Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
61
(
)
(
)
jω-DjωB
×
w=w
w=w
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
()(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
jωW
=
() ()
где R(w), I(w) – вещественная и мнимая части комплексной час-
тотной характеристики,
Представляя комплексные функции числителя и знамена-
теля (20) в показательной форме, можно записать:
m
()
jωD
n
jωB
()
jωD
n
22
() ()
или
()
jωW
m
() ()( ) () ()( ) () ()
nm
jω-DjωD
×
nn
)),j(WRe()(R
))j(WIm()(I
.
jωB
==
() ()
() ()
[ ][ ]
ωj
j
eωAjωW
==
é
ê
ë
DB
×+=
arctgjexpωIωR
() ()
[ ]
æ
ç
ç
è
+=
j
ωjexpjωB
Bm
j
ωjexpjωD
Dn
=j-j= ωωjexp
ö
ωI
÷
÷
()
ωR
ø
ù
ú
û
ωjIωR
=
,
,
,ωjIωRωsinωjAωcosωA
+=j+j=
где
теля и знаменателя частотной характеристики, jB(w), jD(w) –
фазы комплексных функций числителя и знаменателя,
А(w) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), равная
через линейный объект, то при сохраняющейся частоте сигнала
амплитудно-частотная характеристика также определяется как
зависимость отношения амплитуды выходного гармонического
jωB
и
m
j(w) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ),
() () ()
Если рассматривать прохождение гармонического сигнала
jωD
– модули комплексных функций числи-
n
ωB
()
ωA
== .
DB
m
()
ωD
m
arctgωφ-ωφωφ
ωI
()
ωR
22
() ()
+== ,
ωIωR
62
сигнала в установившемся режиме к амплитуде входного сигна-
()(
)
=
(
)
=
(
)
(
)
=
ла от частоты сигнала. Соответственно, фазовая частотная характеристика есть зависимость смещения по фазе выходного
гармонического сигнала относительно входного от частоты
сигнала.
Графически амплитудно-фазовая частотная характеристи-
ка изображается на комплексной плоскости в полярных координатах (А, j) как годограф функции W(jw). Можно построить
амплитудно-фазовую частотную характеристику и в прямоугольных координатах (Im[W(jw)], Re[W(j w)]). При этом часто-
ту w изменяют от 0 до¥.
Логарифмические частотные характеристики используются при исследовании систем автоматического управления с помощью частотных методов и представляют собой логарифмическую амплитудную и логарифмическую фазовую характеристики. Логарифмической амплитудной частотной характеристикой
(ЛАХ) называется кривая, соответствующая 20 десятичным логарифмам модуля частотной характеристики системы, построенная в логарифмической координатной сетке: логарифм амплитуды – логарифм частоты (или частота, отложенная в декадах):
ω20lgAθL
, (21)
где
ристики по оси ординат откладывают величину
измерения для которой является децибел. По оси абсцисс – ло-
гарифм частотыθ. Равномерной единицей на оси абсцисс является декада – отрезок, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс называется частотой среза амплитудной характеристики wс.
в этом случае ЛАХ пересекает ось абсцисс или проходит по оси
абсцисс. Верхняя полуплоскость ЛАХ соответствует значениям
А( w) > 1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость – значениям А(w) < 1 (ослабление амплитуды).
ωlgθ
– логарифм частоты.
При построении логарифмической амплитудной характе-
θL , единицей
Значению А(w) = 1 исходя из (21) соответствует
0θL
,
63
При построении логарифмической фазовой характеристи-
×
±
()()()(
)
=××
=
K
K
()()()(
)
j++j+j=
j
K
()()()(
)
K
×
=
()()()(
)
+++
=
K
ки (ЛФХ) отсчет углов j(w) идет по оси ординат в обычном
масштабе в радианах либо градусах, а по оси абсцисс откладывается логарифм частотыθ в декадах или частота.
Асимптотическая ЛАХ строится из отрезков прямой линии, проходящих под наклоном
дб/дек, где n=0, 1, 2...
20n
Сопрягаются отрезки в точках 1/Тi, где Ti – постоянные времени
числителя и знаменателя.
Логарифмические частотные характеристики удобны для
анализа систем, образованных последовательным соединением
элементарных звеньев (рис. 24), поскольку позволяют перейти
от операции умножения модулей частотных характеристик элементарных звеньев к операции сложения их логарифмических
амплитудных характеристик, что иллюстрируется следующими
зависимостями:
jωWjω WjωWjωW
n21
() () ()
××=
eωAωAωA
n21
ωAωAωAωA
n21
() () ()( )
ωωωω
, (22)
n21
,
θLθLθLθL
. (23)
n21
ω...ωωj
jjj
+++
n21
,
Рис. 24. Структурная схема последовательного соединения
звеньев
В Mathcad комплексные вычисления производятся с помощью символьного процессора. Для выполнения операций над
комплексными числами мнимую единицу j необходимо заранее
задать как 1:j -= , либо использовать стандартную мнимую
переменную i c коэффициентом 1. По окончании редактирова-
ния формулы запись приобретает вид i.
64
Комплексная частотная характеристика в Mathcad записы-
=
0.5
1sT1
0
0,0.02..10
:
ω
=
2
вается как функция действительного аргумента, т. е. W(ω).
Для выделения действительной и мнимой частей КЧХ используют функции Re(W(ω)) и Im(W ( ω)) . Модуль КЧХ можно получить как корень квадратный из суммы квадратов действительной и мнимой частей КЧХ, либо используя операцию выделения
абсолютного значения |W(ω)|. Определение фазовой характеристики можно выполнить с помощью функции arg(W(ω)), вычисляющей значение фазы в пределах от -p до +p, либо функ-
ции atan(Im(W(ω))/Re(W(ω))), определяющей значения фазы
только в пределах от -p/2 до +p/2. Если фаза выходит за эти
пределы, ее необходимо скорректировать с учетом знаков действительной и мнимой частей АФЧХ.
Пример выполнения
Запишем название звена, введем параметры звена k и T1,
запишем его передаточную функцию и комплексную частотную
характеристику, заменив в передаточной функции переменную
Лапласа s на ωj×.
1. Апериодическое звено первого порядка.
0.75:k
T1
.
:=
Передаточная функция:
()
k
:sW+×= .
Комплексная частотная характеристика
()
:ωW
=
k
.
1ωjT1
+××
Построим график КЧХ (рис. 25) в прямоугольных координатах, выбирая одинаковый масштаб по осям и задав предварительно диапазон изменения частоты, например,
Амплитудную частотную характеристику получим как корень квадратный из суммы квадратов действительной и мнимой
частей КЧХ:
A w() ReWw()( )( )2ImWw()( )( )
+:=
.
.
65
Её график показан на рис. 26.
(
)
()(
)
j
w
)
:=
0
0.1-
ImWw()( )
Рис. 25. Комплексная частотная характеристика апериодического звена
0.2-
0.3-
0.40 0.2 0.4 0.6 0.8
ReWw()( )
первого порядка
0.8
0.6
A w()
0.4
0.2
0
0 10 20 30 40 50
w
Рис. 26. Амплитудная частотная характеристика
Фазовую частотную характеристику (рис. 27) определим с
помощью функции arg:
( ) argWw()(
.
Логарифмическая амплитудная характеристика рассчиты-
вается как
L w
20logAw
:=
.
Чтобы иметь возможность провести анализ КЧХ, АЧХ,
ФЧХ, а также построить асимптотическую ЛАХ выделим действительную и мнимую части из комплексной частотной характеристики, используя функцию rectangular, которую можно вы-
66
брать на панели инструментов Математика в меню Символь-
i
ные преобразования.
0
0.5-
jw()
p-
1-
2
1.5-
2-
0 10 20 30 40 50
w
Рис. 27. Фазовая частотная характеристика
Чтобы получить выражения в общем виде и избежать подстановки уже заданных значений параметров k, T1 и переменнойω, перепишем КЧХ как новую функцию W1 не только переменнойω, но и параметров k, T1, а затем при обращении к
этой функции будем подставлять новые имена переменной и
параметров, добавляя к прежним символ a:
W1 w k, T1, ( )
W1 wa ka, T1a, ( ) rectangular
R1 wa ka, T1a, ( ) Re W1 wa ka, T1a, ( )( ) rectangular
I1 wa ka, T1a, ( ) Im W1 wa ka, T1a, ( )( ) rectangular
:=
k
T1j w× 1+
ka
T1a2wa2× 1+
T1a ka×wa×
T1a2wa2× 1+
®:=
T1a2wa2× 1+
T1a ka×wa×
-®:=
T1a2wa2× 1+
×-®
ka
Выражение для амплитудной частотной характеристики
получим с помощью функции simplify из меню Символьные
преобразования
67
a1T
a1T
2
R1 wa ka, T1a, ( )( )
2
I1 wa ka, T1a, ( )( )
+ simplify
2
®
ka
T1a2wa2× 1+
.
Составим выражение для асимптотической ЛАХ апериодического звена первого порядка, для этого прологарифмируем
правую часть последнего выражения АЧХ:
22
.
)1a1Tlg(20)kalg(20))(Alg(20
+w-=w
Поскольку логарифм суммы не упрощается, будем считать, что
при
1
<w произведение
22
a1T w можно отбросить, так как
оно гораздо меньше единицы, и тогда под корнем останется
единица, логарифм которой равен нулю. При
1
³w произве-
дение
22
a1T w будет гораздо больше единицы, и единицу под
корнем можно отбросить. Это позволит получить простое выражение для логарифма от корня. Программа для вычисления
асимптотической ЛАХ в Mathcad описывает два интервала
функции, на каждом из которых функция представлена прямыми линиями. Поскольку по этой программе необходимо построить график, будем использовать заданные параметры и переменную:
Lasa w() 20logk()×( ) w
:=
20logk()× 20 log T1()×- 20 log w()×- w
1
<if
T1
1
.
³if
T1
Графики ЛАХ и асимптотической ЛАХ показаны на рис. 28. Как
видно, графики точной и асимптотической ЛАХ отличаются в
окрестности точки излома асимптотической ЛАХ и сходятся по
мере удаления от этой точки.
68
1sT1
×
0
L w()
Lasa w()
20logk()×
Рис. 28. Точная и асимптотическая логарифмические амплитудные
10-
20-
30-
40-
3- 2- 1- 0 1 2
log w()
характеристики
2. Копируя результаты моделирования частотных харак-
теристик для апериодического звена и исправляя названия
звеньев, а также функции и пределы изменения параметров графиков, промоделируем частотные характеристики остальных
звеньев или соединений.
Реальное дифференцирующее звено.
Передаточная функция:
()
:sW
= .
sk
+×
Комплексная частотная характеристика (рис. 29):
W w()
:=
T1j w× 1+
kj×w×
.
0.8
ImWw()( )
Рис. 29. Комплексная частотная характеристика реального
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5
ReWw()( )
дифференцирующего звена
69
Амплитудная частотная характеристика (рис. 30):
2
)
)
×
:=
A w() ReWw()( )( )2ImWw()( )( )
1.5
1
A w()
0.5
0
0 5 10 15
Рис. 30. Амплитудная частотная характеристика реального
+:=
дифференцирующего звена
.
w
Фазовая частотная характеристика (рис. 31):
jw( ) argWw()(
:=
1.5
jw()
p
1
2
0.5
.
0
0 10 20 30 40
w
Рис. 31. Фазовая частотная характеристика реального
дифференцирующего звена
Логарифмическая частотная характеристика:
Lw( ) 20 log Aw()(
.
Поскольку реальное дифференцирующее звено можно
представить в виде последовательного соединения идеального
дифференцирующего звена и апериодического первого порядка,
70
асимптотическую логарифмическую характеристику (рис. 32)
(
)
×w=
)
построим как сумму ЛАХ идеального дифференцирующего
звена и асимптотической ЛАХ апериодического звена первого
порядка (23), полученной ранее:
Ld w( ) 20 log w()×:=
,
Lasrd w( ) Ld w( ) Lasa w(
L w()
Lasrd w()
20logk()×
Рис. 32. Точная и асимптотическая ЛАХ звена
+:=
0
10203040-
3- 2- 1- 0 1 2
.
log w()
3. Фазовую характеристику реального звена запаздывания
(19) получать в виде суммы (22) фазовых характеристик аперио-
дического звена первого порядка и идеального звена запаздывания с частотной характеристикой
wt-=wj
.
e:jW
4. Определение зависимости параметров реакции на вы-
ходе линейного звена от частоты входного гармонического воздействия достаточно широко используется при экспериментальном определении частотных характеристик.
Моделирование прохождения гармонического сигнала через апериодическое звено первого порядка выполним с использованием преобразований Лапласа.
Преобразование Лапласа от входного гармонического
сигнала )tasin()t(x
sin wat×( ) laplace t,
®
s2wa2+
:
wa
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]