Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
111
где x, y, u - векторы координат состояния системы, выходов
CxyBxAx=×+×=
&
(
)
(
)
(
)
объекта и управлений; A, B, C – матрицы коэффициентов.
Если все переменные x( t ) состояния могут быть измерены
или вычислены, возникает возможность управления каждой со-
ts
ставляющей
i
e переходного процесса замкнутой системы, где
si - i-й корень характеристического уравнения замкнутой систе-
мы. Эти составляющие называются модами, а способ управле-
ния, основанный на размещении корней характеристического
уравнения определенным образом, – модальным управлением.
Переменные состояния могут быть измерены с помощью
соответствующих средств измерения. Тогда регулятор, использующий обратные связи по переменным состояния, называется
регулятором состояния. При этом качество переходного процесса определяется расположением корней s
на комплексной
i
плоскости, которое, в свою очередь, зависит от коэффициентов
передачи цепей обратной связи.
Приведени е системы в любое заданное состояние означает
принципиальную возможность управляемости, а возможность
определения состояния системы по результатам измерений - наблюдаемости.
Рассмотрим полностью управляемый объект с одним
управляющим воздействием u (скалярное управление), уравнения состояния и выходов которого имеют вид подобный (43)
,u
, (44)
где u - управление; B - вектор коэффициентов управления.
Все п еременные состояния х
t , выходы объекта y
i
t и управ-
j
ление u(t) – представлены отклонениями от номинальных установившихся значений, причем, переменные состояния могут
быть измерены и использованы при построении регулятора состояния. Система в этом случае называется системой с полной
информацией о состоянии.
В качестве регулятора часто используют пропорциональный регулятор, формирующий управление по переменным состояния
Т
(45)
,u
gxК -×-=
112
где K - вектор коэффициентов регулятора; Т - признак транспо-
[
]
&
BAxx+=
&
[
]
нирования, g – вектор заданий для переменных состояния.
Подставляя уравнение регулятора (45) в уравнение состояния (44), получим уравнение состояния для замкнутой системы
ТТ
. (46)
gKBxKBAx
×+××-=
Синтез регулятора состояния заключается в определении
вектора коэффициентов передачи К из условия обеспечения желаемого расположения корней характеристического уравнения
замкнутой системы, обеспечивающего необходимые динамические свойства системы.
Решают задачу синтеза модального регулятора методом,
использующим матричные преобразования. Этот метод состоит
из следующих этапов.
1. При известном математическом описании объекта
управления составляют уравнение состояния .u
2. Вычисляют матрицу управляемости объекта
1n2 -
=
BAB,...,AAB,B,U
и проверяют совпадение ранга этой матрицы с размерностью
системы. Рангом матрицы называют максимальный порядок её
диагонального определителя, отличного от нуля. Если ранг матрицы управляемости равен порядку системы n, то система будет полностью управляема.
3. Определяют характеристический многочлен матрицы А
по формуле
n
А
AI
1n
-
1n
-
.
asа...sаs)s(det)s(D ++++=-×=
01
4. Если система полностью управляема, то матрицы A и
B записываются в так называемой канонической форме Луенбергера
0...010
é
ê
*
ê
=
A и
ê
ê
ë
ù
ú
0...100
ú
ú
....
ú
----
a...aaa
-1n210
û
0
ù
é
ú
ê
0
*
ú
ê
=
B .
ú
ê
...
ú
ê
1
û
ë
113
Элементы последней строки матрицы А* равны коэффи-
BxAx+
=
&
[
]
ITТ1=
&
BxAx+
=
&
xТx
&
&
=
*,Txx=
*
ТAT
A-=
*
ТBB=
*
циентам характеристического полинома матрицы А, взятыми со
знаком минус. Измененным матрицам А* и В* соответствует
новое уравнение состояния объекта
.u****
5. По матрицам А* и В* составляют новую матрицу
управляемости
1n2
-
******** BA,...,BA,BA,BU
×××=
и находят матрицу перехода от исходного уравнения к преобразованному в каноническую форму
.U*UT1-=
Переход от исходного уравнения к преобразованному
осуществляется умножением слева каждого слагаемого исходного уравнения на матрицу Т, а также умножением матрицы А
справа на
Сопоставляя последнее уравнение с
-
1+=-
, т. е.
uТBTxТATxТ
.
,
u****
можно записать соотношения между исходными матрицами, а
также векторами, и преобразованными:
,
1
,
.
Линейное преобразование дифференциального уравнения
не изменяет корней характеристического уравнения.
6. По заданным показателям качества строят область до-
пустимых корней характеристического уравнения замкнутой
системы и выбирают n корней характеристического уравнения.
Используя выбранные корни, записывают характеристический
полином замкнутой системы в форме Безу
n
( )
-=
ss)s(D .
Õ
=
iж
1i
и, раскрывая скобки, сводят подобные члены
ж
n
1n
-
1n
-
.
bsb...sbs)s(D ++++=
01
114
7. Вычисляют компоненты канонического вектора обрат-
К
ной связи
)s(D
p
*
как разность коэффициентов полиномов )s(D
:
*
i
=-=
ii
.
n,...1i,abк
ж
8. С помощью матрицы преобразования Т преобразуют
коэффициенты вектора К* из канонического базиса, в котором
они определены, в естественный базис, в котором записаны исходные уравнения состояния, т.е. определяют вектор К = К*Т·Т .
Коэффициенты этого вектора к
и являются коэффициен-
i
тами передачи обратной связи, при которых обеспечивается желаемое поведение системы, соответствующее характеристическому полиному )s(D
.
ж
9. По уравнению (46) записывают матричное уравнение
для вектора переменных состояния замкнутой системы в преобразованиях Лапласа для нулевых начальных условий
ТТ
. (47)
)s()s()s(
GKBXKBAI ×=×+-×
Из (47) получают характеристический полином замкнутой
системы с учетом вычисленных в п. 8 коэффициентов регуля-
тора
Т
0)s(det)s(D
=×+-×= KBAI
и сравнивают с )s(D
. Полиномы должны совпадать.
ж
10. По уравнению (47) находят вектор X(s)
-
Т1Т
, (48)
)s()s()s(
GKBKBAIX ××+-×=
затем Y(s)=CX(s).
Выполнив обратное преобразование Лапласа от Y(s), по-
лучают вектор переходных процессов для выходов.
Строят переходные процессы, определяют показатели качества.
и
Пример выполнения
Для объекта с передаточной функцией
)s(Wo++=
Ko
)1s2T)(1s1T(
115
и исполнительного механизма с передаточной функцией
=
×
=
(
)
1
T
1
T
s/Kи)s(Wи
,
при Ko=2, Т1=10, Т2=20, Ки=0,5 определить коэффициенты модального регулятора, обеспечивающие в замкнутой системе ре-
гулирования степень устойчивости не ниже h = 0,1 и колеба-
тельность не более m = 1,9. При таких показателях время регу-
лирования не должно превысить 30 с при Δ = 0,05 и величина
перерегулирования не должна быть больше 20 %.
Синтезируем модальную систему в соответствии с приведенным алгоритмом.
1. Объект управления с исполнительным механизмом можно представить в виде последовательного соединения интегрирующего звена и двух апериодических первого порядка (рис. 49).
Рис. 49. Схема объекта управления
Обозначив выходы звеньев как х
, х2, х3 и переходя от пе-
1
редаточных функций к дифференциальным уравнениям, запи-
шем систему уравнений Коши для переменных состояния.
Для интегрирующего звена
)s(X
1
®==
)s(U
.
)t(uKи)t(x
1
)s(UKи)s(sX
,
или
Kи
)s(Wи
s
'
1
×=
Для второго звена
1
или )t(x
+
1s1T
Ko
'
)t(x
2
Ko
=
)s(W
)s(X
2
®=
)s(X
1
1
)t(x
×-×= .
21
)s(XKo)s(X1s1T
×=+
,
12
116
Аналогично для третьего звена
(
)
=
+
2
T
2
T
СхBAxx=+=
&
[
]
2
'
)t(x
3
+
1s2T
1
)t(x
1
=
)s(W
3
2
1
)s(X
®=
)s(X
)t(x
×-×= .
32
Выход объекта y(t)=x3(t).
В матричной форме систему уравнений можно записать
как:
уu,
,
где
é
ê
ê
Ko
A
ê
ê
ê
0
ê
ë
1
-=
1T
1T
1
2T
ù
ú
000
ú
0
,
ú
ú
1
ú
ú
1T
û
x
ù
é
1
ú
ê
=
x
x ,
2
ú
ê
ú
ê
x
3
û
ë
Kи
ù
é
ú
ê
=00
B ,
ú
ê
ú
ê
û
ë
é
ê
=
C .
ê
ê
ë
В численном выражении
000
é
ê
ê
ê
ë
,,A ,
ù
ú
01020
ú
ú
--=0500500
,,
û
50,
ù
é
ú
ê
=00
B .
ú
ê
ú
ê
û
ë
)s(X)s(X1s2T
,
23
000
ù
ú
000
ú
ú
100
û
2. Составим матрицу управляемости
=
é
ê
Так как
2
-=
ê
ê
ë
,,A ,
-
1n2 -
.
BAB,...,AAB,B,U
000
ù
ú
0010020
ú
ú
0025000750010
,,.
û
117
,
ТAT
A-=
*
ТBB=
*
é
то
ê
U .
ê
ê
ë
0050
ù
ú
-=
010100
,,
ú
ú
005000
,
û
Определитель этой матрицы не равен нулю, следователь-
но, ее ранг равен трем.
3. Характеристический многочлен матрицы А
А
3
2
2
01
4. Используя результаты п. 3, запишем матрицы А и В в
канонической форме Луенбергера
010
é
ê
=
*A ,
ê
ê
ë
ù
ú
100
ú
ú
--
15000500
,,
û
0
ù
é
ú
ê
=10
*B .
ú
ê
ú
ê
û
ë
5. По матрицам А* и В* составим новую матрицу управ-
ляемости
100
-==
0175,015,01
[ ]
2
****** BA,BA,BU
é
ê
ê
ê
-
ë
Находим матрицу перехода
1
-
,
U*UT
×=
20000
é
ê
T .
ê
ê
-
ë
ù
ú
-=
10100
ú
ú
50512
,,
û
Проверим выполнение равенств
1
,
.
23
++=+++=-×= AI
.
s005,0s15,0sasаsаs)s(det)s(D
ù
ú
15,010
.
ú
ú
û
6. По степени устойчивости и колебательности выберем
три корня характеристического уравнения замкнутой системы
s1=-η=-0,1; s2=-0,2+j0,38; s3=-0,2-j0,38.
118
Запишем характеристический полином
К
ж
ж
23
23
+++=
.01844,0s224,0s5,0s)s(D
,
ssss)ssssss()sss(ss)s(D -+++++-=
321323121123
7. Вычислим компоненты канонического вектора обрат-
ной связи
)s(D
p
*
как разность коэффициентов полиномов )s(D
: k1*=0,01844-0; k2*=0,224-0,005=0,219; k3*= 0,5-0,15=
ж
=0,35
018440
,
é
ê
=
*К .
ê
ê
ë
ù
ú
2190
,
ú
ú
350
,
û
8. С помощью матрицы преобразования Т преобразуем
коэффициенты вектора К* из канонического базиса, в котором
они определены, в естественный базис, в котором записаны исходные уравнения состояния, т. е. определим вектор К = К*Т·Т:
70
,
ù
é
ú
ê
=
6691
,
К .
ú
ê
ú
ê
6691
,
û
ë
9. Записываем матричное уравнение для вектора перемен-
ных состояния замкнутой системы в преобразованиях Лапласа
для нулевых начальных условий
ТТ
.
)s()s()s(
GKBXKBAI ×=×+-×
Рассчитаем
ж
23
+++=
. Полиномы равны.
01844,0s224,0s5,0s)s(D
Т
и сопоставим с
)s(det)s(D
KBAI ×+-×=
10. Для замкнутой системы (рис. 50) построим переходные процессы выхода и управления, причем, примем задание
для у равно двум и пересчитаем его для вектора g, используя
коэффициенты передаточной функции объекта:
g3=y
g2=2, так как коэффициент передачи от х
=2, так как x3=y;
заданное
к х
(у третьег о
2
3
звена) равен единице;
и
119
g1=2/Ко, так как коэффициент передачи от х
(
)
[][][
]
-×+-×+-×=
40
к х
1
(у второ-
2
го звена) равен Ко.
Рис. 50. Структурная схема модальной системы регулирования
Для определения переходного процесса решим матричное
уравнение (48)
1
-
при
Т
T
2
2
2
æ
s
=)G(
ç
sKo
×
è
ö
.
÷
s
s
ø
T
)G(КВКВАI)X(
×××+-×=
sss
,
Затем выполним обратные преобразования Лапласа для компонентов вектора Х(s), присвоим y(t):= х3(t), а управление вычислим как
.)t(x)t(gk)t(x)t(gk)t(x)t(gk)t(u
333222111
Графики переходного процесса для выхода объекта y(t) и
управляющего воздействия u(t) приведены на рис. 51, 52.
2
yt()
1
0
0 10 20 30
t
Рис. 51. Переходный процесс для выхода объекта
120
5
ut()
0
5
0 5 10 15 20 25 30
t
Рис. 52. Управляющее воздействие
Как видно из рис. 52, выход объекта с точностью Δ=0,05
сошелся к заданному значению 2 за время около 30 с. Перерегулирование отсутствует.
Задание
Рассчитать коэффициенты настройки регулятора заданной
структуры, построить графики управляющего воздействия и выхода системы при нулевых начальных условиях, используя данные табл. 11.
Содержание отчета
В отчете привести:
- структурную схему разомкнутой системы;
- систему дифференциальных и алгебраических уравне-
ний, описывающих объект управления, и полученных по заданной передаточной функции;
- уравнения, записанные в матрично-векторной форме,
матрицу и векторы коэффициентов в естественном базисе;
- матрицу управляемости для естественного базиса;
- характеристический многочлен матрицы состояний;
- матрицу и векторы коэффициентов в канонической фор-
ме Луенбергера;
- матрицу управляемости для канонического базиса;
- матрицу переходов между естественным и каноническим
базисами;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]