П2.37)
где
тор
— оператор Гамильтона. Соответствующий опера-
F rot F→
называется оператором ротора.
В декартовых координатах
()
rot F e e e
∂ ∂∂ ∂
∂∂ ∂∂ ∂∂
Пример П2.6
0
Цилиндрическое поле:
ное поле
rot F
параллельно оси OZ.
F =
. Вэтом случае вектор-
Теорема П2.2
Для любой дифференцируемой функции выполняется
равенство
(П2.39)
В декартовых координатах соотношение (2.39)легко
проверить непосредственно.
Справедливо иобратное утверждение:
Теорема П2.3
Общее решение уравнения
F grad= ϕ
, где ϕ— произвольная функция.
rot F =
имеет вид:
(П2.38)
Теорема П2.4 (формула Кельвина-Стокса)
Пусть S— кусочно гладкая поверхность, ограниченная контуром
имеет место соотношение
— гладкое векторное поле. Тогда
rotF S C F L
(П2.40)
17 5
То есть
SL
⋅=⋅
∫∫
()
xR∈
()nx
()nx
x
{}
S
L
n
xS
()
() 0
n
n →∞
F
(, )
()
{}
0rotF =
UR⊂
F
U
F
L
rotF dS F dl
(П2.41)
Следствие (локальная форма теоремы П2.4).
Fx
Пусть рассматривается векторное поле
,
— выбранное направление в точке x, S— малая
площадка, для которой
является нормалью вточке
иL- контур, являющийся границей площадки S.
Пусть
ограниченных контурами
последовательность двумерных поверхностей,
n
иудовлетворяющих следую-
n
щим условиям:
∈
1.
2.
3. Площадь
для всех n.
nx
является нормалью квточке x.
sq S →
при
.
Утверждение П2.3
Если поле
гладкое, то предел
lim
n
→∞
CFL
sq S
n
n
суще-
ствует, независит от выбора последовательности
иравен
( ( ), )rotF x n
.
Заметим также, что из(П2.41)следует
3
,
S
n
Если
области
rotF grad= ϕ
Это следует изтого, что вобласти
полюбому замкнутому контуру равна нулю, то есть интеграл
F dl⋅
∫
L
иконечной точке пути
ное выражение есть полный дифференциал.
176
Утверждение П2.4
внекоторой области
, то есть поле
потенциально.
3
, то вэтой
циркуляция
зависит только от значений в начальной
, а, следовательно подинтеграль-
Определение П2.7
F
xz
F
FF
xyz
∂
∂∂
=++
∂∂∂
F gre
11
g gx
∂
() 2
dg r
dr r
VR⊂
S, F
VS
⋅=⋅
∫∫
()
xR∈
VR
{}
xV
Дивергенцией векторного поля
называется скаляр-
ное поле
,divF F= ∇
(П2.42)
В декартовых координатах
()
div F
y
. (П2.43)
Пример П2.7
Для сферически симметричного поля
F
∂
x
= ⋅ = ⋅⋅+ − ⋅⋅+
x x r dr r r r r
∂∂
x dg x x x
2
r
[ ()]
div g r e
= +
(П2.44)
Теорема П2.5 (формула Остроградского-Гаусса).
3
Пусть
кой поверхностью
— область, ограниченная кусочно глад-
— гладкое векторное поле. Тогда
()
=
, откуда
:
имеет место равенство
Следствие (локальная форма теоремы П2.4)
Пусть рассматривается векторное поле
{}
3
⊂
n
— последовательность областей, ограниченных
поверхностями
divF dV F dS
S
, причем
n
(П2.45)
Fx
,
∈
при всех n и
n
3
17 7
,
() 0
sq S
→
n →∞
(, )
()
V
()
( )0
0divB =
()
= +ϕ
A
()∆= ∇⋅∇
()div grad∆ϕ = ϕ
222
222
xyz
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
∂∂∂
FS
Φ
n
при
. Тогда предел
lim
n
→∞
sq S
n
n
суще-
ствует, не зависит от последовательности
divF x
.
и равен
n
Теорема П2.6
Для любого гладкого векторного поля справедливо
равенство:
div rotF =
(П2.46)
Это следует непосредственно из(П2.39), (П2.44).
Теорема П2.7
Общее решение уравнения
(П2.47)
имеет вид
где
B rot A grad
— произвольное гладкое векторное поле, аϕ —
(П2.48)
произвольная дифференцируемая функция.
Определение П2.8
Оператор
, действующий напространстве
гладких функций, называется оператором Лапласа:
В декартовых координатах оператор (П2.47) имеет
вид:
а всферических:
17 8
∆ϕ = + +
(П2.49)
(П2.50)
11
()rψ=ψ
22
1 1 ()
22
сt
∂ψ
∂
(,,) 0xyz∆ψ =
0ψ=
f∆ϕ =
gψ=
∂ ∂ψ ∂ ∂ψ
∆ψ θ ϕ = + ⋅ θ ⋅ +
( , , ) sin
rr
1
+⋅
22
sin
r
22
rr
2
∂ψ
θ ∂ϕ
2
∂ ∂ ∂θ ∂θ
rr
sin
θ
(П2.51)
В частности, если функция
— сферически
симметричная, то
d dr
∂ψ ψ
∆ψ = = ⋅
()
rr
r dr
2
dr r r
∂
2
(П2.52)
Этот же результат легко получить, используя (П2.36),
(П2.44).
Определение П2.9
Волновым оператором (оператором Даламбера)
называется оператор
2
ψ = ∆ψ −
1
(П2.53)
Уравнением Лапласа называется уравнение второго
порядка:
, (П2.54)
а волновым уравнением— уравнение
(П2.55)
Наряду соднородными уравнениями (П2.54)–(П2.55)
важную роль в приложениях играют также неоднородные:
(оно называется уравнением Пуассона) и
. Эти уравнения хорошо изучены, их решения
известны. Впрочем, для настоящего пособия достаточно
факта существования решений.
17 9
Следующие важные соотношения легко проверяются
() ( )
123
xyz
{:fΦ=
}RΩ→
:SRΦ→
Φ
|| || ,
12
(, )ttΩ=
Φ
12
(, )
Φ
:mLR R→
непосредственно:
( )( ,)div F F divFϕ⋅ = ∇ϕ +ϕ⋅
() ( )rot rotF grad divF F= −∆
rot F rotF∆=∆
(П2.56)
(П2.57)
(П2.58)
где вкоординатах
(,,) (,,) (, ,) (,,)
Fxyz F xyz e F xyz e F xyz e∆ =∆ ⋅ +∆ ⋅ +∆ ⋅
П2.7. Вариация функционала. Вариационная
производная
Пусть
ного типа и
ционалов). Предполагается, что на
произведение
— класс функций определен-
— множество отображений (функ-
задано скалярное
, определяющая норму
f ff=
, (П2.59)
Пример П2.8 (основной)
— промежуток (конечный или бесконеч-
t
, () ()
ный),
t
2
( ) ()
S f f t dt=
∫
t
1
— класс гладких функций,
.
f g f t g t dt=
∫
t
.
2
, и
1
ный),
180
Пример П2.9
ttΩ=
— промежуток (конечный или бесконеч-
— класс m-мерных гладких вектор-функций.
— гладкая числовая функция.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]