Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Физика и естествознание. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

гравитационный потенциал содержит произвольную константу, аэлектромагнитный— произвольную функцию.

Такой объект, допускающий произвольный выбор, называется калибровочным. Выбор конкретного значения называется калибровкой, апереход отодного представителя потенциала кдругому— калибровочным преобразо- ванием. Калибровка преследует целью сделать уравнения для потенциала наиболее простыми; соответствующий конкретный потенциал называется калиброванным.

3. МЕХАНИКА

(, )



(,,)



Механика — это раздел физики, рассматривающий движение тел как изменение положений в пространстве. В механических задачах природа сил, вообще говоря, неважна; влияние нарезультат оказывает лишь значение вектора результирующей силы. Согласно 1.1 это означает, что тело рассматривается как материальная точка, амеханическая система— как совокупность материальных точек.

Категории механики присущи всем разделам физики, изаконы механики также применимы ко всем разделам.

3.1. Инерциальные системы отсчета

Для математического описания движения в механике вкаждой конкретной ситуации необходимо вводить систему отсчета.

Механические явления рассматриваются во времени и пространстве. Под точечным событием понимается пара— момент времени иточка пространства. Для численного выражения требуется ввести шкалу времени и систему координат. Такой выбор называется выбор

системы отсчета. Всистеме отсчета матической точки зрения представляет собой набор коор-

динат

существование системы отсчета, обладающих важным свойством.

рое недействуют силы— или, точнее, сумма действую-

Исходное базовое положение механики постулирует

Определение 3.1.

Система, вкоторой любое выбранное тело, на кото-

, где

r xyz=

событие смате-

щих сил накоторое равна нулю— движется равномерно

(, )



(, )



(,,)



(,,)

 



////

(,,)



////

(,,)



() ( )fv f v



() ( )





tt=

r r vt= −

 

ипрямолинейно, называется инерциальной.

Тело, накоторое недействуют силы (или равна нулю их векторная сумма— так называемая, равнодействующая) называется свободным.

Первый закон Ньютона представляет собой базовое утверждение, постулирующее существование инерциальных система отсчета. Посути первый закон Ньютона является краеугольным камнем классической механики.

Из самого определения инерциальной системы следует, что если система

— инерциальная, асистема

движется относительно нее равномерно ипрямолинейно,

то исистема

Пусть

— координаты этого же события всистеме отсчета

, то функции

где

— постоянная скорость движения системы сительно системы отсистемы

также является инерциальной.

— координаты события всистеме O. Если

t f trv=

, называются функциями перехода

ксистеме

r gtrv=

, (3.1)

отно-

Пусть теперь

функции перехода от отсчета означает равенство

разования

называются преобразованиями Галилея. Очевидно, что для преобразований (3.4)выполняются условия (3.3).

t ftrv=

= −

Пример 3.1. Пусть

x gtrv=

ксистеме O. Равноправие систем

gv g v= −

;

(3.2)

(3.3)

— постоянный вектор. Преоб-

;

(3.4)

В классической, ньютоновской механике именно



vv+



()



()



соотношения (3.4) принимаются за правило перехода к одной инерциальной системы отсчета к другой. Из (3.4) следует простое правило сложения скоростей: если тело

— соскоростью

а движется относительно

движется относительно M соскоростью

относительно

соскоростью

, то тело

. Вчастно-

сти, это означает, что скорость может быть сколь угодно большой.

Здесь мы должны сразу же отметить, что всовременной физике приняты другие формулы перехода (3.1). Они учитывают концепцию, что скорость любого тела влюбой системе отсчета неможет превзойти определенное значение. Такая скорость обозначается

иявляется фундаментальной постоянной физики. Явления, возникающие при скоростях, близких к

, называют релятивистскими. Основой для изучения релятивистских эффектов является специальная теория относительности. Мы рассмотрим ее основы вразделе 7; вэтом же разделе примем положения классической, ньютоновской механики.

При построении классической механики Ньютон исходил изтого, что все законы механики должны быть инвариантны относительно преобразований (3.4). Витоге им был сформулирован базовый постулат:

Постулат 3.1. Принцип относительности Ньютона.

Все механические законы имеют один итот же вид во всех инерциальных системах отсчета.

3.2. Закон движения тела под действием сил. Импульс

Перейдем теперь кнепосредственному рассмотрению законов механики. Отправной точкой служит

Постулат 3.2. Второй закон Ньютона.

Пусть

. Тогда траектория удовлетворяет уравнению

 — траектория тела под действием силы

()





(,,)



()



() ()





() ()







MX r X





Xr=





()





r Fr

= ⋅

(3.5)

Здесь

r xyz=

Формула (3.5)представляет собой второй закон Нью- тона.

(Напомним, что точкой обозначается дифференцирование повремени).

Определение 3.2.

Импульсом материальной точки массы

щейся потраектории

называется величина

p t mr t=

(3.6)

, двигаю-

Таким образом альтернативная формулировка второго закона Ньютона имеет вид:

— импульс тела, а

где

pt F t=

— равнодействующая сила.

(3.7)

3.3. Моменты физических величин

Определение 3.3.

Пусть триваемая внекоторой системе отсчета сначальной точ-

кой

Моментом величины

вается величина:

— векторная физическая величина, рассма-

— радиус вектор точки приложения вектора

относительно точки Ο назы-

Наиболее важные случаи:

1. Кинетический момент (момент скорости):

()

h Mr=

= ×

(3.8)

(3.9)

`2. Момент импульса:



P Mp r p



 

XF=



MF r F





1 11

() ()

n nn

ii i ii i i i

i ii

M p mr r mr r F r M F

dt dt

= = =



= × = × = ×=

 

∑ ∑∑



   

 

B. X



( ) () 0



()

= = ×

(3.10)

()

= ×

(3.11)

3. Момент силы:

Из (3.7)следует

, (3.12)

Отметим достаточно очевидное утверждение, изкоторого, однако, следуют важные, втом числе ифундаментальные законы.

Утверждение 3.1.

Пусть тело 1 находится вточке

— физический вектор сточкой приложения A,

физический вектор сточкой приложения

и

оба вектора

направлены поодной прямой

, атело 2— вточке

ипри этом

, равны повеличине ипротивоположны понаправлению, то относительно любой точки справедливо равенство

M X MY

3.4. Изолированные изамкнутые системы отсчета

Система называется изолированной, если она неиспытывает воздействие внешних сил изамкнутой, если сумма внешних сил, действующих навсе элементы системы, равна нулю.

В некоторых случаях неделают различия между изолированными изамкнутыми системами. С математической точки такие системы поопределению неразличимы.

Фундаментальным постулатом, определяющим принципы механики изолированных систем, является третий закон Ньютона.

Постулат 3.3. 3-й закон Ньютона.



12 21





j jj jj j ij



nn n n

j jj jj ij

∑∑ ∑ ∑





M jj



В изолированной системе сумма всех сил равна нулю.

В частности, если рассматривается система из двух

тел, и

— второго напервое, то

 — сила, действия первого тела на второе, а

0FF

. Для системы n

материальных точек третий закон Ньютона имеет вид:

F==

∑

(3.13)

Для системы, состоящей изконтинуального множества точек, сумма (3.13)заменяется наинтеграл.

Если рассматривается система

— соответствующие силы, то

и

материальных точек



() () ()

= = = ⋅

p t mr t mr t m F

dt dt



и

dt dt

() () ()

p t mr t mr t F

1 1 1 ,1

j j j ij

= = = =

Величина

 

( )

= = =

 

( )

представляет полный импульс

∑

системы. Его можно рассматривать как импульс матери-

альной точки массой

∑

r mr

∑

. (3.14)

, находящейся вточке

(3.15)

Точка (3.15) называется центром масс системы.



()



aae n

 



В случае системы, состоящей изконтинуального множества точек, сумма в (3.15)заменяется на интеграл. Из(3.14)следует, что визолированной системе

pdt=

(3.16)

Отсюда следует

Теорема 3.1. (закон сохранения импульса).

Полный импульс изолированной системы сохраняется во времени или, эквивалентно, центр масс изолированной системы движется равномерно ипрямолинейно.

По сути закон сохранения импульса является альтернативной формой законов Ньютона.

Можно также показать, что справедлива

Теорема 3.2.

В замкнутой системе сумма моментов всех сил равна нулю.

Строгое доказательство мы приводить здесь небудем, но неформально оно очевидно следует из утверждения3.1.

3.5. Центростремительное ускорение ицентробежная сила

Пусть тело движется по траектории (П2.20)представляет собой разложение полного ускорения накасательную инормальную составляющую:

Здесь

чина скорости,

. Формула

tan

= +

(3.17)

— полное ускорение, v— скалярная вели-

tan

adt=

— величина ускорения внаправ-

лении движения, R — радиус кривизны. Величина

: ()



()



— ускорение, направленное кцентру кривизны

траектории. Она называется центростремительным ускорением.

Сила среды, действующая натело понаправлению, перпендикулярному направлению движения изаставляющая искривляться его траекторию, также называется центростремительной. Согласно третьему закону Ньютона, тело при этом действует насреду сравной повеличине ипротивоположной понаправлению силой, которая всвою очередь называется центробежной.

Как видно, величина центробежной силы пропорциональна квадрату величины скорости.

Простым наглядным примером действия центробежной силы является действие грузика, раскрученного нанитке. При достаточно большой скорости центробежная сила заставляет нитку вытягиваться впрямую.

Рассмотрим случай движения тела по окружности радиуса

с постоянной скоростью v. Как следует

из(3.17)такое движение будет иметь место, если натело

действует сила, постоянная повеличине, равная

FR=

направленная кцентру окружности.

3.6. Механическая работа ипотенциальная энергия

Определение 3.4.

Если тело движется потраектории

ствием сил

, то действие

A F dr=

∫

называется (механической) работой сил, совершенной над телом.

L r rt=

под дей-

(3.18)

При этом величина (3.18)называется также работой,

()



() ()

()



()



01 0 1

dA dU



()



выполненной телом.

Рассмотрим сначала случай, когда силовое поле потенциально.

Определение 3.5.

Потенциальной энергией тела, находящегося впотен-

циальном силовом поле, называется величина что для любого пути

работа тела под действием этого поля равна

UL UL−

Таким образом, если

сначальной точкой

L rt=

такая,

иконечной

([ , ])Att

— работа, выполняемая телом под действием потенциальных сил равна

([ , ]) ( ) ( )A t t Ut Ut= −

(3.19)

Локальная форма (3.19)имеет вид:

где

положения и не зависит от того, как оно в эту точку попало. Вчастности, работа при движении по замкнутому пути под действием потенциальных сил поопределению равна нулю.

она независит отсистемы отсчета— работа (3.19), совершаемая телом, во всех инерциальных системах одинакова.

сит не только от начального и конечного положения, ноиотпути.

потраектории

= −

dt dt

(3.20)

иU рассматриваются как функции времени.

Потенциальная энергия тела зависит только отточки

Из определения потенциальной энергии следует, что

Если силовое поле непотенциально, работа зави-

3.7. Кинетическая энергия

Пусть тело под действием силового поля

. Локальная форма (3.18):

движется

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]