Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Физика и естествознание. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
07.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Рассматривая (7.44)как уравнение наu, получаем
22
cv
 
 
00
mm
v aF
= +=


v
OX
F
OX
u
11
= −−
v
2
c
(7.45)
Подставив (7.45)в(7.42), получим
m
m
v
0
=
1
, (7.46)
2
v
−
2
c
что совпадает с(7.40).
Пример 7.1 поясняет почему для того, чтобы теорема
7.3 была бы справедливой, релятивистскую массу необхо­димо определить формулой (7.40).
Второй закон Ньютона
Непосредственным дифференцированием получаем, что второй закон Ньютона (3.7)имеет вид:
2
v
2
c
(,)
32
с
2
v
−
1
2
c
(7.47)
dp v a
dt

−
1
  
Таким образом, вобщем случае направления силы иускорения несовпадают— имеется еще составляющая силы, направленная по скорости, которая стремится
→
кнулю при
0
c
.
Рассмотрим случай прямолинейного движения тела
m
массы покоя постоянной силы
внаправлении оси
0
, также направленной пооси
Тогда (7.47)принимает вид:
под действием
.
131
ma
 
 
00
33
22
22
11
ma ma
vv cc

−−
  
F
=
0
3
(7.48)
2
v
1
−
2
c
И работа
dA Fdx dx vdt
= = = =
m vdv
0
=

1
  
3
2
v
−
2
c
Проинтегрировав (7.49)отнуля доc, получим
A mc=
2
. (7.50)
0
Формально, это работа, которая необходима чтобы разогнать тело отсостояния покоя доскорости c.
Эквивалентность массы иэнергии
(7.49)
В классической (ньютоновской) механике масса и энергия рассматриваются как отдельные категории. Причем, содной стороны, масса является абсолютным инвариантом, неизменяющимся при движении, исдру­гой стороны при движении в поле потенциальных сил сохраняется полная механическая энергия.
Основополагающей концепцией теории относительно­сти является эквивалентность массы иэнергии, согласно которой полная энергия физического объекта равна его массе, умноженной наразмерный множитель— квадрат скорости света, то есть
132
E mc=
2
(7.51)
В частности, величина
00
v
vc<<
c
p
E
pp=
pp=
pp=
E mc=
2
(7.52)
есть энергия покоя, то есть энергия тела винерциальной системе, вкоторой тело покоится.
Энергия тела, движущегося соскоростью
, всвою
очередь всоответствии с(7.46)равна
2
mc
E
0
=
2
(7.53)
v
1
−
2
c
При
2
mv
2
E mc≈+
0
0
(7.54)
2
Концепция эквивалентности массы иэнергии позво­ляет предложить следующую интерпретацию результата (7.50). Если преобразовать вэнергию движения всю массу покоя тела, ее получится ровно столько, чтобы тело изсостояния покоя перешло бы вдвижение соскоростью
.
На самом деле наблюдаются явления, при которых масса полностью переходит в энергию — это столкно­вение частицы и античастицы (например, электрона ипозитрона). Врезультате происходит аннигиляция, то есть исчезновения обеих частиц с испускание фотонов, движущихся соскоростью света. При этом соотношение (7.51)подтверждается совсей возможной точностью.
Определение 7.10.
Четырехимпульсом
pc=
нентами
0
Четырехимпульс
называется 4-вектор скомпо-
,
1 x
,
2 y
,
3 z
.
133
Для массивных объектов
=

0,5vc=
0,5vc=
10L км=
0,5vc=
M
m
p mv
.
Из (7.53)и(7.46)следует
2
E
2 2 22
|| ||
p p mc
=−=
2
c
0
(7.55)
Соотношение (7.55)есть релятивистский закон сохра-
нения энергии-импульса.
Упражнения
1. Два одинаковых стержня собственной длины 10м
движутся в продольном направлении навстречу друг другу соскоростью
относительно неподвижной системы отсчета. Чему равна длина стержня всистеме, связанной сдругим стержнем?
2. Массивная плита, движущаяся со скоростью перпендикулярно своей плоскости налетает
налегкую неподвижную частицу. Найти скорость частицы внеподвижной системе отсчета после упругого столкнове­ния сплитой.
3. Издвух точек, разделенных расстоянием
,
вылетают две частицы сперпендикулярными друг другу одинаковыми повеличине скоростями
. Найти минимальное расстояние между частицами внеподвиж­ной системе отсчета ивсистеме отсчета одной изчастиц.
4. Релятивистская частица распадается надва фотона. Углы вылета фотонов относительно исходного движения частицы равны 30 и 60 градусов. Суммарная энергия
фотонов равна
=
. Найти массу распавшейся
18
−
10E Дж
частицы иее скорость.
5. Частица с массой налету надве одинаковые частицы массы
и энергией E распадается
, при этом одна изчастиц полетела под прямым углом относительно направления начального движения. Найти энергии конечных частиц.
134
8. ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
ν→∞
Eh= ν
ν
8.1. Предпосылки возникновения квантовой механики
Классическая физика, базирующаяся на механике и на электродинамике Максвелла, адекватно описыва­ющая картину макромира, при попытке применить ее результаты кмикромиру столкнулась срядом проблем.
Так, язык классической физики предполагает, что, если физическая величина является непрерывной функ­цией внекоторой окрестности пространства состояний, то она может принимать все значения изнекоторого проме­жутка. Вчастности, это справедливо для такой величины, как энергия. Однако, оказалось, что это предположение является камнем преткновения при попытке описать уже известные явления микромира.
Одной из первых проблем, с которой столкнулась классическая физика, оказалась связанной с тепловым излучением и,в частности, с формулой Рэлея-Джинса (6.70). При ятельство получило название «ультрафиолетовая ката­строфа».
В 1900году Макс Планк выдвинул гипотезу, что при тепловом излучении энергия выделяется ипоглощается дискретными порциями вида
интеграл (6.69)расходится. Это обсто-
— частота излучения, аh — универсальная вели-
где чина, которая называется теперь постоянной Планка.
(8.1)
135
Гипотеза Планка позволила предложить скорректиро-
ve
  
ex
hkTν
с
E
h
ν
ванную формулу (6.70), применимую втом числе идля произвольно высоких температур ичастот:
ρ= −
c
πν
() 1
kT
2
(8.2)
1
−
h
ν
3
2
h
Из эквивалентности бесконечно малых величин
x
−
1
следует, что при
0
→
правые части
(8.2)и(6.70)эквивалентны, то есть формула Планка пере­ходит вформулу Рэлея-Джинса.
Таким образом свет, который вклассической термо­динамике рассматривался исключительно как волна, вновой концепции обрел свойства частицы. Эта частица получила название фотон. Фотон неимеет массы покоя идвижется (ввакууме) соскоростью
. Вто же время для
него справедливо соотношение (7.55), которое обращается
||
pp
вравенство
= =
, исучетом (8.1):
c
p
=
(8.3)
c
Соотношение (8.3)связывает количественные харак­теристики, присущие частице (импульс) иволне (частоту).
Дискретность энергии электромагнитного излучения позволяет объяснить такое явление как стабильность атома. Дело втом, что, согласно классической электроди­намике Максвелла, электрон (носитель электрического заряда), вращаясь вокруг ядра, то есть двигаясь сускоре­нием, должен непрерывно излучать электромагнитные волны, теряя энергию, и в результате упасть на ядро
(порасчетам примерно за
136
1010−
секунды).
Теория Н.Бора, основанная нагипотезе Планка, пред-
Eh∆
полагает, что электрон обладает «стационарными» состо­яниями, вкоторых излучение непроисходит. Испуска­ется же фотон только при переходе электрона содного энергетического уровня надругой, причем соответствую-
щая частота фотона, согласно (8.1)равна
.
Позднее были всвою очередь обнаружены свойства массивных частиц (электронов), присущие волнам. Так, пропуская направленный пучок электронов через золо­тую фольгу (опыт Дж. Томсона), можно наблюдать кар­тину дифракции подобную той, которая наблюдается для видимого света.
В результате была развита концепция корпускулярно­волнового дуализма, присущего объектам микромира. Микрообъекты обладают свойствами и частиц, иволн, проявляя те идругие вразличных экспериментах. Раз­витие этой концепции привело кнеожиданным результа­там таким, например, как отказ отпонятия определенной траектории для частицы инеобходимость использования вероятностного подхода.
Переход от непрерывной интерпретации физиче­ской величины кдискретной называется квантованием. Квант— это минимальное значение, на которое может измениться величина.
Официальное признание квантовая теория полу­чила после доклада Н.Бора наКонгрессе вКопенгагене в 1926 году. Появился даже термин «копенгагенская интерпретация», в соответствии с которой квантовая механика является статистической теорией.
По сути, язык квантовой механики — это раздел математики, используемый для описания явлений микро­мира. Здесь мы приведем очень упрощенную формули­ровку основных исходных его положений.
137
8.2. Состояния системы
qq q
Xqq=
(,,)
= =
(,,)
xyz
= =
В физике макромира состояние системы задается конкретными значениями обобщенных координат. Физические же величины рассматриваются как функ­ции (скалярные или векторные) напространстве состо­яний и,следовательно, если состояние задано, физиче­ская величина принимает единственное определенное значение.
Как указывалось в8.1, физические величины, вклю­чая сами обобщенные координаты, могут неиметь опре­деленного значения и,значит, их следует рассматривать как случайные величины, имеющие некоторое распреде­ление. Измерение (получение конкретного числового зна­чения) физических величин представляет собой наблюде­ние случайной величины.
( ,.., )
При этом обобщенные координаты должны допускать одновременное измерение, то есть функция совместного распределения распадается впро-
изведение:
q q Fq FqΦ = ⋅⋅
1 11
n nn
.
( ,.., ) ( ) ... ( )
Выбор конфигурационного пространства
{ ,.., }
1
называется представлением. Наиболее
n
часто используются координатное представление, вкото­ром вкачестве обобщенных координат выступают декар-
товы координаты элементов системы: иимпульсное:
q p ppp
.
Здесь важно заметить, что в классической меха­нике конфигурационное пространство задается опреде­ленными значениями икоординат, искоростей (то есть импульсов при заданных массах). Новквантовой меха­нике это невозможно. Как будет отмечено позднее, коор­динаты иимпульс квантового объекта немогут одновре­менно иметь определенное значение.
Для задания распределения обобщенных координат вводится понятие волновой функции.
=
1
n
q r xyz
138
Определение 8.1.
qq q
() () ()q u q iv qψ= +
XΩ⊂
ψ=
()Lq
XR⊂
XR=
()qψ
ψ
H
ψ
Пусть выбрано представление физической системы и
( ,.., )
=
1
— обобщенные координаты. Волновой функ-
n
цией называется комплекснозначная функция
, такая, что для любой области Ω конфи-
гурационного пространства справедливо равенство
( ) | ( )|P q q dq
∈Ω = ψ
∫
Ω
2
,
. (8.4)
Очевидно, что интеграл квадрата модуля по всему конфигурационному пространству равен единице:
2
| ( )| 1
q dq
∫
X
(8.5)
то есть волновая функция есть нормированный наеди-
2
ницу элемент
(см. П2.8). Также изопределения сле-
дует, что волновая функция определена с точностью
ieα
домножителя
, модуль которого равен единице.
Следует заметить, что конфигурационное простран­ство может быть континуальным, то есть представлять
n
собой область n-мерного пространства: мерное пространство:
n
. Такая ситуация имеет
или все n-
место вкоординатном иимпульсном представлении. Но, вообще говоря, конфигурационные пространства имеют различные структуры, втом числе они могут быть дис­кретными. В этом случае интегралы (8.4), (8.5) имеют смысл суммирования.
В общем случае волновая функция вляется снормированным наединицу вектором бертова пространства
. Этот вектор называется векто-
отождест-
гиль-
ром состояния, ипри этом используется термин «система находится всостоянии
».
139
8.3. Операторы физических величин
F
ψ
H
H
HH
F
**
º
FH H
ψ
º
()
ψ
11
ni n
qqq qqq
F
F

В квантовой механике физические величины явля­ются функциями случайных величин— координат кон­фигурационного пространства. Таким образом физиче­ские величины также являются случайными, причем их
F
распределение зависит отсостояния. Обозначим чайную величину— значения физической величины
когда система находится всостоянии
.
В квантовой механике постулируется, что каждой физической величине ставится всоответствие линейный оператор, действующий наволновую функцию.
Подробнее: пусть
— пространство основных функ­ций наконфигурационном пространстве, а странство обобщенных функций (см. П2.8); при этом име-
*
⊂
ется включение
. В квантовой механике
постулируется что каждой физической величине
:
→
вится всоответствие оператор
.
То есть образом обобщенной функции оказывается обобщенная функция. Следует сразу отметить, что обра­зом основной функции также может быть обобщенная функция, то есть если интеграл квадрата модуля функции
сходится, интеграл квадрата модуля функции
может расходиться.
При этом выполняются следующие условия:
q
1. Оператор
, соответствующий обобщенной коор-
i
динате, действует как обычное умножение:
слу-
ψ
*
— про-
ста-
F
2. Явный вид оператора нальному выражению величины сической физике величина
обобщенных координат, то
14 0
( ,.., ) ( ,.., )
ψ=ψ
i
F
соответствует функцио-
, то есть если вклас-
есть функция
( ,.., )
F Fq q=
1
.
( ,.., )
Fq q
1
n
.
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности