Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
t
( ) ()Sf f Sf+δ −
fδ
( ) , (|| ||)Sf Af f o f
δ δδ
= +
( ) ( ) , ()Sf Sf A o
η
εη η ε ε
+− = +
( ) (0) 0
d
Sf
d
εη
ε
+=
2
( ) [ ( ),.., ( )]
S f L f t f t dt=
1
∫
t
1
m
.
Вариацией функционала называется величина
где
— функция, норма которой представляет собой
(П2.60)
малую величину.
Определение П2.10
Вариационной производной функционала S вточке f
называется функция A, удовлетворяющая условию:
(П2.61)
Определение П2.11
Функция f называется стационарной точкой функционала S, если его вариационная производная в точке f равна
нулю.
Определение П2.12
Вариационной производной функционала S в точке f
η
по направлению η называется функция A
, удовлетворя-
ющая условию:
(П2.62)
Функция f называется слабо стационарной, если ее
вариационные производные по всем направлениям равны
нулю:
(П2.63)
181
П2.8. Элементы функционального анализа
}
Предгильбертово и гильбертово пространства
Пусть
динатами
{X q ( ,q .., nq )
q
,
C X( )
i
— пространство непрерывных комплек-
— линейное пространство c коор-
снозначных функций f(q) = u(q) + iv(q), удовлетворяющих
условию
2 2
|f ( x) | dx | u[()x
2
v x( ) ]dx
(П.2.64)
(тоесть интеграл (П2.64) сходящийся). В этом пространстве определяется скалярное произведение:
X
fgdq
(П2.65)
f( , g)
и норма
|| f || ( ,f f )
(П2.66)
,
ассоциированная с этим скалярным произведением.
Черта сверху обозначает комплексное сопряжение.
Функции, принадлежащие пространству C(X), удовлетворяющие (П2.64), называются основными, а само пространство основных функций — предгильбертовым пространством.
В пространстве функций определим сходимость следующим образом:
f x( ) f( )x || f x( ) f( )x ||
n
n
(П2.67)
0
Функция f(x) называется пределом последовательно-
(x). При этом она может не быть основной функцией
сти f
n
(предел последовательности непрерывных функций —
вообще говоря не является непрерывной функцией).
Пополнение предгильбертова пространства всеми предельными точками называется замыканием. В замкнутом
182
пространстве будем отождествлять вектора, отличающиеся
X
f( ) (h f, )h h(q) f (q)dq
.
( f
lim )
n
X
dq
,
| (q)2|
на функцию, норма которой равна нулю. Соответствующее
пространство называется гильбертовым.
Описанное выше гильбертово пространство обознача-
2
ется L
(q).
Обобщенные функции
Определение П2.13
Обобщенной функцией называется непрерывный
линейный функционал ϕ на пространстве основных функ-
2
ций ϕ: L
(q) → C.
Очевидно, любая основная функция h(x) является
также и обобщенной:
.
В пространстве функционалов определим сходимость:
→ ψ, если ψn(f) → ψ(f) для любой основной функции f
ψ
n
(П2.68)
Пусть {ψ
ций, причем
ций. Тогда
ленная условием (П2.68). При этом если
обобщенная функция ψ не является элементом гильбертова
пространства L
Символ Кронеккера и дельта- функция
Пусть I ⊆ Z — подмножество множества целых чисел.
Символом Кронеккера, называется функция на I × I
вида δ
= 1 при i = j и δij = 0 при i ≠ j.
ij
} — последовательность обобщенных функ-
n
— конечный для всех основных функ-
n
n
lim
— также обобщенная функция, опреде-
n
n
2
(q).
Определение П2.14
,
183
Очевидно, что для любого набора величин {cj}, j ∈ I
11
22
x
nn
− ≤≤
11
,
22
x
nn
∉−
lim () ()
n
n
gx x
δ
→∞
=
( )
1/ 2
1/ 2
(), () () () () ()
n
nn
n
g x f x g x f x dx nf x dx f
ξ
∞
−∞ −
= = =
∫∫
11
,
22nn
ξ
∈−
( )
lim (), () lim () () lim () (0)
nn
nn n
g x fx g xfxdx f f
ξ
∞
→∞ →∞ →∞
−∞
= = =
∫
() () (0)x f x dx f
δ
∞
−∞
=
∫
()( ) ()f x x a dx f a
δ
∞
−∞
−=
∫
имеет место равенство
Соотношение (П2.69) является характеристическим
свой ством символа Кронеккера.
Определим теперь непрерывный аналог символа Кронеккера.
Пусть сначала X = R. Рассмотрим последовательность функций {g
зом: {g
рывной функции f(x):
где
(x)} = n, если
n
Тогда по теореме о среднем значении для любой непре-
(x)}, определенную следующим обра-
n
. Обозначим
.Таким образом:
c c
j I
j ij i
,
(П2.69)
и {gn(x)} = 0, если
.
,
,
то есть
более общо:
184
для любой функции или
(П2.70)
Определение П2.15
( )( ) ( )x a x b dx a b
δδ δ
∞
−∞
− −=−
∫
2
[ ( )]x a dx
δ
∞
−∞
−
∫
()( ) ()
X
fq q adq fa
δ
−=
∫
1
( ) ( ) ... ( )
n
qq q
δδ δ
= ⋅⋅
( )
(), () () () ( )
X
fqfq fqfqdx ab
α β αβ
δ
= = −
∫
Дельта- функцией называется обобщенная функция,
удовлетворяющая равенству (П2.70) для любой функции
2
.
f ∈ L
Дельта- функция не является функцией в смысле классического определения. Она не имеет конечного значения
в нуле. Она не является также элементом L
тельно, по самому определению дельта- функции:
2
. Действи-
Таким образом конечного значения интеграла
не существует.
Многомерная дельта- функция определяется аналогично (П2.70):
Здесь q = (q
При этом если X = R
Использование дельта- функции позволяет ввести
непрерывный аналог ортонормированной системы {f
в случае, когда множество индексов {α} континуально
и непрерывно. При этом не предполагается, что функции
(q)}являются элементами L2, то есть удовлетворяют
{f
α
(П2.64).
,..., qn) — координаты X, a — точка X.
1
n
,
(П2.71)
(П2.72)
(П2.73)
(q)}
α
Определение П2.16
Система {fα(q)} называется нормированной на дельта-
функцию, если выполняется соотношение:
(П2.74)
185
Напомним, что дискретная система {ei} называется
(, )
i j ij
ee
δ
=
1
()
(2 )
ipq
n
X
q e dp
δ
π
=
∫
1
n
ii
i
pq p q
=
=
∑
/2
1
{ () }
(2 )
p
n
fq e
π
=
ортонормированной, если выполняется условие
Таким образом нормировка на дельта- функцию есть
аналог понятия ортонормированности для случая континуальной системы. Следует, однако, отметить важное существенное отличие между соотношениями (П2.74) и (П2.75).
Условие (П2.75) означает, что норма векторов e
единице, в то время как из (П2.74) следует, что конечная
норма элементов {f
Равенство (П2.74) может быть применено к обобщенным функциям. В частности, равенство (П2.71) означает,
что нормированной на дельта- функцию является система
самих дельта- функций.
Ключевую роль играет следующее интегральное пред-
ставление дельта- функции:
(q)} не существует.
α
(П2.75)
равна
i
Теорема П2.8
Для X = Rn имеет место равенство
где p, q ∈ R
n
и
(П2.76)
. (П2.77)
Из теоремы (П2.76) следует, что система функций
является нормированной на дельта- функцию. Функции
вида (П2.78) называются волнами.
186
(П2.78)
Преобразование Фурье
n
XR=
()fq
| ( )|
X
f q dq
∫
2
| ( )|
X
f q dq
∫
/2
1
ˆ
( ) ()
(2 )
ipq
n
X
f p e f q dq
π
−
=
∫
/2
1
ˆ
() ( )
(2 )
ipq
n
X
f q e f p dp
π
=
∫
/2
1
()
(2 )
n
fqπ=
/2
1
(2 )
ipq
n
e
π
(, ) ( , )xy yx=
Пусть
условию:
и
— функция, удовлетворяющая
— сходится (при этом
может расходиться).
Определение П2.17
Преобразованием Фурье называется интегральное преобразование F: f → f
∧
вида
1
(П2.79)
Функция f(p) называется Фурье-образом или спектром
функции f(q). Фурье-образ функции является, вообще
говоря, обобщенной функцией.
Обратное преобразование Фурье определяется формулой:
(П2.80)
Из формулы (П2.76) следует, что дельта- функция есть
Фурье-образ функции
дует, что функции δ(p – q) и
. Также из (П2.76) сле-
являются Фурье-
образами друг друга.
Эрмитовы пространства и эрмитовы операторы.
Скалярное произведение в комплекснозначном линейном пространстве X называется эрмитовым, если условие
выполняется ∀x, y ∈ X. Пространство X в этом случае
также называется эрмитовым.
Определение П2.18
(П2.81)
187
Очевидно определение (П2.65) удовлетворяет (П2.81).
ii
i
f cf=
∑
f c fd
λλ
λ
Λ
=
∫
Определение П2.19
Линейный оператор A : X → X в эрмитовом пространстве X называется эрмитовым, если ∀x, y ∈ X выполняется
условие
(x, Ay) = (Ax, y) (П2.82)
Приведем здесь основные свой ства эрмитовых операторов.
Теорема П2.9
Собственные значения эрмитова оператора вещественны.
Множество собственных значений оператора называется спектром.
Теорема П2.10
Система собственных функций эрмитова оператора
может быть выбрана ортонормированной в случае дискретного спектра и нормированной на дельта- функцию в случае
непрерывного спектра.
Теорема П2.11
Система собственных функций эрмитова оператора
2
обладает свой ством полноты, то есть любая функция f,
в L
удовлетворяющая (П2.64), может быть представлена в виде
в случае дискретного спектра или
в случае непрерывного спектра. Здесь f
и fλ — собствен-
i
ные функции в дискретном и непрерывном случае, соответственно.
При этом, вообще говоря, сами собственные функции
2
могут не принадлежать L
, а быть обобщенными функ-
циями.
188
Определение П2.20
2 22
( , ) || || || ||Ax Bx Ax Bx≤
2 22
1
( ,[ , ] ) || || || ||
4
x A B x Ax Bx≤
Оператор
[A,B] = AB – BA (П2.83)
называется коммутатором операторов A и B.
Легко проверить, что если операторы A и B эрмитовы,
то их коммутатор антиэрмитов. Отсюда (атакже из неравенства Коши- Буняковского
) следует
(П2.84)
Соотношение (П2.84) называется неравенством
Робертсона- Шредингера.
П2.9. Динамические системы
Следующие категории определяют объект динамическая система.
Динамический параметр t, который, как правило,
интерпретируется как время, и принимающий значение
в множестве T. Стандартными вариантами T являются
интервалы (конечные или бесконечные) в множестве действительных чисел, множество целых чисел или множество
неотрицательных целых чисел.
Динамическая переменная x = x(t), принимающая значения в пространстве P, которое стандартно является мно-
m
гообразием P ⊂ R
, хотя в некоторых случаях может быть
дискретным или даже конечным множеством (иногда —
часто для построения контрпримеров — используются
и более экзотические варианты). Множество P называется
пространством состояний или фазовым пространством,
а переменная x также называется фазовой переменной.
Часто используется термин: значение x(t) задает положение
точки в фазовом пространстве в момент времени t.
t
Семейство отображений ϕ
P → P, t ∈ T, которое
интерпретируется как сдвиг по времени. Если x ∈ P поло-
189
жение точки в момент времени t0, то ϕt(x0) ее положение
в момент t
+ t. Очевидно, что семейство ϕt обладает следу-
0
ющими свой ствами:
t1+t
(x) = ϕ
ϕ
2
t1+t
(x) = ϕ
ϕ
2
Совокупность значений ϕ
t
t
[ϕ
(x)] — транзитивность;
1
2
t2+t
(x) — коммутативность.
1
t
(x) называется (фазовой)
траекторией, а множество всех траекторий — фазовым
портретом.
t
Используется также термин: система с динамикой ϕ
t
Если отображение ϕ
обратимо, то для точек, имеющих
.
единственный прообраз, можно определить отображение
–1
(x) = (ϕt)–1(x). Этот случай соответствует тому, что мно-
ϕ
жество T значений динамического параметра симметрично
–t
относительно нуля, а отображения ϕ
интерпретируется
как движение в обратном направлении времени.
Пространство T × P называется расширенным про-
странством. Реальная динамика (движение точки) разви-
t
вается именно в расширенном пространстве. ϕ
t
является проекцией множества (t, ϕ
(x)) на P.
(x) при этом
Явное задание динамической системы
t
x(t) = ϕ
(x) (П2.85)
подразумевает глобальное задание траекторий как функций от t. Однако исходно при моделировании динами-
ческих процессов эти функции задаются лишь локально
уравнениями, задающими зависимость изменения фазовой переменной от времени:
x(t + h) – x(t) = g[x(t), t, h] (П2.86)
где g — вектор- функция, а шаг h либо конечное число,
либо бесконечно малая величина. В последнем случае
правая часть (П2.86) есть O(h).
Уравнения (П2.86) называются уравнениями дви-
жения.
Система (П2.86) называется автономной, если функции g, задающие уравнения движения, не зависят явно
от t, то есть g(t) = g[x(t)]. Любая неавтономная система
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]