Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
( )
uu
u
uu
= γ
dr
dx
d
γγ
()
du
γγ
{}OOv
11
(,)
22
(,)
//
(, )
//
(, )
t∆
r∆
O
= γ
o
;
( )
o
с
, где
()
u ut
= =
dt
(7.15)
Определение 7.6.
4-ускорением вдоль мировой линии
{ , ( )}L ct r t=
назы-
вается вектор
2
ads=
2
(7.16)
Аналогично 4-скорости, 4-ускорение также является
четырехвектором. Геометрически— это вектор кривизны
кмировой линии. Его явное выражение:
a
=
0
c dt
a
=
i
;
2
c
(7.17)
dt
7.3. Релятивистская кинематика
/
Рассмотрим две системы отсчета O и
Эффекты Лоренца
= +
.
Пусть два события A иBимеют координаты
tr
всистеме отсчета O икоординаты
всистеме отсчета
r r vt v
где
,
∆ =∆ +γ ∆ + γ−
/
t∆
и
расстояния между событиями всистемах
ветственно.
tr
/
O
. Тогда
/
( ,)rv
∆
tt
∆=γ∆ +
//
/
r∆
,
/
2
c
( ,)
rv
( 1)
∆
||
v
— временные ипространственные
11
;
/
2
(7.18)
и
O
,
/
tr
tr
22
, соот-
121
,
В случае, когда всистеме
A
tt
A
rr v
/2
/ 22
ϕ
r∆
v
| || |rr
O
OX
xx
OX
L
12
AA
xl∆=
O
l LL
ственные координаты событий
из(7.18)следует
Пусть теперь события
дят одновременно, то есть
вид
| | | | ( 1)
∆ =∆ +γ −
∆ =∆ + γ−
2 /2 2
rr
/
( 1)
∆ = γ∆
/
∆
( ,)
rv
2
v
( ,)
rv
∆
2
v
/
/
O
совпадают простран-
иB— то есть
/
(7.19)
/
иB всистеме
0t∆=
. Тогда (7.18)принимает
O
происхо-
, откуда следует
иокончательно
/
0r∆=
—
где
— угол между векторами
| | | | 1 ( 1)cosrr∆ =∆ +γ− ϕ
и
, (7.20)
.
Очевидно соотношение:
В частном случае, когда оси координатных систем
/
O
параллельны, а движение осуществляется вдоль
и
направления
, (7.20)принимает вид:
∆ >∆
∆ = γ∆
Пусть объект, линейный размер которого пооси
равен
, покоится всистеме
менно фиксируются положения крайних точек—
соответствующие события и
расстояние между ними внеподвижной системе
/
(7.21)
/
(7.22)
/
O
. Всистеме O одновре-
— пространственное
,
. Это
расстояние есть линейный размер объекта внеподвижной
системе. Тогда, согласно (7.22)
1
122
= <
γ
(7.23)
То есть размеры движущегося объекта внеподвиж-
O
v
u
w
//
22
cc
(,)
uv
uv v
wu v
ной системе отсчета оказываются сжатыми. Это явление
называется лоренцевым сокращением.
Аналогично, их (7.21)следует, что для двух событий,
происходящих водной итой же точке пространства вдвижущейся системе отсчета
/
O
, в неподвижной системе
между событиями проходит большее время. Таким образом, вдвижущейся системе относительно неподвижной
время замедляется. Этот эффект называется лоренцевым
замедлением времени.
Формула сложения скоростей
/
Рассмотрим две системы — неподвижную O и
движущуюся относительно
рость некоторого тела всистеме
скорость
всистеме O.
соскоростью
/
O
равна
. Пусть ско-
. Найдем ее
O
Из (7.5)следует:
,
Следовательно,
dr dr vdt
=γ + =γ+
dt dt dt
//
= +γ + γ−
/
( ,) (,)
dr v u v
dr
w
= =
dt
( 1)
1
+γ + γ−
γ+
( ,)
образом
= + γ+ γ−
1 (,)
uv
(,)
γ+
1
2
c
( 1)
uv
2
v
||
/
dr v v
2
||
uv
(,)
2
c
;
v
||
v
( 1)
1
(7.25)
(7.24)
2
, таким
123
Формула (7.25)определяет релятивистское сложение
u
uv
+
O
t
//
()
O
v
t
t
скоростей.
Из (7.25)следует, что если хотя бы одна изскоростей
или v равна c, то искорость (7.25)также равна c.
В одномерном случае:
( ,0,0)vv=
( ,0,0)ww=
,
w
( ,0,0)rx=
=
1
(7.26)
uv
+
2
c
,
( ,0,0)uu=
Движение сускорением
Рассмотрим теперь неравномерное движение объекта
в неподвижной системе
v vt
вмомент времени
циальную систему
:
O Ot=
тельно неподвижной системы
времени
объект оказывается неподвижным всистеме
. Пусть скорость объекта
= =
. Рассмотрим инер-
dt
()
dr t
()
, которая движется относи-
соскоростью
. Вмомент
O
/
.
Определение 7.7.
Локально инерциальной системой или мгновенно
сопутствующей объекту системой называется система,
вкоторой текущая мгновенная скорость объекта равна
нулю.
Очевидно, что локально инерциальные системы меняются отточки траектории кточке, таким образом для тра-
ектории объекта определяется семейство
{ ( )}Ot
локально
/
инерциальных систем.
,
Определение 7.8.
Собственным ускорением объекта вмомент времени
называется его мгновенное ускорение влокально инер-
124
циальной системе
()Ot
()
t
()
=
//
// //
22
1
1 () (1) ()
cv
− + γ + + γ− + =
+=
22
av
/
. Тогда если
ut
— собственная
скорость объекта, собственное ускорение объекта вмомент
времени
есть величина
a at
, которая определяется
условием:
du adt=
/
(7.27)
Это собственное ускорение, которое «ощущает» объект.
Тогда всоответствии с(7.25)
v t dt
()
+= ×
γ+ +
× + γ+ γ− + +
adt v o dt
( 1) ( )
1 (, ) (,)
γ
va av
dt o dt v a dt o dt
1 (,) (,
= + + γ− −γ
va v
( 1)
γ
=+ +− +
v a v dt o dt
1 1 (,) 1
γγ γ
/
v adt
(, )
1 ()
c
adt v
( ,)
v
||
o dt
2
/
2
||
av
v
)
v
2
|
c
2
v dt o dt
av a
2
||
v
1 ()
||
/
//
()
Таким образом имеется дифференциальное уравнение:
dv a v
= +−
dt
γ
1 1 (,)
1
γ
v
||
Движение с постоянным собственным ускорением
называется релятивистски равноускоренным движе-
нием. Рассмотрим случай равноускоренного движения
внаправлении оси OX. Тогда (7.28)принимает вид:
(7.28)
125
dv a
−=
vc
12
[, ]
10 0
Решение (7.29)имеет вид:
=
где
dt
v
1
c
1
π=
0
=
3
, то есть
γ
3
−
2
2
dv adt
2
a
π+
0
c
+π+
0
()
vt
c
vt
−
1
(7.29)
t
2
a
, (7.30)
t
c
1
2
. (7.31)
()
1
2
c
Здесь
t tt∈
t
— время начала пути внеподвижной системе О:
1
.
И уравнение траектории
() ( ) 1 1
xt xt t
= + + π + − +π
ca
ac
126
2
2
(7.32)
Собственное время объекта, движущегося
()
2 22 2 2
OX
()
11
11
22
00
tt
tt
a
τ= − = =
∫∫
π
0a =
21
()
сускорением
rt
— пространственная траектория объекта и
()
dr t
— скорость. Тогда по определению
()ds c dt v t dt= −
, иформула (7.13)принимает вид:
t
1
1
τ= −
∫
t
1
()
vt
c
2
dt
2
(7.33)
()
vtdt=
Пусть
В частном случае равноускоренного движения параллельно направлению
, скорость
vt
определяется
равенством (7.30). Тогда
( /)
π+
1
= π+ + +π+
0
+π+ +π+
1 ( /) 1 ( /)
c
ln( /) 1 ( /) |.
00
где величина
Формула (7.34)неприменима при
2
at c
dt dt
1
at c at c
at c at c
определяется (7.31).
0
t
2
2
t
1
(7.34)
. Вэтом слу-
чае (7.33)дает
2
tt
1
−
+π
(7.35)
2
0
( )1
tt
τ= − − =
21
v
2
c
что согласуется с(7.13).
Моделирование космических перелетов
Моделируется космический полет, состоящий сточки
зрения наблюдателя сЗемли изтрех этапов:
127
1. Релятивистски равноускоренное движение суско-
a
21
tT
11
()vT
()
a−
11
τ= τ +τ = + + +
рением
0t =
,
1
в течение времени
=
. Тогда
0
T
. Воспользуемся (7.24)с
1
0π=
исогласно (7.34)
1
aс с
aT aT
c
ln 1
τ= + +
2
(7.36)
При этом согласно (7.24)будет достигнута скорость
aT
()
vT
=
1
2. Равномерное движение соскоростью
1
1
(7.37)
2
, опреде-
1
ляемой (7.37). В этом случае следует воспользоваться
(7.29)с
v vT=
3 Равномерное торможение сускорением
ние времени
. Тогда
1
T
τ=
2
2
1 ( /)
aT c
+
1
(7.38)
2
втече-
T
. Изсоображений симметрии собственное
1
время будет совпадать ссобственным временем напервом
этапе.
Затем таким же образом выполняется обратный путь.
В результате общее собственное время космонавта
равно
4
2(2 ) ln 1
12
128
c
aс с
+
2
+
1 ( /)
aT aT
T
2
.
aT c
2
1
2
(7.39)
7.4. Релятивистская динамика
Масса иимпульс
В классической динамике принцип относительности
Ньютона включает следующие два утверждения относи-
тельно массы m иимпульса
1. Масса тела является инвариантом— во всех систе-
мах отсчета имеет одно ито же значение.
2. Если импульс сохраняется вкакой-либо инерциальной системе отсчета О, то он сохраняется ив любой
другой инерциальной системе отсчета.
Последнее утверждение основано на том, что преобразование Галилея (3.4)линейно поскорости движения
одной инерциальной системы относительно другой и,следовательно, производная скорости— ускорение— совпадает во всех инерциальных системах отсчета.
Однако вслучае нелинейных преобразований (3.1),
каковыми иявляются (7.1), приведенные свойства противоречат друг другу. Ипоскольку отказ отвторого утверждения означал бы отказ отфундаментального принципа
относительности Эйнштейна, необходимо допустить, что
масса, как ивремя, неявляется абсолютным инвариантом изависит отвыбора системы отсчета.
p mv=
:
Определение 7.9.
Релятивистской массой тела, движущегося всистеме
отсчета О соскоростью v , называется величина
Величина
m mv
m
называется массой покоя. Это масса
0
(| |)
= =
v
m
0
(7.40)
2
v
1
−
2
c
тела всистеме отсчета, вкоторой это тело покоится.
129
Теорема 7.3.
p mv
O
v
OX
O
v
u
O
vv
mv mu mu= +
vu
v
v−
//
vv
uu
()
()
uv
−+
1. Масса покоя является инвариантом — во всех
системах отсчета имеет одно ито же значение.
=
2. Если импульс
инерциальной системе отсчета
сохраняется вкакой-либо
v
, то он сохраняется
ивлюбой другой инерциальной системе отсчета.
Пример 7.1.
Рассмотрим случай абсолютно неупругого столкновения двух частиц одинаковой массы покоя
происходит соскоростью
Пусть
— система отсчета, вкоторой неподвижна вто-
рая частица, апервая имеет скорость
, направленной пооси
. После столкнове-
, которое
m
0
ния составная частица движется соскоростью
всистеме
закон сохранения импульса имеет вид:
.
. Тогда
Откуда
Пусть теперь
сительно второй частицы со скоростью
неподвижна первая частица, авторая имеет скорость
После соударения составная частица движется соскоро-
/
u
стью
. Закон сохранения импульса имеет вид
Суммируя (7.41)и(7.43), получаем
муле (7.26):
130
0
mu
=
m
v
−
/
O
— система, которая движется отно-
(7.41)
0
(7.42)
, в которой
()
m v mu mu−= +
u
0
=
uv
−
1
+
2
c
(7.43)
/
= −
ипофор-
(7.44)
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]