Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
И в силу (П2.58) напряженности электрического
Q
S
E
ФES r E
Q
πε
1
r
EQ
имагнитного полей являются решениями уравнений:
E grad
∆=
∆=−
B rot
σ
(5.23)
ε
0
j
(5.24)
2
ε
c
0
Закон Гаусса изакон Кулона
В силу теоремы П2.5 уравнение (5.7) означает, что
имеет место равенство
(,) (,)
Ф E S E n dS= =
∫
S
Q
(5.25)
ε
0
Равенство (5.25)носит название закона Гаусса.
Пусть имеется изолированный точечный источник
заряда
ника. Пусть
. Рассмотрим точку P нарасстоянии r отисточ-
— сфера радиуса r с центром в точке,
вкоторой находится источник. Всилу радиальной симметрии
(,) 4
направлено по нормали, и из (5.25) следует
2
= π
, откуда
Er=
. Отсюда следует, что
2
4
0
электрическое поле точечного источника имеет вид:
Равенство (5.26)называется законом Кулона.
Формула (5.26)аналогична формуле (4.1) для гравитационного взаимодействия. Вотличие от(4.1) в равенстве (5.26)знак минус отсутствует, так как заряды одного
знака отталкиваются.
= ⋅⋅
πε
4
r
0
(5.26)
3
61
Закон Ампера
1
LS S
∫∫ ∫
S
I jS
B
dVρ
( )
F IB
P
r
() ( )
ii
q
Вследствие теоремы П2.4 изуравнения (5.21)следует
B dl rotB dS j dS
⋅= ⋅ = ⋅
2
c
ε
0
. (5.27)
Равенство (5.27)называется законом Ампера.
Важный и наиболее часто встречающийся случай
представляет собой постоянный ток пооднородному проводнику соднородным сечением площади
= ⋅
тока:
.
. Тогда сила
Если проводник находится вмагнитном поле напряженности
dF dV v B v S B dl I B dl=ρ ⋅× =ρ⋅ × ⋅ = × ⋅
m
, на элемент заряда
действует сила
. Таким образом
есть сила, действующая наединицу длины проводника,
находящегося воднородном магнитном поле. Равенство
(5.28)также называется законом Ампера.
Потенциал инапряженность электрического поля
Решение уравнений (5.22), (5.23), (5.24)могут быть
получены изобщей формулы для уравнения Пуассона.
Однако, проще и полезнее в данном случае получить
решения непосредственно
Пусть рассматривается система зарядов
радиус-векторы внекоторой декартовой системе координат. Всилу (5.26)ипринципа суперпозиции , поле вточке
, радиус вектор которой есть
EP E r r
= = −
∑∑
ii
62
4
m
1
πε
= ×
n
||
1
=
0
(5.28)
q
r
,
— их
i
i
, имеет вид:
i
rr
−
i
3
.
В общем случае распределения заряда сплотностью
()
1( )
xr
−
x
()
11
||
||
k ii
jy x y
() ( )
||
r
23
=−×
xσ
вV:
() ()
E r x dV
= σ
4
∫
πε
||
0
V
xr
−
3
, (5.29)
Здесь идалее
— текущая точка V;
dV dV x=
—
элемент объема. Тогда общее выражение потенциала электрического поля имеет вид:
() ()
r x dV
ϕ= σ
4||
∫
xr
πε −
0
V
(5.30)
Потенциал инапряженность магнитного поля
Аналогично (5.30), потенциал магнитного поля:
()
A r dV
1 ()
= ⋅
4
c
πε
jx
2
∫
xr
−
0
V
(5.31)
анапряженность:
()
B r rot dV
Из очевидного равенства
1 ()
= ⋅
2
πε
4
c
0
jx
∫
−
||
xr
V
∂
∂−
()
x yx
||
i
(5.32)
jy
()
= −
k
yx
−
−
3
следует
jx x r
rot j x
||
xr
−
()
=−×
xr
−
(5.33)
3
−
Здесь оператор ротора содержит производные покоор-
динатам точки
. Тогда (5.32)принимает вид
() ()
B r j x dV
1 ()
πε −
4 ||
c xr
xr
−
∫
0
V
(5.34)
63
Равенство (5.34)называется законом Био-Савара.
S
dV Sdl=
23
=−⋅
R
r
rR>
rR<
P
()SP
r
E
()
Qr
()Qr
∫∫
Если ток течет попроводнику спостоянным сечением
площади
, то
()
B x dl
и
1 () ( )
Ix x r
×−
∫
πε −
4 ||
c xr
0
L
(5.35)
где
I jS=
— сила тока, аинтеграл берется полинии про-
водника.
5.6. Статические поля, создаваемые источниками
с высокой степенью симметрии
Пример 5.2. Электрическое поле послойно однородно
заряженного шара.
Рассматривается послойно однородно заряженный
шар радиуса
нарасстояние
Случай
рассмотрен. Электрическое поле шара эквивалентно электрическому точечному заряду. Пусть теперь
есть точка
cфера радиуса
ний симметрии поле
чине ивкаждой точке сферы направлено понормали (то
есть порадиусу). Поток через эту сферу
таким образом напряженность поля по величине
Er=
2
4
πε
0
сферы радиуса r. Из(2.15)следует
и точка P, удаленная от центра шара
.
(точка Pнаходится вне шара) был уже
находится внутри шара. Пусть
сцентром вцентре шара. Изсоображе-
наэтой сфере постоянно повели-
, где
— заряд, сосредоточенный внутри
, то
( )4EP rΦ= ⋅ π
—
2
,
r
() () 4 ()
Q r s dV s s ds= σ = πσ
Vr
() 0
1
E s s ds
64
= σ
2
r
ε
2
, таким образом:
r
2
()
∫
0
0
(5.36)
Здесь
()sσ
rEσ
rsR<≤
() 0sσ=
sr≤
С
R
()sσ
s
r
lr
С
l
С
lr
С
2E rlΦ= ⋅ π
lr
∫∫
rR<
— плотность заряда на расстоянии s
отцентра шара.
В случае однородно заряженного шара формула
(5.36)принимает вид:
=
(5.37)
3
ε
0
Другой важный частный случай— заряд сосредоточен нашаровом слое
, то есть
при
.
Тогда из(5.36)следует, что напряженность внутри такого
шарового слоя равна нулю. В частности, равна нулю
напряженность электрического поля внутри полой однородно заряженной сферы.
Пример 5.3. Электрическое поле послойно однородно
заряженного кругового цилиндра бесконечной длины.
Имеется цилиндр
радиуса
нии
. Пусть
отоси цилиндра. Рассматривается точка P, уда-
ленная отоси нарасстояние
Рассмотрим цилиндр
иосью длины
, совпадающей сосью исходного цилиндра
скруглым поперечным сечением
— плотность заряда нарасстоя-
.
с радиусом основания r
,
. Изсоображений симметрии векторы напряженности
перпендикулярны боковой поверхности цилиндра
Поток через его боковую поверхность равен
.
,
,
наоснованиях же поток равен нулю.
Из (2.17) следует, что заряд внутри цилиндра
С
,
равен
() 2 ()
Q r dV l s sds= σ =πσ
С
,
lr
если
(точка P— внутри цилиндра) и
r
, таким образом:
0
r
1
E s sds
= σ
()
∫
r
ε
0
0
(5.38)
65
R
∫∫
rR>
constσ=
l основания
SRσ=σ =π σ
l основания
llσ =σ = πσ
σ
P
l
V
l
2ESΦ= ⋅
QS= σ
σ
() 2 ()
Q r dV l s sds= σ =πσ
С
,
lr
1
E s sds
= σ
r
ε
0
R
()
∫
0
0
, а
(5.39)
если
Если цилиндр заряжен однородно, т.е.
(точка P— вне цилиндра).
, фор-
мула (5.39)принимает вид
σ
где
E
2
— линейная плотность заряда.
l
=
(5.40)
2
r
πε
0
Формула (5.40)сохраняет свой вид ивслучае одно-
родно заряженного по поверхности полого цилиндра;
вэтом случае
2
. Здесь— поверхностная
плотность заряда.
Из (5.39) в свою очередь следует, что внутри однородно заряженного по поверхности полого цилиндра
напряженность поля равна нулю.
Пример 5.4. Электрическое поле равномерно заряженной плоскости.
Пусть
скости иточка
— поверхностная плотность заряда напло-
находится нарасстоянии l отплоскости. Всилу симметрии напряженность поля направлена
перпендикулярно плоскости, и ее величина зависит
только отрасстояния
Пусть
— прямоугольный параллелепипед сосно-
.
ваниями, параллельными плоскости и находящимися
нарасстоянии
поразные стороны отплоскости. Тогда
поток поля через поверхность параллелепипеда равен
, азаряд внутри него —
(S– площадь
основания параллелепипеда) ивсилу закона Гаусса
66
E
=
(5.41)
2
ε
0
Пример 5.4. Магнитное поле постоянного тока
L
S
P
OX
P
rh
( ,0,0)a
( ,0,0)b
x
( ,0,0)x
xy
00
za
= = ⋅⋅ =
++
xh
ba
bh ah
−→
++
b →∞
a → −∞
I
ch
OZ
OXY
OX
попрямому проводу соднородным сечением.
Рассмотрим линейный проводник длины
родным сечением площади
точка
триваемая точка
находится нарасстоянии h отпроводника.
Направим ось
попроводнику так, чтобы рассма-
имела координаты
проводника имеют координаты
ственно. Текущая точка
, то есть
(0,0, )I r Ih×=
B dx
1 11
πε πε
44
c ch
. Таким образом
b
Ih Ihx
2 22
∫
22 22
xh xh
a
Ib a
= −
2
πε
4
ch
0
( , ,0)r xh= −
22 22
++
bh ah
. Пусть рассматриваемая
(0, ,0)
=
и
. Концы
, соответ-
проводника имеет координаты
. При этом
BB= =
0
ипо(5.35)
.
( ,0,0)II=
b
|
(5.42)
Важный частный случай представляет собой беско-
нечно длинный проводник. Изтого, что
2
следует что
22 22
при
lim 1
x
→∞
x
22
+
,
содно-
и
=
и
,
B
=
z
2
πε
(5.43)
2
0
Силовые линии магнитной индукции представляют
собой концентрические окружности вплоскостях, перпендикулярных линии проводника.
Пример 5.5. Магнитное поле постоянного тока покруговому кольцу соднородным сечением сплощадью S.
Выберем систему координат, вкоторой ось
про-
ходит через центр кольца перпендикулярно плоскости
, аточка P проецируется наось
. Тогда вцилин-
67
дрических координатах точка P:
r rh=
= ϕϕ
=−ϕ ϕ
| || |q rqr
23
() ( )
Bd
0
qr
0r =
xy
= =
2( )
( 0)h =
I
cR
точка накольце:
( cos , sin ,0)qR R
ϕ
Ток втекущей точке кольца:
Тогда
( ) ( cos , sin , cos )I q r Ih Ih IR Ir
× − = − ϕ− ϕ− + ϕ
ϕϕ
Имеем также:
( ) ( cos , sin , cos )I q r Ih Ih IR Ir
× − = − ϕ ϕ− + ϕ
−ϕ −ϕ
( ,0, )
(см. рис. 5.1).
( sin , cos , 0)II I
ϕ
, атекущая
.
. (5.44)
.
Из равенства
−= −
−ϕ ϕ
следует, что равенство
(5.35)можно записать ввиде:
= ϕ
4 ||
откуда следует, что
π
× −+ × −
I qrI q r
1
c qr
πε −
ϕ ϕ −ϕ −ϕ
∫
0
0
B =
y
ϕ
0
, то есть вектор магнитной
, (5.45)
индукции расположен вплоскости, проходящей через ось
кольца. Отсюда следует также, что вектор индукции пер-
пендикулярен
−
. Таким образом силовые линии магнитной индукции кольцевого проводника стоком лежат
вплоскости, содержащей ось кольца.
Для точки наоси кольца
BB
0
;
В частности, вцентре кольца
B
B
z
=
z
2
из(5.44)–(5.45)следует
2
=
IR
2 2 2 3/2
c Rh
ε+
0
. (5.47)
2
ε
0
(5.46)
68
Рис. 5.1.
R
n
B
()
r
OZ
r
( ,0,0)r
sinR ϕ
qr
( cos ,Rrϕ−
sinR ϕ
z
=−ϕ
cosjR ϕ
×−=− ϕ
sin ,jRz−ϕ
−ϕ
Пример 5.6. Магнитное поле бесконечного соленоида.
Рассматривается бесконечно длинный соленоид радиуса
равно
, cила тока попроводу равна I, аколичество витков
.
В силу цилиндрической симметрии магнитная индукция
Pr
соленоида.
Введем цилиндрическую систему координат, вкоторой ось соленоида совпадает сосью
координаты
( cos ,qR= ϕ
( ) ( sin ,j q jR
),
B dz d
= ϕ
x
4
=
2
2
π∞
1 cos
∫∫
πε
0
0
. Текущая точка на соленоиде
, z). Тогда
cosjR jRr
). Тогда по(5.34)
2 22
−∞
− ϕ+ +
R Rr r z
(
−
, 0) и
jRz
−ϕ
2 cos
, аточка P имеет
=
( ) ( ) ( cos ,j q q r jRz
3
)
,
(5.48)
69
Внутренний интеграл (5.48)равен нулю как интеграл
x
( )
:L ABCD
AB
1
2
L
= +++=
∫∫∫∫∫
L
12
() ()
=
AB
1
nI
нечетной функции повсей числовой прямой. Таким обра-
0
B =
зом
ианалогично
индукции параллельны оси соленоида:
Рассмотрим прямоугольный контур
вкотором стороны
иCD параллельны оси соленоида
иудалены отоси соленоида нарасстояния
B =
y
0
. Таким образом векторы
( ) 0,0, ( )Br Br=
r
r
и
, соот-
.
,
ветственно. Тогда циркуляция магнитной индукции
поконтуру
(, ) (, ) (, ) (, ) (, )
B dl B dl B dl B dl B dl
L AB BC CD DA
равна
( ) ( ).
Br l Br l
= −
12
(5.49)
Из (5.27)следует, что если контур
дится внутри или снаружи соленоида, циркуляция индук-
ции понему равна нулю, то есть
r
r
и
ния
1
оба больше R или оба меньше R. Таким
2
Br Br
образом внутри и вне соленоида магнитные поля однородны, нотак как набесконечности поле равно нулю, то
поле вне соленоида отсутствует.
Если сторона
вне соленоида, то по(5.27):
расположена внутри, асторона CD—
()B r l jl
1
магнитной индукции внутри соленоида однородно, параллельно оси иповеличине равно
Bс=
(5.50)
2
ε
0
5.7. Энергия электромагнитного поля
Энергия электрического поля
q
Пусть два заряда
друг отдруга. Работа посближению этих зарядов имеет вид
70
q
,
находятся нарасстоянии
1
2
целиком нахо-
, если значе-
, то есть поле
2
с=ε
0
r
12
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]