Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
151
400
0.15
ê
ë
ú
û
2
èöø
ê
ë
ú
û
0.1
R
0.05
i
0
0.050 100 200 300
i
Рис. 72. Корреляционная функция y(t)
Спектральную плотность сигнала y(t) (рис. 73) вычислим
для контроля двумя методами: Sk- через дискретное преобразование Фурье сигнала y(t) и STk - как произведение спектральной
плотности исходного случайного процесса и квадрата АЧХ звена:
×+
å
n
m
=
1
æ
Rncos2
×
è
æ
× n× k×
è
p
m
ö
ø
ö
ø
ù
,
é
SkDtR02
×:=
A2 w T1f, T2f, Kf, ( ) ReWwT1f, T2f, Kf, ( )( )2ImWw T1f, T2f, Kf, ( )( )
STkSNkA2kDw× T1f, T2f, Kf, ()×:=
S
ST
1.5
1
k
0.5
k
0 20 40 60 80 100
0.5-
Рис. 73. Спектральные плотности y(t)
.
+:=
k
Средние квадраты случайного процесса y(t):
D
æ
× 0.103=:=
2 p×
å
k
é
2Dw
S
ù
S
0
-
k
2
,
,
152
DT
èöø
ê
ë
ú
û
(
)
m
-t×
(
)
æ
ç
è
ö
÷
ø
ø
)
èöø
2 p×
Заменим как и в п. 3 исходную корреляционную функцию
процесса y(t) на аппроксимирующую
ST
æ
× 0.096=:=
å
k
é
2Dw
ST
ù
0
-
k
2
.
vtnDtn×:=
( )
,
,
1
÷
÷
( )
.
,
Rap t()P0expP1- t×
:=
параметры аппроксимации Р0 и Р1 которой найдем с помощью
функции Genfit, задав предварительно вектор времени vt,
n0
..:=
- аппроксимирующую функцию и производные от нее по искомым параметрам
P0expP
ç
RatP, ()
- вектор начальных приближений параметров
æèö
VP
:=
и записав обращение к функции
P genfit vt R, VP, Ra, (
:=
Функция Genfit возвратит вектор уточненных параметров
0.126
æ
P
=
0.491
:=
ç
P0- t×expP1- t×
0.3
0.2
.
expP1- t×
Графики исходной корреляционной функции (R) и ап-
проксимирующей (Ra) приведены на рис. 74.
153
èöø
40
0.15
é
êëù
ú
û
200
RatP, ()
R
i
Рис. 74. Корреляционные функции фильтрованного процесса
0.1
0
0.05
0 10 20 30
0.05-
tiDt×,
Спектральные плотности для аппроксимированной корреляционной функции (S) и полученной через амплитудную частотную характеристику фильтра (ST) приведены на рис. 75.
SkDt Rap0()2
×:=
×+
n
m
æ
RapnDt×( )cos2
å
è
1
=
×
æ
× n× k×
è
p
m
ö
ø
ö
ø
.
5. Влияние случайного процесса на ошибку регулирования
рассмотрим для нулевого задания g. Для замкнутой системы
(рис. 66) с ПИД-регулятором и реальным интегрирующим звеном в качестве объекта управления, передаточная функция по
каналу возмущение – выход равна:
Ko
T1s× 1+( )s×
s
ù
û
Ko
×+
T1s× 1+( )s×
.
Fny s Ki, Kn, Kd,( )
:=
1 Kn
æ
é
ë
Ki
+ Kds×+
0.6
S
0.4
k
ST
k
0.2
0 50 100 150
k
Рис. 75. Спектральные плотности фильтрованного процесса
154
Поскольку задание нулевое, ошибка регулирования про-
ëùû
ë
û
)
èöø
ê
ë
ú
û
èöø
ê
ë
ú
û
тивоположна по знаку выходу системы, т.е. e(t)= –y(t), и передаточная функция по каналу возмущение – ошибка также равна
передаточной функции возмущение – выход, взятой со знаком
минус:
Fne s Ki, Kn, Kd,( ) Fny s Ki, Kn, Kd,( )-:=
.
Частотную характеристику запишем по передаточной функции
j 1-:=
Ko
( )
×+
( )
jw×
×
×+
T1jw×
ù
û
Ko
( )
× 1+
( )
jw×
×
( )
Fne w Ki, Kn, Kd,
:=
1 Kn
é
ë
é
Ki
+ Kdjw×
j w×
( )
T1j×w× 1+
Зададим параметры объекта Ko:=2 , T1:=3, упростим час-
тотную характеристику и запишем функцию квадрата АЧХ:
( )
Ane w Ki, Kn, Kd,
Re Fne w Ki, Kn, Kd,
( )( )
2
Im Fne w Ki, Kn, Kd,
+:=
( )( )
Используя спектральные плотности исходного случайного
процесса SNk и фильтрованного Sk для сглаженных корреляционных функций, задав коэффициенты ПИД-регулятора, построим графики квадрата АЧХ и спектральных плотностей для исходного (рис. 76) и фильтрованного (рис. 77), случайного процесса, а также получим значения среднего квадрата ошибки
(дисперсии ошибки): Ki:=1 Kn:=2 Kd:=4:
.
2
.
AkAnekDw× Ki, Kn, Kd, (
:=
Dw
De
p
S1ekSkAk×:=
Dw
D1e
p
SekSNkAk×:=
,
é
Se
æ
× 0.026=:=
å
k
,
é
S1e
æ
× 0.013=:=
å
k
Se
ù
0
-
k
2
S1e
ù
0
-
k
2
,
,
.
155
0.4
Se
0.3
k
SN
k
0.2
A
k
0.1
0 10 20 30 40 50
k
Рис. 76. Спектральная плотность ошибки регулирования, исходного
«белого» шума и квадрат АЧХ
0.6
S1e
k
0.4
S
k
0.2
A
k
0 10 20 30 40
k
Рис. 77. Спектральная плотность ошибки регулирования,
фильтрованного случайного процесса и квадрат АЧХ
Последовательно изменяя значения коэффициентов ПИД –
регулятора, проведем анализ влияния коэффициентов на область
частот пропускания замкнутой системы (положение области, ее
ширину) и как в зависимости от перекрытия этой области со
спектральной плотностью входного процесса изменяется дисперсия ошибки регулирования.
Задание
Передаточную функцию объекта выбрать из табл. 11 в соответствии со своим вариантом. Параметры звена, выполняю-
156
щего фильтрацию «белого» шума выбрать из табл. 15, параметры входного случайного процесса – из табл. 1 6.
Таблица 15
Вариант Кф Т1 Т2 Вариант Кф Т1 Т2
1 1 0.5 1 13 1.5 0.8 1
2 1 0.5 2 14 3.5 1 2
3 2 1 1.5 15 1.5 1 1.5
4 2. 1 2 16 1.5 1.2 2
5 3 1.5 1.5 17 1.5 1.2 1.5
6 3.5 1.5 2 18 15 1.2 2
7 3 1.5 2.5 19 2.5 1.2 2.5
8 2. 1.5 3 20 2.5 2.4 3
9 2 2 2 21 2.5 2.4 2
10 2 2 2.5 22 2.5 2.4 2.5
11 2 2 3 23 2.5 2.4 3
12 2. 2 3.5 24 2.5 2.4 3.5
Таблица 16
Вариант T mN σN Вариант T mN σN
1 100 0 1 14 250 0 1.8
2 100 0 1.5 15 250 0 2.8
3 100 0 2 16 250 0 3.8
4 100 0 2.5 17 250 0 0.8
5 100 0 3 18 250 0 2.2
6 100 0 3.5 19 250 0 1.2
7 200 0 1 20 400 0 3.2
8 200 0 1.5 21 400 0 1.5
9 200 0 2 22 400 0 2
10 200 0 2.5 23 400
11 200 0 3 24 400 1 3
12 300 0 1.7 25 400 1 1.0
13 300 0 2.7 26 400 1 2.0
1
2.5
Содержание отчета
В отчете привести:
- структурную схему исследуемой системы;
- передаточные функции исследуемого объекта, регулятора;
- уравнения, описывающие сигналы в системе;
- графики случайных процессов, корреляционных функ-
ций и спектральных плотностей;
- значения интегральных квадратичных ошибок (средних
квадратов ошибок);
157
- результаты анализа и сделанные выводы о влиянии ко-
эффициентов регулятора на точность отработки входного воздействия.
Контрольные вопросы
1. Что такое случайный процесс?
2. Какими параметрами и функциями описывается случай-
ный процесс?
3. Какой случайный процесс называется стационарным, эр-
годическим?
4. Что такое « корреляционная функция», и что она харак-
теризует?
5. Как определить корреляционную функцию случайного
процесса?
6. Что такое «спектральная плотность» случайного процесса?
7. Как определить спектральную плотность случайного
процесса?
8. Как определить спектральную плотность случайного
процесса, прошедшего через линейную систему?
9. Почему используют сглаживание корреляционной
функции, полученной численно по ограниченной выборке слу-
чайного процесса при вычислении спектральной плотности?
10. Как вычислить спектральную плотность численно с
помощью дискретного преобразования Фурье?
11. Как найти математическое ожидание и дисперсию
ошибки системы регулирования при случайных воздействиях?
Лабораторная работа № 11.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы: изучение методов получения и исследова-
ния динамических характеристик объектов управления с использованием инструментальных средств Mathcad.
Порядок выполнения работы
Изучить математическую модель смешения двух компонентов и построить для линеаризованной системы дифференци-
158
альных уравнений графическое отображение динамики процесса
для измеряемых и не измеряемых выходов.
Решения найти при нулевых начальных условиях и раз-
личных входных воздействиях:
· аналитическим способом;
· численных методов, реализованным в виде процедуры
Mat hcad.
Теоретические сведения
Среди методов получения математических моделей объек-
тов управления наиболее распространенными являются:
- экспериментальные или активные, заключающиеся в подаче на входы объекта воздействий определенной формы (ступенчатых, импульсных, гармонических) и анализе полученных
откликов;
- пассивные, основанные на использовании результатов
опытной эксплуатации;
- аналитические;
- комбинированные.
Экспериментальное исследование динамики объектов с
целью получения переходных процессов (кривых разгона) или
частотных характеристик связано с существенными материальными затратами и не всегда возможно в необходимых интервалах изменения входных воздействий. Последний недостаток
присущ также и пассивному методу. Более широкими возможностями обладает метод аналитического описания, но в большинстве случаев проблема его получения для технологических объектов достаточно сложная, так как движение материальных потоков описывается системой нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных, уравнения материальных и
тепловых балансов, фазовых переходов также нелинейные, физические величины, используемые в описании процессов теплои массообмена зависят от многих факторов и не всегда известны
на стадии разработки системы управления. Их уточнение возможно в процессе эксплуатации объекта или предварительного
его активного исследования (комбинированный метод).
159
Рассмотрим задачу аналитического получения математи-
F
D=D×-D×+D
×
()(
)
[
]
D=D-D××+D××
ческого описания объекта на примере смесителя двух потоков
жидкости, содержащих некоторое растворенное вещество. На
рис. 78 представлена схема смешения. Первый поток имеет расход
F
и концентрацию вещества
F
1
и концентрацию
2
c
. Второй поток имеет расход
c
1
. После смешения на выходе из емкости в
2
результате свободного истечения жидкости общий расход жидкости составляет
, а концентрация вещества –c,h– уровень
жидкости.
Рис. 78. Схема смешения
Составим уравнения баланса количества жидкости и растворенного вещества для малого времени Δt, содержащие в левой части объем жидкости или вещества, пришедших в емкость
за время Δt минус ушедших за это же время, а в правой – изменение объема жидкости или вещества в емкости:
- для всей жидкости
21
,Vt)t(Ft)t(Ft)t(F
- для растворенного вещества
,)t(V)t(ct)t(F)t(cttF)t(cttF)t(c
где
(t)F(t),F
21
концентрациями
2211
[м3/с] – потоки жидкости, поступающей в бак с
[моль/м3] или [кг/м3] соответст-
)t(c(t),c
21
венно, а выходной поток имеет расход )t(F [м3/с] и концентра-
160
цию )t(c ; ΔV – изменение объема жидкости в емкости за время
[
]
D
k
=-+
Δt;
- изменение количества вещества в емкости за
)t(V)t(c
время Δt.
Разделив левые и правые и правые части уравнений на Δt и
переходя к пределу при стремлении Δt к нулю, получим систему
дифференциальных уравнений, описывающих изменение объема
жидкости в емкости и количества растворенного вещества
dV
ì
ï
ï
dt
í
d
ï
ï
dt
î
-+=
21
),t(F)t(F)t(F
(62)
-+=
2211
).t(F)t(c(t)F(t)c(t)F(t)c)]t(V)t(c[
Расход F(t) потока жидкости на выходе емкости зависит от
высоты столба жидкости )t(h [м] в соответствии с законом сво-
бодного истечения:
k)t(hk)t(F ==
)t(V
, (63)
S
где
– экспериментальная константа, м2/с;S– площадь попе-
речного сечения емкости, м2.
Подставляя это выражение в (62) получаем нелинейную
модель смешения:
dV
ì
ï
dt
ï
í
d
ï
ï
dt
î
21
k
-+=
(t)F(t)F
S
,V(t)
(64)
k
-+=
c(t)(t)(t)Fc(t)(t)Fc[c(t)V(t)]
2211
S
.V(t)
В установившемся состоянии, полагая в (62) производные
равными нулю, получаем:
или
,0FFF
0
001
2
0FcFcFc
=-+
01
1
02
2
00
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]