Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
Сама внутренняя энергия также является термодина-
V
U
S
∂
∂
U
V
∂
∂
V, T
TT
∂Ψ
GV
V
∂Ψ
∂
TT V
=−−
∂∂
мическим потенциалом, отвечающим выбору независимых переменных
иS. Непосредственно из(6.32)сле-
дует:
T
=
P
= −
;
. (6.67)
Использование термодинамических потенциалов
позволяет легко перейти отописания равновесных состояний системы впеременных
кописанию их вдругих переменных. Для этого достаточно выразить соответствующий термодинамический потенциал через
свободную энергию.
Формулы Гиббса-Гельмгольца
Справедливы соотношения:
Соотношения (6.68)легко проверить непосредственно.
В предыдущих параграфах рассматривались различные аспекты перехода механической энергии втепловую
или наоборот. Здесь мы коснемся также перехода тепловой энергии вэлектромагнитную (иобратно).
Тела, обладающие ненулевой температурой, способны
испускать электромагнитные волны, причем частота этих
волн зависит от температуры (чем выше температура,
тем больше частота). При не слишком высоких температурах излучаются восновном волны в инфракрасном
UT
2
= −
∂
HT V
;
∂ Ψ ∂Ψ
2
6.17. Тепловое излучение
=Ψ−
;
. (6.68)
111
диапазоне. При высоких температурах возникают волны
()vρ
ν≤ν <∞
взонах видимого света иультрафиолета.
Общая энергия излучения определяется как интеграл
повсему диапазону частот излучаемых волн:
∞
()E v dv
= ρ
∫
0
(6.69)
Величина
, где v— значение частоты, называется спектральной плотностью излучения. Она опреде-
ляется частотой итемпературой, атакже, очевидно, пропорциональна объему излучающего тела.
Для тела, способного при любой температуре поглощать все падающее нанего электромагнитное излучение
(так называемого абсолютно черного тела) имеет место
следующая формула, применимая для ограниченного
диапазона:
max
:
2
()v V kT
ρ=
π
ν
23
c
(6.70)
(6.70)называется формулой Рэлея-Джинса. Излучаемая
ν
max
()E v dv
энергия при этом равна
= ρ
∫
0
.
Упражнения
1. Какой процесс произошёл при сжатии идеального
газа, если работа, совершаемая внешними силами над
газом, равна изменению внутренней энергии газа?
2. Горячее тело, температура которого 70°C, приведено всоприкосновение схолодным телом, температура
которого 20°C. Втепловом равновесии установилась температура 30°C. Во сколько раз теплоемкость холодного
тела больше теплоемкости горячего?
112
3. Насколько градусов температура воды уоснования
водопада высотой 20м больше, чем увершины? Считать,
что вся механическая энергия идет нанагревание воды.
Удельная теплоёмкость воды, равна 4200 Дж/(кг·°C).
4. Скакой скоростью должна лететь свинцовая пуля,
чтобы при ударе о препятствие она расплавилась, если
её начальная температура 27°C? Удельная теплоёмкость
свинца, равна 130 Дж/(кг·°C), удельная теплота плавления свинца — 25 кДж/кг. Температура плавления
свинца327°C.
5. Мощность, развиваемая двигателем самолета
наскорости 900км/ч, равна 3 МВт. При этом напути
10км расходуется 8кг бензина. Найти КПД двигателя.
Удельная теплота сгорания бензина равна 46МДж/кг.
6. Для экономии энергии стальной бак массой 4 кг
заменили стальной сеткой массой 1,5 кг и загрузили
втермическую печь. Насколько меньше теплоты потребуется для её нагревания от18° до918°C? Удельная теплоемкость стали c равна 460 Дж/(кг·°C).
7. При трении двух тел, теплоёмкости которых по800
Дж/К, температура через 1 минуту повысилась на 30
К.Найти среднюю мощность при трении.
8. Какова температура одноатомного идеального газа,
если известно, что внутренняя энергия 2моль составляет
54,2кДж.
9. Найти изменение энтропии газа и окружающей
среды, если 10молей идеального газа расширяются изотермически отобъема 10л дообъема 20л против внешнего давления 1 паскаль.
7. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ
O
{}OOv
O
v
O
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Преобразования Галилея (3.4)позволяют построить
непротиворечивую теорию классической механики, базовыми постулатами которой являются законы Ньютона.
В то же время уравнения Максвелла не инвариантны
относительно преобразований (П3.4), таким образом
принцип относительности Ньютона нераспространяется
наявления электродинамики.
Обобщением принципа относительности Ньютона
является:
Принцип относительности
Эйнштейна
Этот фундаментальный принцип постулирует одинаковость всех физических явлений винерциальных системах отсчета.
В частности, это означает, что формулы (3.1)перехода отодной инерциальной системы отсчета к другой
должны удовлетворять условию инвариантности относительно них уравнений Максвелла (5.7−5.10)
7.1. Преобразования Лоренца
Пусть рассматриваются две инерциальные системы
отсчета:
соскоростью
системы
114
и
/
= +
, то есть система
/
движется
равномерно ипрямолинейно относительно
.
Теорема 7.1.
(,)
rvv
c
||vc<
c
Линейные функции перехода (3.1), удовлетворяющие
условию (3.3), относительно которых инвариантны уравнения Максвелла (то есть волновой оператор) имеют вид:
/
=γ−
tt
(,)rv
2
c
/
r r vt
= −γ + γ−
,
( 1)
||
v
, (7.1)
2
где
γ=
1
(7.2)
2
||1v
−
2
Соотношения (7.1) представляют собой преобразование Лоренца, авеличина (7.2) называется фактором
Лоренца.
Раздел физики, основанный на преобразованиях
(7.1), называется специальной теорией относительно-
сти. Вэтой теории пространство ивремя объединяются
водну категорию, которое называется четырехмерным
пространством-временем или четырехмерным про-
странственно-временным континуумом. Геометрия
этого пространства рассматривается в следующем параграфе.
Из (7.2)следует, что преобразования Лоренца предполагают выполнение условия
(7.3)
В специальной теории относительности принимается
постулат.
материальных тел, неможет происходить соскоростью,
превышающей скорость
ется скоростью света, инасамом деле принимается, что
Постулат 7.1.
Никакое физическое явление, втом числе движение
. Условно эта скорость называ-
115
это скорость распространения электромагнитных волн
O
O
OX
t tx
( )
yy
zz=
1
c
r vv
0123
(,,,)
0
0
ввакууме. Ее точное значение 299792458м/сек (П1.3).
Принимается также следующее допущение:
Скорость света изотропна, то есть не зависит
отнаправления его распространения.
/
и
Если координатные оси систем
и движение происходит вдоль оси
параллельны,
, соотношения
(7.1)–(7.2)имеют вид:
/
=γ−
v
2
c
/
/
x x vt=γ−
;
γ=
;
1
/
=
;
2
v
−
2
;
Теорема 7.2.
Обратные преобразования Лоренца имеют вид:
/
( ,)rv
/
=γ+
tt
c
2
/
r r vt
= +γ + γ−
;
( 1)
/
( ,)
2
v
||
(7.4)
То есть удовлетворяют условию (3.3).
7.2. Пространство минковского
Базовой категорией специальной теории относительности, отражающей единство пространства и времени
является пространство Минковского. Это четырехмер-
ное линейное пространство соскалярным произведением,
не обладающим свойством положительной определенности (такие пространства называются псевдоэвклидо-
выми).
Координаты точек пространства Минковского обычно
обозначаются
xxxx
. Координата
x
есть
x ct=
.
116
Она называется временной координатой. Остальные три
1
xx
2
xy
3
xz
0123
(,,,)x xxxx
(,,)
=
ii
x Lvx
v
vv
v
ef
( )
(), () (, )
координаты называются пространственными:
=
=
;
. Сматематической точки зрения события
=
;
определяются моментом времени и положением в пространстве, таким образом под событием понимается точка
=
пространства Минковского.
Точки ивектора четырехмерного пространства Минковского обозначаются чертой сверху, в то время как
точки ивектора трехмерного пространства обозначаются
стрелкой. Мы будем также продолжать использование
обозначения
r xyz
.
Скалярное произведение векторов в пространстве
Минковского имеет вид:
3
(, )
e f e f ef
= −
00
(7.5)
∑
i
=
1
Преобразования (7.1) в пространстве Минковского
представляют собой линейные преобразования вида:
/
()
=
(7.6)
где
t
()
Lv
γ −γ
=
v vv
− γ + γ−
c
v
c
t
I
2
v
( )
(7.7)
1
Здесь
ственно
При фиксированном векторе
собой постоянный линейный оператор, ииз(7.4)следует,
что
проверить, что для любых векторов
условие
рассматривается как вектор столбец, соответ-
t
представляет собой матрицу ранга 1.
(7.7) представляет
1
( ) ()L v Lv
−=
−
. Непосредственной проверкой легко
,
выполняется
Lve Lv f e f=
(7.8)
117
Определение 7.1.
0123
() { (), (), (), ()}x xxxx
( ) ()( )
ς=ς
x
x
xx x∆= −
x
x
2 222 2
0123
()( )()( )( )sxxxx
/2 2
( ) ()ss∆=∆
22 2
() () ( )
/2 2
( ) ()
e
1
|| 0
i
=
=−>
1
|| 0
i
=−=
Четырехкомпонентный элемент
ς=ςςςς
называется четырехвектором, если при преобразованиях (7.6)он удовлетворяет условию:
//
x Lv x
(7.9)
Определение 7.2.
(1)
(2)
,
Пусть
— произвольные точки пространства
Минковского. Вектор
(2) (1)
(7.10)
называется вектором перемещения.
Очевидно, что вектор перемещения является четырехвектором.
Определение 7.3.
Квадрат нормы вектора перемещения (7.10)называется интервалом между событиями
(1)
и
(2)
.
Из сказанного выше следует, что
∆ =∆ −∆ −∆ −∆
является Лоренц-инвариантом, то есть
.
В частности, для бесконечно малого перемещения
ds dt dr= −
:
ds ds=
(7.11)
Вектор
светоподобным, если
11 8
называется времениподобным, если
22 2
ee e
22 2
ee e
3
i
∑
,
3
i
=
∑
0
0
3
|| 0
=−<
x
x
x
x
00
xx
x
x
x
x
x
x
=
dr
O
()
()
=
/2 /2
()( )
∑
0
1
i
=
.
i
(1)
(2)
,
ипространственноподобным, если
ee e
Из постулата 7.1следует, что два события
22 2
могут иметь причинно-следственную связь только втом
случае, если вектор перемещения между ними времени-
(2)
подобен. Впротивном случае событие
чить сигнал отсобытия
(1)
.
неможет полу-
Если вектор перемещения (7.10)является времениподобным, ипри этом
жимой източки
«будущей» относительно
тельно
(2)
.
(2) (1)
(1)
. При этом точку
>
, назовем точку
(1)
, а
(1)
(2)
будем называть
- «прошлой» относи-
(2)
дости-
Определение 7.4.
Мировой линией впространстве Минковского называется одномерная кривая, все точки которой достижимы
извсех прошлых точек этой кривой.
Мировая линия может представлять путь впространстве-времени некоторого объекта. Вэтом случае она называется мировой линией объекта.
В качестве параметра мировой линии объекта может
быть выбрано время. Тогда мировая линия имеет вид
{ , ( )}L ct r t
. Скорость вэтом случае представляет собой
трехмерный вектор:
В системе отсчета
Пусть
ut
Рассмотрим систему
со скоростью
локально-инерциальной.
В локально инерциальной системе для объекта имеет
место
()
utdt=
(7.12)
зафиксируем момент времени t.
— скорость объекта всистеме O вэтот момент.
v ut
/
0dr =
ds сdt=
и
/
O
, движущуюся относительно O
. Такая система называется
. Отсюда из(7.10)следует:
119
/2 2 2
( ) ( )()
O
1
τ
ds cd= τ
=
dx
cdt сdt dr= −
подобны,
. Так как все интервалы времени-
/2 2
dt dt dr dt dt
() ( ) 1
=−=− =
1 | ( )| 1
22
сс
Таким образом когда всистеме
/
в системе
O
пройдет меньшее время
2
ut
ut
γ
( )
пройдет время dt
( )
()
utγ
()
dt
.
. Это
время которое «ощутит» объект, чья мировая линия рассматривается. Оно как правило обозначается
иназыва-
ется собственным временем объекта. Таким образом
2
| ( )| 1
ut
1
d dt dt
При этом
τ= − =
2
с
является натуральным параме-
ut
γ
( )
()
(7.13)
тром мировой линии.
C мировыми линиями в пространстве Минковского
связаны следующие четырехвекторы:
Определение 7.5.
4-скоростью вдоль мировой линии
вается вектор
uds=
dx
{ , ( )}L ct r t
(7.14)
назы-
Так как приращение
лоренц-инвариант, (7.14)является четырехвектором. Геометрически он является единичным касательным вектором кмировой линии.
Из (7.13)следует явное выражение 4-скорости:
120
— четырехвектор, аds —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]