Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика и естествознание. Учебное пособие
.pdf
dt
22
||vr
2
()
dU Vdt+
EUV= +
,dAFr
=
(3.21)
Используя 2-й закон Ньютона, получим:
2
(3.22)
где
dA d mv
= = =
mrr mrr
1
,,
dt dt
=
.
Определение 3.6.
Величина
2
mv
V =
(3.23)
называется кинетической энергией движущегося тела.
Важное замечание: вотличие отпотенциальной энергии, которая определяется с точностью до константы,
ипоэтому независит отвыбора системы отсчета, значение кинетической энергии вкаждый выбранный момент
времени отэтого выбора зависит.
3.8. Полная механическая энергия.
Закон сохранения энергии
Из (3.20), (3.22), (3.23)следует, что при движении тела
вполе потенциальных сил выполняется соотношение:
Величина
0
=
(3.24)
(3.25)
31
называется полной механической энергией. Равенство
F
(,)Drr
D
∂
A VA= −∆ +
A
(3.25)есть
Теорема 3.3 (закон сохранения механической
энергии).
При движении тела под действием потенциальных
сил полная механическая энергия тела сохраняется во
времени.
3.9. Непотенциальные силы
При взаимодействии тел могут возникать непотенциальные силы, приводящие ктому, что закон сохранения механической энергии нарушается втом смысле, что
часть энергии переходит вдругие формы, например, во
внутреннюю энергию тел (тепло, см. раздел 6 ). Вообще
говоря, тела при этом уже немогут рассматриваться как
материальные точки.
Классическими непотенциальными силами являются
силы трения, упругости идругие.
Определение 3.7.
Сила
лена строго против направления скорости и приводит
кзамедлению движения путем перехода части энергии
вдругие формы. При этом функция
ющая условию
называется диссипативной, если она направ-
, удовлетворя-
F
= −
(3.26)
r
∂
называется диссипативной функцией.
При наличии непотенциальных (вчастности, диссипативных) сил общее действие сил представляется ввиде
где
— работа диссипативных сил, приводящих кпотере
, (3.27)
энергии механической системой.
32
Инфинитезимальная форма (3.27)имеет вид
A dV A
m
α
=− =−⋅ ⋅ α
N
sin cosF mg mg k= ⋅ α− ⋅ ⋅ α
( sin cos )
sin
A mg mg k l
= ⋅ α− ⋅ ⋅ α =
= = −⋅ α
α
=−⋅ α−⋅⋅αα
gg k a
=⋅αα−⋅α
(sin cos )ag k= α− ⋅ α
δ = +δ
(3.28)
Заметим, что наданном этапе левая часть соотношения (3.24)носит формальный характер, пока ей непридается смысл изменения энергии. Это будет сделано вразделе 5.
Пример 3.2.
Тело массой
под углом
свысоты h. Коэффициент трения равен k.
скатывается понаклонной плоскости
Тогда сила трения повеличине равна
cos
,
где
F kN k mg
трения
— сила давления опоры.
Сила, действующая натело внаправлении плоскости,
равна
(скалярное равенство).
Работа, совершаемая при движении тела, равна
sin cos
mgh mgh k
α− ⋅ ⋅ α
(1 ).
V k ctg
Тогда сила, действующая на тело в вертикальном
направлении, имеет вид:
FF N F
= − α− α=
mg mg mg k
cos sin
g трения
2
cos cos sin ,
и может рассматриваться как «падение» сускорением
sin (sin cos )
силы тяжести
= ⋅ α α− ⋅ α =
вгоризонтальном направлении
Общее ускорение (направленное вдоль плоскости) повеличине равно
v
h
ag k
иускорением
cos (sin cos )
. Время движения равно
.
33
21 2
hh
gg k
= = −⋅α=− ⋅α
kV ctg⋅α
()At
dA
t
= =
α ⋅ α⋅ α− ⋅ α
sin sin (sin cos )
рость тела при этом
v at g k= = ⋅ α− ⋅ α
sin
. Конечная ско-
2
h
(sin cos )
α
,
иконечная кинетическая энергия
2
E mgh k ctg V kV ctg
кинет
mv
2
зом потери энергии
(1 )
. Таким обра-
совпадают по величине
сработой сил трения.
3.10. Мощность
Определение 3.8.
Пусть тело выполняет работу во времени,
выполненная работа. Величина
()
Ptdt=
(3.29)
называется мощностью.
Замечание. Внекоторых случаях работа направлена
напреобразование одной формы энергии вдругой (например, натаком принципе основана работа гидроэлектростанции). Вэтом случае мощностью считается скорость
передачи энергии.
—
3.11. Лагранжева игамильтонова механика
До сих пор рассматриваемыми динамическими
переменными служили пространственные координаты
материальных точек, составляющих систему. Вэтом случае непосредственная формулировка базовых постулатов— законов Ньютона — является наиболее простым
принципом механики. Существует более общий подход,
34
применимый также ксистеме, описываемым обобщен-
1
m
qq q
m
()qt
()
Sf Ltqt qt dt
S
L
(, , ) 0
η
22
11
tt
tt
= η + η − η=
∫∫
( ,.., )
ными координатами
=
.
При этом подходе— он носит название вариацион-
ный принцип— предполагается, что базовые уравнения
удовлетворяют задаче минимизации некоторого функционала отобобщенных координат, которые являются динамическими переменными. Таким образом р ассматривается физическая система, состояние которой описывается
-мерной функцией
( ( ),.., ( ))
qt q t
=
1
.
m
Определение 3.9.
Динамика системы определяется по принципу наи-
qt
меньшего действия, если функция
является стацио-
нарной точкой функционала
t
2
( ) [ , ( ), ( )]
=
∫
t
1
(3.30)
Функционал
называется действием, а функция
— лагранжианом (см. пример 2.9).
Условие (2.52)вэтом случае принимает вид:
t
2
где функция
d
L t q q e dt
∫
ε
d
t
1
равна нулю наконцах отрезка интегриро-
+ εη + η =
|0
ε=
(3.31)
вания.
tt
22
d LL
(, , ) (,,) (,,)
Ltq q e dt tqq tqq dt
∫∫
d qq
ε ∂∂
tt
11
L L dL
∂∂ ∂
(,,) (,,) (,,)
tqq dt tqq tqq dt
∂∂ ∂
q q dt q
+ εη + η = η + η =
|0
ε=
∂∂
|
t
2
|
t
1
35
22
11
2
22
11
1
|0
|
|
(, , ) (,,) (,,)
(,,) (,,) (,,)
tt
tt
t
tt
tt
t
t
d LL
Ltq q e dt tqq tqq dt
d qq
L L dL
tqq dt tqq tqq dt
q q dt q
ε=
∂∂
+ εη + η = η + η =
ε ∂∂
∂∂ ∂
= η + η − η=
∂∂ ∂
∫∫
∫∫
∂∂
−=
∂∂
dLLL LdL LdL
qq qq q
∂∂∂ ∂∂ ∂
∂∂∂ ∂∂ ∂
Lt∂
∂
−=
L
E qL
∂
,XY
XY
1
ii
i
=
m
(,,)
i i i ii
2
∂∂
Ld L
=−η
∫
∂∂
q dt q
t
1
dt
Таким образом уравнения (3.27)имеют вид
Ld L
q dt q
0
(3.32)
Уравнения (3.32)называются уравнениями ЭйлераЛагранжа. Из(3.32)следует:
=++= +=
dt t q q dt q q dt q
,
Если функция Лагранжа независит явно отвремени,
0
=
то есть
, то
dL
∂
qL
∂
dt q
0
(3.33)
Таким образом, величина
= −
q
∂
(3.34)
является интегралом уравнений Эйлера-Лагранжа.
Напомним, что вслучае векторов
, зависящих
отобобщенных координат символом произведения
обозначается выражение аналогичное скалярному произ-
n
XY X Y
ведению
=
∑
,
Пример 3.3.
Рассматривается система
щенные координаты есть обычные декартовы координаты
точек
36
q r xyz= =
. Функция Лагранжа имеет вид:
материальных точек, обоб-
m
1
ii m
i
Lt∂
gt t s
1 2 12
s s ss
1
L mq U q q
= −
2
2
∑
ii m
1
=
i
( ,.., )
1
. (3.35)
Тогда
m
1
E mq U q q
= +
∑
2
2
( ,.., )
=
1
(3.36)
Величина (3.36)есть полная механическая энергия.
В общем случае величина (3.34) также называется
энергией.
Вывод условия (3.33), то есть сохранения энергии,
0
=
основан наравенстве
∂
, что означает, что функция
Лагранжа не зависит явно от времени, то есть инвариантна относительно трансляций:
s
()
= +
(3.37)
Преобразования (3.37)удовлетворяют свойствам:
+
gg g
=
;
0
g id=
(3.38)
ющих (3.38), называется группой диффеоморфизмов.
чается втом, что если функция Лагранжа инвариантна
относительно некоторой группы диффеоморфизмов, то
такой симметрии соответствует определенная сохраняющаяся величина— первый интеграл уравнений ЭйлераЛагранжа. Инвариантность относительно временных
трансляций есть прямое следствие однородности времени.
Таким образом энергия интерпретируется как величина,
сохранение которой есть следствие однородности времени.
теоремы Нетер (см. [1],[16]), но рассмотрим пример,
Определение 3.10.
s
g
Семейство гладких преобразований
, удовлетворя-
Имеет место теорема Нетер, смысл которой заклю-
Мы небудем здесь приводить точную формулировку
37
результат которого также имеет фундаментальное зна-
q
q
(,,)
i i i ii
q r xyz= =
0 0 0 00
(,,)q r xyz= =
r
L
∂
1m =
L
r
∂
∂
L
∂
чение.
Определение 3.11.
Диффеоморфизм
:sg q q sq→+
(3.39)
0
называется пространственной трансляцией. Постоян-
ный вектор
В частности, если обобщенная координата
обычный пространственный вектор
называется генератором трансляции.
0
есть
;
трансляция представляет собой обыч-
ный параллельный перенос напостоянный вектор
.
0
Утверждение 3.2. (следствие изтеоремы Нетер).
Если функция Лагранжа инвариантна относительно
группы диффеоморфизмов (3.39), то сохраняется величина
pq
=
0
(3.40)
0q
q
∂
Рассмотрим систему, описывающую динамику мате-
риальной точки слагранжианом (3.35) вслучае
p
=
Тогда
— обычный импульс, и сохранение вели-
.
чины (3.49) есть сохранение импульса в направлении
параллельного переноса. Инвариантность функции
Лагранжа относительно преобразований (3.39) для
любого направления есть следствие однородности пространства. Таким образом закон сохранения импульса
есть следствие однородности пространства.
Определение 3.12.
q
Величины
называются обобщенными координа-
i
тами, авеличины
38
p
=
i
(3.41)
q
∂
i
q
(,)H pq
H pq L= −
H
∂
H
∂
F
−=−
13x tt=+−
где
— обобщенные координаты, называются обобщен-
i
ными импульсами.
Определим функцию от обобщенных координат
иобобщенных импульсов
:
(3.42)
(преобразование (3.42) называется преобразованием
Лежандра). Функция (3.42) называется функцией
Гамильтона. Уравнения (3.32)принимают вид:
q
=
p
= −
;
p
∂
(3.43)
q
∂
которые называются уравнениями Гамильтона.
При наличии диссипативных сил
принцип наименьшего действия требует модификации: вэтом случае
лагранжиан зависит также отвторых производных обобщенных координат.
В этом случае уравнения Лагранжа (3.32)заменяются
науравнения вида
Ld L
∂∂
∂∂
q dt q
F
. (3.42)
Упражнения.
1. Под действием какой силы прямолинейное движе-
ние частицы массой 100 г описывается уравнением
2
.
2. Поезд, подъезжая кстанции соскоростью 72км/ч,
начинает тормозить. Каково наименьшее время торможения поезда дополной остановки, безопасное для спящих
пассажиров (пассажиры непадают сполок)? Коэффициент трения ополки 0,2.
3. Под действием силы 30 Н тело поднимается вверх
сускорением 10м/с2. Определить массу тела.
39
4. Парашютист, достигнув взатяжном прыжке скоро-
m
v
сти 55м/с, раскрыл парашют, после чего за2сскорость
уменьшилась до5м/с. Найти наибольшую силу натяжения строп парашюта, если масса парашютиста 80кг
5. Два автомобиля массами
направлении содинаковыми скоростями
и2m движутся водном
. Чему равен
модуль импульса второго автомобиля всистеме отсчета,
связанной спервым автомобилем?
6. Летящая пуля попадает вмешок спеском иуглубляется на15см. Накакую глубину войдет впесок такая
же пуля, если её скорость увеличить вдвое? (Сила сопротивления постоянна, мешок неподвижен.)
7. Мяч массой 0,2кг движется кстене под углом 30°
кней соскоростью 6 м/с и отскакивает отнее. Определить, какой импульс силы передан стенке, если удар абсолютно упругий.
8. Квертикальной стенке ссилой 40 Н, направленной
горизонтально, прижимается брусок массой 4кг. Определить модуль импульса бруска через 1,5ссмомента начала
движения, если коэффициент трения бруска остену равен
0,1.
9. Стержень длины L движется погладкой горизонтальной поверхности. Какая упругая сила возникает
всечении стержня нарасстоянии L/4 от конца, к которому приложена сила F, направленная вдоль стержня?
10. По наклонной плоскости с углом наклона 30°
кгоризонту скользит вниз тело. Определить скорость тела
вконце второй секунды скольжения, если коэффициент
трения 0,15.
11. Поезд движется позакруглению радиуса 765м
соскоростью 72км/ч.Определить, насколько внешний
рельс должен быть выше внутреннего. Расстояние между
рельсами 1,5м.
12. Лыжник съезжает с вершины горы. На какой
высоте отначала движения его давление наснег станет
равным нулю, если траекторию наданном участке можно
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]