Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
Обозначим
ap
mV r mV r=
22
rr
γγ
−=−
rr
rr
rr
s
S VT
,ab
max min
rr a+=
max min
rr b
S ab= π
γ=π
22
r
— минимальное (перигей) и
min
симальное (апогей) расстояния отпланеты дозвезды,
V
— скорости планеты в перигее иапогее, соответ-
и
a
r
max
— мак-
V
ственно (всистеме отсчета, вкоторой звезда неподвижна).
Иззакона сохранения момента импульса следует
p
max min
, (4.28)
а иззакона сохранения энергии:
2
mV
mM mM
a
max min
mV
2
p
. (4.29)
Решая систему (4.28), (4.29), получим
2
max min
+
min max
.
VM
= γ
p
/
В соответствии с (2.25) секторальная скорость
(2.23)вперигее
1
= = γ
V Vr M
sp
min
2 2( )
rr
min max
+
max min
. В силу
второго закона Кеплера секторальная скорость постоянна
во всех точках. Отсюда в силу (2.24)площадь эллипса
=
, где T— период обращения планеты.
Пусть
оси эллиптической орбиты. Тогда
=
— соответственно, большая ималые полу-
2
2
;
. Отсюда
T M ab
b
4
a
, то есть:
2
;
Равенство (4.30) представляет собой третий закон
Кеплера.
4T
π
=
3
a
(4.30)
M
γ
51
Квадраты периодов обращения планет вокруг
A
mM<<
R
v
AB
A
t
()Rt
()vt
2
R
−≥
звезды относятся как кубы больших полуосей планет.
4.3. Вторая космическая скорость
Рассмотрим изолированную систему, состоящую
изтела
Исходное расстояние между ними равно
рость
нию прямой
тела
Пусть вмомент времени
стоянии
. Всоответствии с(4.27)величина
является постоянной. С математической точки зрения
преодолеть действие тела означает удалиться от него
в бесконечность. На бесконечности от величины
(4.31)остается только первое неотрицательное слагаемое,
то есть условие ее достижения имеет вид
массы M итела B массы m, причем
. Найдем ско-
, которую требуется придать телу B понаправле-
, чтобы оно преодолело силу тяготения
.
тело B находится нарас-
оттела A иудаляется отнего соскоростью
2
()
mv t mM
E
= −
γ
2 ()
Rt
(4.31)
2
mv
γ
mM
0
.
0
.
Таким образом минимальная скорость для преодоления
силы тяготения имеет вид:
2 M
v
min
γ
=
. (4.32)
R
C определенными допущениями можно считать, что
формулу (4.49)можно использовать для нахождения скорости, которую требуется придать телу (космическому
кораблю) для преодоления силы тяжести Земли. Соответствующая скорость называется второй космической ско-
ростью. Всоответствии с(4.5)она имеет вид:
52
21
22
R
M
R
2 M
v
γ
vc=
M
2 M
c
γ
1
м
v gR v= =
(4.33)
(здесь
— радиус Земли). Ее приближенное значение
11,2км/c.
Также формулу (4.32)можно использовать как приближенное значение скорости, необходимое для выхода
тела запределы Солнечной системы. Вэтом случае
—
масса Солнца. Если такое тело запускается сЗемли, то
в качестве
принимается значение апогея орбиты
Земли. Соответствующая скорость называется третьей
космической. Ее приближенное значение— 16,65км/c.
Черная дыра
R
Перепишем формулу (4.32)ввиде
=
иподста-
2
вив максимально возможное значение скорости
получим значение радиуса шара, вкоторый нужно спрессовать массу
, чтобы никакой объект, находящийся
взоне ее тяготения, уже немог бы никак эту зону покинуть:
R
=
. (4.34)
2
Такая зона называется черной дырой, а ее радиус
(4.34)— радиусом Шварцшильда.
Из (4.34)иП1.3следует, что плотность черной дыры
имеет вид:
,
7.286659 10
χ= ⋅
где
ной дыры обратно пропорциональна квадрату массы. Так,
ρ=χ⋅
3
кг
79
. Таким образом плотность чер-
3
, (4.35)
2
M
53
сжатая в черную дыру Земля имела бы плотность
2.042002 10 /кг м⋅
1.842852 10 /кг м⋅
/кг м
10 /кг м
10 /кг м
10 /кг м
30 3
равна
Путь — порядка
ниям части Вселенной — порядка
,. Для Солнца плотность была бы
19 3
, для Галактики Млечный
510−
3
, для доступной наблюде-
27 3
−
, что
попорядку совпадает соценкой средней плотности Вселенной. Для сравнения: плотность атомного ядра —
порядка
17 3
достигнутый наЗемле, порядка
, наибольший искусственный вакуум,
19 3
−
.
5. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
E
B
E
B
()
v
5.1. Сила лоренца
В отличие отгравитационного поля, которое имеет
только одну радиальную компоненту, электромагнитное
поле имеет две составляющих –радиальную
женность электрического поля , ивихревую
называется магнитной индукцией. Соответственно, поля
и
называются электрическим имагнитным полем.
Ноиэлектрическое, имагнитное поля создаются электрическими зарядами— никаких специальных магнитных
зарядов несуществует.
Специфика магнитного поля втом, что оно действует
только надвижущиеся заряды.
Постулат 5.1. Закон Лоренца
Общая сила, действующая назаряд вэлектрическом
поле, имеет вид:
— напря-
, которая
где
ется силой Лоренца.
В силу принципа противодействия движущиеся заряды
сами создают магнитное поле. Атак как каких бы то ни
было магнитных зарядов несуществует, то именно движущиеся электрические заряды создают магнитное поле.
Движение электрических зарядов называется элек-
трическим током.
F qE v B= +×
— вектор скорости заряда. Величина (5.1)называ-
(5.1)
55
Физически электрический ток может представлять
()qt
PV∈
jv
v
v
c
H
BH
µ
µ
µ
µ >> µ
собой движение свободных электронов (вметаллах) или
движение заряженных ионов. Влюбом случае происходит
перенос заряда. Математически удобно рассматривать
линии тока как траектории
некоторой динамической
системы, параметром в которой является время. Тогда
вкаждой точке
перемещение зарядов, касательный вектор
области V, вкоторой происходит
= σ
, где
— вектор скорости элемента заряда вточке P, есть век-
тор плотности тока.
Следует, однако, различать механическую скорость
заряженных частиц
, которая варьируется и вовсе
не велика (миллиметры или даже доли миллиметров
всекунду) и скорость распространения электромагнитного поля
.
5.2. Электрическое имагнитное поля
Еще одним отличием электромагнитного взаимодействия отгравитационного состоит в том, что реальные
значения напряженности зависят нетолько отисточников, ноиотсреды. Всамом простом виде напряженность
магнитного поля
цию следующим образом:
выражается через магнитную индук-
= µ
Параметр
называется магнитной проницаемостью.
(5.2)
Он показывает, какую магнитную индукцию создаст
всреде наведенное извне магнитное поле.
Магнитная проницаемость вакуума обозначается
0
иявляется универсальной константой. Для большинства
сред отношение
близко кединице (для воздуха
µ
0
1µ=
µ
0
сочень хорошей точностью). Лишь ужелезосодержащих
сред
, так что даже несильное внешнее магнитное
0
поля создает очень большие лоренцевы силы.
56
По аналогии с (5.2) вводится также электрическая
DE= ε
ε
ε
µ
1
с
с
divD = σ
0divB =
индукция
Величина
также называется электрической прони-
цаемостью. Проницаемость вакуума обозначается
(5.3)
ε
0
итакже является универсальной постоянной. Вотличие
отмагнитной электрическая проницаемость варьируется
для различных сред вочень широких границах. Однако
для воздуха также сочень хорошей точностью справед-
1ε=
ливо равенство
Константы
где
— скорость распространения электромагнитного
.
ε
0
и
0
связаны соотношением:
0
εµ =
00
(5.4)
2
взаимодействия ввакууме (скорость света).
5.3. Уравнения максвелла
Базовые уравнения электромагнетизма представляют
собой единую систему навекторные поля. Они называются уравнениями Максвелла иимеют следующий вид:
;
(5.5)
B
= −
∂
∂
;
t
rotH j
= +
rotE
D
∂
(5.6)
t
∂
Уравнения (5.5)означают, что источниками электрической индукции являются заряды, амагнитных зарядов
несуществует. Уравнения (5.6)означают, что вихревое
электрическое поле создается изменением магнитной
индукции, авихревое магнитное— токами иизменением
электрической индукции.
57
Хотя уравнения (5.5) имеют ясный физический
E
B
t
∂
0divB =
22
jE
cc
()
= +ψ
tt
∂∂
A
(, )
ϕ
A
смысл, математически они перегружены. Изсоотношений (5.2), (5.3)следует, что вместо четырех векторных
полей достаточно оставить два. Естественно рассматри-
и
вать систему наполя
, которые входят вформулу
силы (5.1).
Также соотношение (5.4)позволяют оставить вуравнениях две константы — с и
ε
. Таким образом чаще
0
всего уравнения Максвелла записываются ввиде:
divEσ=
rotE
rotB
= +
(5.7)
ε
0
B
∂
= −
(5.8)
(5.9)
1
∂
(5.10)
t
ε
0
∂
5.4. Электромагнитный потенциал
Из теорем 2.3, 2.7следует, что общее решение (5.8),
(5.9)имеет вид:
A
где
B rot A grad
;
— любое векторное, аϕ, ψ— любые скалярные
поля.
Определение 5.1.
Четырехкомпонентный объект
изскалярного поля
ивекторного поля
напряженности электрического имагнитного полей представляются ввиде
∂ ∂ψ
=− − ϕ+
E grad
, (5.11)
AΦ= ϕ
, состоящий
, таких, что
58
()
t
=−− ϕ
∂
ϕ
A
ψ
→+ ψ
t
∂ψ
∂
∂σ
∂ε
jA
tt
∂∂
ε∂ ∂
∂ε
22
cc
0 00
(, )
B rot A=
A
∂
E grad
(5.12)
, (5.13)
называется электромагнитным потенциалом. При этом
называется потенциалом электрического поля, а
—
потенциалом магнитного поля.
Из (5.11)следует, что калибровочный элемент потен-
циала— произвольная (гладкая) функция
, калибро-
вочное преобразование имеет вид:
A A grad
ϕ→ϕ+
;
(5.14)
Тогда уравнение Максвелла (5.7)принимает вид:
− ϕ− =
div grad
A
t
, (5.15)
0
а уравнение (5.10):
2
c rot rotA grad
()
= + − ϕ−
(5.16)
0
Используя (П2.53), (П2.57), уравнения (5.15)–(5.16)
можно записать вэквивалентной форме:
1
Пусть
ϕ− + =
1 j
− +=−
A grad c divA
AΦ=ϕ
2
c divA
2
c
2
— произвольный представитель
электромагнитного потенциала, а
∂ϕ σ
t
∂ϕ
∂
ψ
(5.17)
0
t
— решение уравне-
0
(5.18)
ε
0
59
ния
t
c
∂ϕ
00
=+ψ
t
∂ψ
t
∂ϕ
+=
σ
E
B
tt
E
0rotE =
B
0divB =
σ
ψ=− −
divA
1
0
0
. Тогда калиброванный потен-
2
∂
циал
A A grad
шению
ϕ=ϕ +
;
2
0c divA
∂
, и уравнения (5.7), (5.9) оказы-
0
0
удовлетворяет соотно-
∂
ваются неоднородными волновыми уравнениями:
ϕ=
Ac= −
;
ε
0
j
(5.19)
2
ε
0
5.5. Электростатика имагнитостатика
Отдельно стоит рассмотреть случай когда электриче-
ское поле
мени, то есть
имагнитное поле
EB
∂∂
= =
∂∂
0
. Это так, если нет механического
перемещения источников полей, атоки постоянны (имеется ввиду постоянство повремени — в разных точках
пространства они могут различаться). Вэтом случае уравнения Максвелла разделяются насистему двух уравнений
:
на
divEσ=
ε
0
независят явно отвре-
;
(5.20)
идвух уравнений на
циал принимают вид:
60
:
rotBc=
;
j
(5.21)
2
ε
0
Тогда уравнения (5.19) на электромагнитный потен-
∆ϕ =
Ac∆=−
;
ε
0
j
(5.22)
2
ε
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]