Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
Рис. П2.1
0 r≤ ≤∞
0 ≤θ≤π
02≤ϕ≤ π
z
(, )ρϕ
XOY
=ρϕ
=ρϕ
При этом
,
,
.
Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты представляют собой
аппликату
точки наплоскость
иполярные координаты
.
проекции
Формулы перехода:
cos ,
x
sin ,
y
=
zz
(П2.2)
.
Как видно, вто время как вдекартовой системе все
три оси равноправны, всферической ицилиндрической
системах роль оси аппликат очевидно выделенная.
161
Рис. П2.2
12
(, )
1 1 11
{, ,}
{, ,}
( , )0
Z XY
П2.2. Скалярное ивекторное произведения
Важную роль играют две бинарные операции навек-
торах— скалярное ивекторное произведение.
Определение П2.1
X xyz=
ное произведению их длин накосинус угла между ними.
В декартовых координатах
Таким образом условие
перпендикулярности (ортогональности) векторов.
тор, удовлетворяющий следующим свойствам.
16 2
Скалярным произведением
X xyz=
и
2 2 22
(, )X X xx yy zz=++
XX =
12
Определение П2.2
Векторным произведением
XX
двух векторов
называется число, рав-
1 2 1 2 1 2 12
является критерием
= ×
называется век-
.
(, ) (, ) 0
Z X ZY= =
||
×=
(,,)
XY Y X× =−×
123
eee
11 2 2 33
11 2 2 33
=++
122
123
123
23 32 1 13 31 2 1 2 21 3
( )( )( )
×=−−−+−
()
()
( )
1.
2. Длина вектора
Z
равна площади параллело-
грамма, смежными сторонами которого являются вектора
X
Y
и
.
В частности,
3. Направление
Z
такое, что тройка
0XX
. (П2.5)
XY Z
имеет
положительную ориентацию.
В частности,
,,
Если
X xe xe xe=++
— базисные вектора, и
Y ye ye ye
и
XY x x x
×=
eee
det
. (П2.6)
, то
(П2.7)
yyy
Свойства (1), (2), (3)следуют изклассических результатов,
рассматриваемых вклассических курсах линейной алгебры.
Из (П2.7)следует, что вдекартовых координатах
X Y xy xy e xy xy e xy xy e
X
Пусть вектора
Yt
— гладкие векторнозначные функции t. Имеет
Y
и
изменяются во времени и
(П2.8)
Xt
место.
,
Утверждение П2.2
d
(), () (), () (), ()
Xt Yt Xt Yt Xt Yt
dt
= +
(П2.9а)
16 3
[ () ()] [ () ()] [ () ()]
d
MR→
MR
M
M
dr
t
dr
(,)
(,)
M
Xt Yt Xt Yt Xt Yt
dt
×=×+×
В декартовых координатах утверждение (П2.2)легко
проверяется непосредственно.
П2.3. Скалярные ивекторные поля. Локальные
иинтегральные характеристики
(П2.9б)
В самом общем виде скалярное поле представляет
n
собой отображение
, авекторное
→
, где M
некоторое множество вэвклидовом пространстве,(вфизике
трехмерном).
Мы будем рассматривать следующие случаи.
— область в трехмерном пространстве. Тогда
1.
векторное поле может рассматриваться как множество
векторов сзаданными точками приложения втом же пространстве.
2.
ность
— кривая
(,) {(,),(,),(,)}ruv xuv yuv zuv=
() { (), (), ()}rt xt yt zt=
или поверх-
. Касательные векторные поля — это поля векторов в касательных пространствах. Касательное пространство к кривой
одномерно— врегулярных точках вектор
является
dt
внем базисным.
Если параметр
является временем, производная
понему стандартно обозначается точкой:
{ ( ), ( ), ( )}
xt yt zt
=
dt
.
Касательное пространство к поверхности двумерно.
Базисными внем являются вектора
3.
ность
— кривая
(,) {(,),(,),(,)}ruv xuv yuv zuv=
() { (), (), ()}rt xt yt zt=
/
r uv
u
. Подпространство,
/
r uv
и
v
.
или поверх-
состоящее извекторов, ортогональных касательному под-
16 4
пространству, называется нормальным. Соответственно,
n
(,, )
(,, )
r const=
//
(, ) (, ) 0
θϕ
1 1 11
{, ,}
{, ,}
12
(, )
12
XX
(,,)xyzσ
σ
dV
dV dxdydz=
(,, )x xuvw=, (,, )y yuvw=, (,, )z yuvw=
нормальное пространство ккривой двумерно, акповерхности одномерно. Стандартно единичный вектор нормали
обозначается
.
Упражнение П2.1
В сферических координатах (П2.1) проверить, что
/
вектора
rrθθϕ
к сфере, задаваемой уравнением
rr rr
= =
)
Если имеются два векторных поля
X xyz=
2 2 22
XX
ивекторное поле
, то они порождают скалярное поле
Пусть имеется скалярное поле
и
/
rrϕθϕ
являются касательными
(то есть
X xyz=
×
.
наобласти M
и
трехмерного (или вчастных случаях одномерного идвумерного) пространства. Величина
называется локаль-
ной характеристикой, аинтеграл
(,,)
x y z dVσ
∫
M
(П2.10)
глобальной или интегральной характеристикой.
Здесь
— бесконечно малый элемент объема.
Вдекартовых координатах
(П2.11)
Одна изфундаментальных теорем анализа— формула
замены переменных вопределенном интеграле (П2.10).
Пусть
замена переменных, причем соответствующие функции
гладкие. Тогда
Теорема П2.1
—
16 5
(,,) (, ,)
((,, ),(,, ),(,, )) (,, )
σ=
∫
(,, )| | (,, )
xxx
uvw
yyy
uvw
zzz
uvw
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
= = θϕ θϕ= θ θϕ
:V
() ()fr fr=
arb≤≤
xyzdVxyz
= σ
∫
M
M
xuvw yuvw zuvw dV uvw
(П2.12)
Здесь
dV u v w J dV u v w=
, где J— якобиан, то
есть определитель матрицы
(П2.13)
Пример П2.1
Рассмотрим сферические координаты (П2.1).
Якобиан имеет вид:
Отсюда, элемент объема:
( , , ) sindV dxdydz J r drd d r drd d
Из (П2.14)следует, что интеграл сферически симметричной функции
16 6
равен
2
(П2.14)
по шаровому слою
2
22
bb
V aa
aR>
(,)
(,)PQρ
(,,)Qxyz∈Ω
P
(0,0, )a
ρ= + − θ
r
θ
θ
[0, ]π
[,]a ra r−+
sind ar
ρθ
θρ
1
rd d
a
22
24
Ω−
= = = ϕ ρ=
ππ
() sin () 4 ()
f r dV d d f r r dr f r r dr
∫ ∫∫ ∫ ∫
ππ
= ϕ ϕϕ =π
00
(П2.15)
Пример П2.2
Рассмотрим шар Ω радиуса R иточку P, удаленную
нарасстояние
нашаре функции
отцентра шара. Найдем интеграл
fQ
()
1
=
ρ
PQ
, где
— расстояние
отточки
доточки P.
Выберем систему координат сначалом вцентре шара
так, чтобы точка
имела декартовы координаты
Далее перейдем ксферическим координатам (П2.1). Тогда
потеореме косинусов
22
При фиксированных значениях
является обратимой функцией
впромежутке
межутке
Таким образом
I f Q dV d r d dr
()
P
∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
= ⋅ +−− = =
∫
α
соответствует изменение ρ впро-
. Из (П2.16) следует
sin
θ θ= ρ ρ
R R ar
ππ π +
2
sin 1
r drd d
00 0 0 0
R
[( ) ( )] .
ra r a rdr
0
2 cosa r ar
. (П2.16)
иϕ величина ρ
. При этом изменениям
, откуда всилу (П2.14)
θ θϕ
ρ
a
3
RV
3
aa
=
d
ar
.
Пример П2.3
.
Рассмотрим теперь цилиндрические координаты
П2.2. Якобиан имеет вид
167
cos sin 0
0 01
Jr
= ϕϕ
dV rdrd dz= ϕ
: () {(), (), ()}
()
()Pt
() ()
()
()
()Pt
t∆
( )
0t∆→
()lt
t
()
dr
dl
()
()
() ()
()()
dr t dr t dl
r
ϕ− ϕ
det sin cos 0
, аэлемент объема
(П2.17)
П2.4. Элементы геометрии кривой впространстве
Рассматривается кривая
L r t xt yt zt=
Для каждой точки
скость
rt Pt∈
rt t+∆
в трехмерном пространстве такая, что
ипри этом расстояние отблизких к
до плоскости
второго порядка отприращения
при
(это условие называется касанием второго
порядка). Соответствующая плоскость называется сопри-
касающейся. Посути кривая впространстве называется
плоской, если соприкасающаяся плоскость для всех ее
точек одна ита же.
Длина кривой
функцией параметра
жить параметром кривой
называется естественной.
Для естественной параметризации касательный век-
тор
имеет единичную длину. Обозначим
соответственно, единичные касательный и лежащий
в соприкасающейся плоскости нормальный вектор
ккривой.
Тогда
втрехмерном пространстве.
rt
существует единственная пло-
rt
точек
является бесконечно малой
( ), ( ) ( )rt t Pt O tρ +∆ = ∆
:
является взаимно-однозначной
итаким образом сама может слу-
r rl=
. Такая параметризация
et
и
nt
2
,
16 8
= =
dt dl dt
vtet
(П2.18)
где
()
dl
dt
L
L
O
ϕ
()
t
lR∆ = ∆ϕ
de t de t dl v de
de
( ) ()
2
∆ϕ
∆
e∆
n
2
∆ϕ
22
R
dt
dt
dt
: () {(), (), ()}
=
()
vt
=
может рассматриваться как «скорость» дви-
жения точки покривой
.
Рассмотрим частный случай движения поокружности. Пусть
— окружность радиуса R c центром O,
ивыберем систему координат сначалом вточке
поворота
параметра
радиус-вектора
, при этом
() ()
dt dl dt R d
rt
является также функцией
. Имеем:
= =
(П2.19)
ϕ
Легко увидеть, что имеет место равенство
nd=
(П2.20)
ϕ
Действительно, изрис. П2.3 видно, что длина вектора
e et t et∆ = +∆ −
равна
чательному пределу
ром
ивектором
2sin
||
lim 1 | |en
0
∆ϕ→
∆ϕ
равен
, откуда попервому заме-
= =
и,следовательно, стре-
, аугол между векто-
мится кнулю, что идоказывает равенство (П2.20).
Таким образом из(П2.18)–(П2.20)следует:
. Угол
где обозначено
Для произвольной кривой
всоприкасающейся плоскости вкаждой точке
= =
a
dr v
= +
2
dv d l
2
2
ae n
.
(П2.21)
L r t xt yt zt
rt
опре-
16 9
деляется единственным образом соприкасающаяся
()Сt
()Ot
L
t∆
0t∆→
L
()R Rt=
1
L
O
() { (), (), ()}
=
[0, ]tT∈
()St
()
окружность
отэтой окружности докривой
второго порядка относительно
сцентром
такая, что расстояние
есть бесконечно малая
при
. Тогда все
равенства, содержащие производные первого порядка,
справедливые для соприкасающейся окружности, оказываются справедливыми и для кривой
, в том числе
иравенства (П2.19), (П2.20).
Рис.П2.3.
Важно при этом отметить, что для произвольной кривой параметры соприкасающейся окружности являются
переменными величинами, так в равенстве (П2.19)
. Радиус соприкасающейся окружности называ-
ется радиусом кривизны кривой, аобратная величина
называется кривизной кривой вточке.
Рассмотрим теперь кривую
координат сначальной точкой
радиус-вектор ,
ная векторами
17 0
κ=
(П2.22)
R
впроизвольной системе
rt xt yt zt
;
, а
(0)r
rt
,
идугой кривой между точками
— площадь, ограничен-
—
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]