Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
81
уравнение звена имеет один нулевой и один «левый» корень, то
(
)
(
)
=
=
1
T
-
()()(
)
замкнутая система, полученная охватом звена единичной отрицательной обратной связью, будет устойчива.
Проведем анализ устойчивости разомкнутой и замкнутой
системы рис. 36.
5. Проанализируем устойчивость разомкнутой системы по
корням характеристического уравнения системы.
Передаточная функция разомкнутой системы, полученная
последовательным соединением ПИД-регулятора и реального
интегрирующего звена, имеет вид:
æ
()
ç
è
После приведения первого сомножителя к общему знаменателю, передаточную функцию разомкнутой системы можно
записать как
()
sW
= . (31)
Ki
KnsW
s
( )
Характеристическое уравнение системы получим из знаменателя правой части выражения (31):
Уравнение (32) имеет два нулевых корня:
21
и один отрицательный действительный
1
s
= ,
3
ö
sKd
×++=
÷
ø
sKdsKnKik
×+×+
2
s1sT1
×+×
2
(32)
.0s1sT1
=×+×
0ss
k
( )
2
.
s1sT1
×+×
следовательно, разомкнутая система является неустойчивой.
6. Функция Михайлова для разомкнутой системы соответ-
ственно равна
2
Для построения графика функции ( годографа Михайлова)
в Mathc ad, зададим функцию, пределы и шаг изменения частоты:
D w() jw×( )2jw× T1× 1+()×:=
,
. (33)
1j1TjD
+w×××w×=w
w 0 0.01, 2..= .
82
Вид годографа функции Михайлова показан на рис. 40.
(
)
()(
)
0
ImDw()( )
Рис. 40. Годограф функции Михайлова для разомкнутой системы
Анализ годографа показывает, что характеристическое
уравнение (32) не имеет правых корней, так как годограф уходит в бесконечность в третьей четверти, но поскольку он выходит из начала координат и сразу попадает в третью четверть,
уравнение имеет два нулевых корня и система неустойчива.
Исследование устойчивости замкнутой системы при различных значениях заданного коэффициента, например Ki.
Передаточная функция замкнутой системы с отрицательной единичной обратной связью равна
где W(s) – передаточная функция разомкнутой системы.
Для дробной передаточной функции разомкнутой системы
передаточная функция замкнутой системы после подстановки
(35) в (34) может быть записана в виде:
Учитывая, что числитель передаточной функции разомк-
нутой системы (31) равен
натель
системы будет равна
2-
4-
4- 2- 0
ReDw()( )
()
sWz+=
()
sW =
()
sWz+=
2
, передаточная функция замкнутой
s1sT1sA ×+×=
)s(W
, (34)
)s(W1
)s(B
(35)
)s(A
)s(В
. (36)
)s(A)s(В
2
, а знаме-
sKdsKnKikB(s) ×+×+=
83
2
()()()(
)
(
)
()()(
)
()(
)
1
Т
×
1
Т
×
1
Т
1KiKi
=
sKdsKnKi
,
0Kik1dKkωDzRe
=×+w×+×-=
Kn
1dKkKi ×+×= .
×+×+
22
(37)
. (38)
22
sKdsKnKiks1sT1
×+×+×+×+×
jωKdjωKnKikjω1jωT1ωDz ×+×+×+×+×=
0Kik
()
ksWz
= .
( )
7. Выполним анализ устойчивости системы по критерию
Михайлова. Функцию Михайлова для замкнутой системы получим из знаменателя передаточной функции (37), заменив в
нем s на jω
Чтобы определить критическое значение коэффициента
Ki, при котором система находится на границе устойчивости,
разделим функцию Михайлова (38) на действительную и мнимую части и приравняем каждую из них нулю. В этом случае
годограф пройдет через начало координат.
2
3
Разделим уравнение для мнимой части на ω, выразим от-
сюда ω2 и подставим его в уравнение для действительной части:
Knk
2
ω
= ,
Из полученного уравнения для коэффициентов находим Ki:
( )
1dKk =×+
×+×- .
( )
.
0ωKnkωT1ωDzIm
=××+×-=
Knk
( )
Задаем произвольно положительные значения коэффициентам Kn, Kd и находим критическое значение Ki. Пусть Kn:=1,
Kd:=1, тогда Ki1=4. Выбираем еще два значения для Ki, больше и меньше Ki1: Ki2=2, Ki3=6. Строим годографы функции
Михайлова для этих трех значений Ki (рис. 41). Как видно из
графиков, при
динат, и замкнутая система будет находиться на границе колебательной устойчивости; при Ki=Ki2<Ki1 действительная часть
функции Михайлова изменит знак быстрее, нежели мнимая и
годограф Михайлова пройдет слева от начала координат, что
соответствует по критерию Михайлова устойчивой системе; при
Ki=Ki3>Ki1 годограф Михайлова пройдет с первой в четвертую четверть, а затем в третью, нарушая порядок прохода четвертей, и система будет неустойчивой.
годограф проходит через начало коор-
84
(
)
(
)
ç
ç
è
÷
÷
ø
ç
ç
è
÷
÷
ø
Im Dz w Ki1, ( )( )
-
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
Im Dz w Ki2, ( )( )
2
12- 8- 4- 0 4 8 12
Im Dz w Ki3, ( )( )
Re Dz w Ki1, ( )( ) Re Dz w Ki2, ( )( ), Re Dz w Ki3, ( )( ),
Рис. 41. Годографы функции Михайлова для замкнутой системы
8. Для анализа устойчивости по корням характеристиче-
ского уравнения замкнутой системы запишем это уравнение и
найдем его корни при различных значениях Ki:
T1s× 1+( )s2× k Ki1 Kn s×+ Kds2×+
T1s× 1+( )s2× k Ki2 Kn s×+ Kds2×+
T1s× 1+( )s2× k Ki3 Kn s×+ Kds2×+
В первом случае имеем два чисто мнимых корня и один
отрицательный действительный, следовательно, система находится на границе колебательной устойчивости, во втором – все
корни «левые» и замкнутая система устойчива, в третьем – два
корня правых и система неустойчива.
9. Для анализа устойчивости замкнутой системы по кри-
терию Найквиста следует построить частотную характеристику
разомкнутой системы и, поскольку, она имеет разрыв на
( )
×+
( )
×+
( )
×+
2-
4-
22
=0,
sKdsKnKiks1sT1 ×+×+×+×+×
solve s,
float6,
solve s,
float4,
solve s,
float4,
®
æ
®
æ
®
1.63299i-
1.63299i
3.669-
0.1653- 1.194i+
0.1653- 1.194i-
4.257-
0.1283 1.935i+
0.1283 1.935i-
4.0
,
ö
,
ö
.
85
нулевой частоте (разомкнутая цепь содержит два интегрирую-
ëùû
щих звена), дополнить годограф полуокружностью, начинающейся на положительной действительной полуоси и проходящей по часовой стрелке две четверти до пересечения с годографом.
Частотная характеристика разомкнутой системы описывается выражением
W w Ki, ( ) Kn
é
Ki
+ Kdjw×( )×+
j w×
×:=
T1j×w× 1+( )j×w×
k
.
Графики частотной характеристики разомкнутой системы
для различных Ki показаны на рис. 42.
2
ImWw Ki1, ( )( )
ImWw Ki2, ( )( )
ImWw Ki3, ( )( )
2sin w()×
Рис. 42. АФЧХ разомкнутой системы при различных Ki
4- 3- 2- 1- 0 1 2
ReWw Ki1, ( )( ) ReWw Ki2, ( )( ), ReWw Ki3, ( )( ), 2 cos w()×,
1
1-
2-
Поскольку характеристическое уравнение разомкнутой
системы не содержит правых корней и, в соответствии с критерием Найквиста, годограф функции W(w,Ki2) совместно с дополняющей дугой окружности, как не охватывающий точку с
координатами (-1, j0), соответствует устойчивой замкнутой системе. Годограф функции W(w,Ki1) соответствует системе, находящейся на границе устойчивости, так как он проходит через
точку (-1, j0), годограф функции W(w,Ki3) - неустойчивой системе, поскольку он совместно с дополняющей дугой окружности охватывает точку (-1, j0) .
86
Задание
Для заданной преподавателем передаточной функции звена из (24)-(28) выбрать коэффициенты в табл. 7-9 в соответствии
со своим вариантом. Провести анализ устойчивости звена, разомкнутой и замкнутой системы с ПИД-регулятором.
Содержание отчета
В отчете привести:
- структурную схему замкнутой исследуемой системы;
- передаточную функцию исследуемого объекта;
- результаты исследования объекта на устойчивость;
- передаточную функцию разомкнутой системы;
- результаты исследования разомкнутой системы на ус-
тойчивость;
- передаточную функцию замкнутой системы;
- результаты исследования замкнутой системы на устой-
чивость;
- сделанные выводы об устойчивости объекта, разомкну-
той и замкнутой систем.
Контрольные вопросы
1. Как формулируется общее определение устойчивости
системы (движения) по Ляпунову?
2. Как оценить устойчивость по коэффициентам и корням
характеристического уравнения системы?
3. Как определить устойчивость системы с помощью ал-
гебраических критериев?
4. Что такое годограф Михайлова и как определяется ус-
тойчивость по критерию Михайлова?
5. Как определить устойчивость замкнутой системы по
АФЧХ разомкнутой по критерию Найквиста?
6. Как определить устойчивость замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы?
7. Как определить запас устойчивости по амплитуде и
фазе для замкнутой системы по АФЧХ и ЛЧХ разомкнутой
системы?
87
Лабораторная работа № 5.
s
ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы: получение навыков по оценке качества пе-
реходных процессов в замкнутых системах автоматического
управления и исследованию влияния коэффициентов регулятора на показатели качества переходных процессов замкнутых
систем.
Порядок выполнения работы
Для замкнутой системы (рис. 36), содержащей объект с передаточной функцией (24)-(28), заданной преподавателем, и
пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор
(ПИД-регулятор) с передаточной функцией
()
провести исследование влияния коэффициентов регулятора на
устойчивость системы, скорость сходимости переходного процесса (время регулирования), величину перерегулирования, значение установившейся ошибки, на значения интегральной и
интегральной квадратичной ошибок, степень устойчивости и
колебательность переходного процесса.
Ki
KnsWp ×++= , (39)
sKd
Теоретические сведения
Основными прямыми показателями качества регулирования, определяемыми по переходным процессам, являются: время регулирования tp, величина перерегулирования, частота колебаний, число колебаний за время регулирования, декремент
затухания k, величина ошибки в установившемся состоянии.
Показатели, вычисляемые без получения переходных процессов,
относят к косвенным. Косвенные показатели условно делят на
три группы: интегральные, корневые и частотные. Наиболее
часто используемыми интегральными показателями являются
линейная и квадратичная интегральные ошибки, корневыми –
степень устойчивости и колебательность системы. Это разделе-
88
ние показателей на прямые и косвенные является весьма услов-
(
)
-
T
ным, так как интегральные показатели могут быть получены как
по переходным процессам, так и по передаточным функциям.
Также можно двумя методами получить установившуюся ошибку.
Время регулирования tp определяется как минимальное
время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точ-
ностью D (рис. 43):
Рис. 43. Характеристики переходного процесса
hhth ×D£- при
устуст
tt ³
.
p
Перерегулированиеσ - это относительное отклонение
максимального значения переходного процесса от установившегося значения, выражаемое обычно в процентах
hh
устmax1
σ
= .
h
уст
Частота колебаний равна
100
×
ω =
2π
, где Т - период колебаний.
Декремент затухания k определяется как отношение двух
hh
-
смежных перерегулирований:
κ
= .
устmax1
hh
-
устmax2
Установившаяся ошибка регулирования – это предел
ошибки e(t ) =g - h(t) регулирования при бесконечном возрастании времени:
89
()(
)
sslimEtelime
×==
(
)
(
)
уст
.
0st
®¥®
Наиболее широко используемые интегральные показатели
качества регулирования это интегральная оценка (ошибка):
T
()
=
ò
0
dtteJ1 ,
и интегральная квадратичная оценка (ошибка):
T
2
()
=
ò
0
dtteJ2 ,
где Т - достаточно большое значение времени, обеспечивающее
окончание переходного процесса.
При бесконечно большом Т – интегральная оценка может
быть определена с помощью предельного перехода для функции-оригинала и ее изображения по Лапласу:
T
() ()
ò
T ®¥®
0
=
sElimdttelim
.
0s
Степень устойчивости η определяют как минимальное
расстояние от мнимой оси до ближайшего левого корня характеристического уравнения устойчивой системы:
sRemin=h ,
i
где
i
sRe - действительная часть i-го корня характеристическо-
i
го уравнения, . - операция выделения модуля.
Степень устойчивости определяет быстродействие системы: чем она выше, тем больше быстродействие, тем меньше
время регулирования. Время регулирования можно оценить по
степени устойчивости как
t
p
1
£1ln
ö
æ
,
÷
ç
Dh
ø
è
где D - допустимое относительное отклонения переходного про-
цесса от установившегося значения, выбираемое обычно из ряда: 0,01; 0,02; 0,05; 0,1.
90
Колебательность системы определяют как максимальное
(
)
для всех корней характеристического уравнения отношение
мнимой части корня к действительной:
sIm
max=m .
i
i
()
sRe
i
Чем выше колебательность системы, тем больше перерегулирование и тем больше число колебаний за время регулирования.
Показатели качества регулирования связаны с коэффициентами передаточных функций элементов замкнутой системы
нелинейно, и выразить их непосредственно через коэффициенты
достаточно сложно. Поэтому в практике широко используют
косвенные методы оценки влияния коэффициентов регуляторов
и корректирующих устройств на показатели качества регулирования через частотные характеристики.
Mat hcad позволяет достаточно просто моделировать переходные процессы, частотные характеристики, получить корни
характеристических уравнений для различных наборов коэффициентов регулятора, что дает возможность оценить влияние изменения каждого коэффициента на качество регулирования.
Пример выполнения
Для объекта с передаточной функцией (27) выражения для
передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем, переходного процесса и ошибки в изображениях по Лапласу имеют вид:
- передаточная функция разомкнутой системы
Ws()
Ki Kn s×+ Kds2×+
s
×=
T1s× 1+( )
k
,
2
- передаточная функция замкнутой системы
Wzs()
Wzs()k
=
Ws()
1 Ws()+
=
,
Ki Kn s×+ Kds2×+
2
s T1s× 1+( )
× k Ki Kn s×+ Kds2×+
( )
×+
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]