Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
9
1
- изображение по Лапласу переходного процесса
2k=,1T1=
)
Wzs()
Hs()
Hs()
=
=
k
s
,
s
Ki Kn s×+ Kds2×+
2
s T1s× 1+( )
× k Ki Kn s×+ Kds2×+
( )
×+
,
- изображение ошибки
Es()
1
s
,
Hs(
-=
Es()
1sWzs()
-=
s
,
2
( )
×+
.
Es()
=
s T1s× 1+( )
× k Ki Kn s×+ Kds2×+
T1s× 1+( )
2
1. Переходные процессы замкнутой системы при задан-
ных параметрах объекта (
) и различных значениях
одного из коэффициентов регулятора, например Ki, приведены
ниже (рис. 44). Обратные преобразования Лапласа для H(s) не-
обходимо выполнять после каждого изменения коэффициентов
(результат преобразования в примере не приведены):
Kn:=5 Kd:=0.8 k:=2 T1:=1
Ki1:=0 Ki2:=4 Ki3:=8
invlaplacå s,
float5,
invlaplace s,
float5,
invlaplacå s,
float5,
®:=
,
®:=
,
®:=
.
h3t()
.
h1t()
h2t()
k
×
s
s Ts× 1+( )
× k Ki1 Kn s×+ Kds2×+
k
×
s
s Ts× 1+( )
× k Ki2 Kn s×+ Kds2×+
k
×
s
s Ts× 1+( )
× k Ki3 Kn s×+ Kds2×+
Ki1 Kn s×+ Kds2×+
2
( )
×+
Ki2 Kn s×+ Kds2×+
2
( )
×+
Ki3 Kn s×+ Kds2×+
2
( )
×+
92
1.5
(
)
2.786
×
+
×
èöø
ë
û
-
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
h1t()
1
h2t()
h3t()
0.5
0
0 1 2 3 4
t
Рис. 44. Переходные процессы при различных Кi
2. Корни характеристических уравнений замкнутой систе-
мы вычисляются путем приравнивания нулю знаменателя передаточной функции и решения полученного уравнения с помощью символьной процедуры solve (решить), причем, первую
передаточную функцию при Ki1=0 следует предварительно упростить процедурой simplify:
k Ki1 Kn s×+ Kds2×+
×
2
s Ts× 1+( )
× k Ki1 Kn s×+ Kds2×+
( )
×+
simplify ®
.
Получим передаточную функцию
k Kn Kd s
( )
T2s2× 2T× s×+ Kdk× s×+ Knk×+ 1+
,
характеристическое уравнение которой имеет только два корня
T2s2× 2Ts××+ 1+ k Kn×+ kKds××+
solve s,
float4,
®
1.8- 2.786i-
æ
1.8- 2.786i+
.
Степень устойчивости и колебательность системы будут равны:
h1 1 .8:=
m1
,
:=
1.8
,
m1 1.547778=
.
Остальные уравнения имеют по три корня:
0.9415
1.329- 2.594i-
1.329- 2.594i+
2
s Ts× 1+( )
× k Ki2 Kn s×+ Kds2×+
( )
×+
solve s,
float4,
®
,
93
0.9415
m2
2.594
1.329
ë
û
ç
ç
è
÷
÷
ø
0.7770
2.686
.7770
ø
ø
ø
ø
ø
ø
:=
h2
:=
s Ts× 1+( )
× k Ki3 Kn s×+ Kds2×+
,
2
( )
×+
,
μ2=1.951843,
solve s,
float4,
®
æ
2.046-
0.777- 2.686i-
0.777- 2.686i+
ö
,
,
m3 3.456885=
.
h3
m3
:=
,
:=
3. Время регулирования для Δ=0,05 определяем по степе-
ни устойчивости и по графикам переходных процессов (рис. 45)
1.4
h1t()
1.3
h2t()
1.2
h3t()
1.1
1D-
1
1 D+
0.9
0.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t
Рис. 45. Переходные процессы в окрестности установившихся значений
По степени устойчивости:
1
1
1
tp1
tp2
tp3
h1
h2
h3
æèö
,
ln
×£
D
h1
1
1
æèö
ln
×£
1
æèö
ln
×£
1
,
D
h2
1
1
,
D
h3
1
æèö
ln
× 1.664296=
D
1
æèö
ln
× 3.181872=
D
1
æèö
ln
× 3.855511=
D
,
,
.
По графикам переходных процессов (рис. 45):
94
tp1=1.4, tp2=1.6, tp3=3.6.
-
-
-
0
11
0
4. Величина перерегулирования по графикам (рис. 45):
hh
уст1max1
σ1
= ,
h
уст1
σ2
= ,
h
уст2
σ3
=
h
уст3
100
hh
уст2max2
100
hh
уст3max3
100
0.91-1.05
4.15100
=×=×
91.0
1-1.24
24100
=×=×
1
1-1.4
.40100
=×=×
1
5. Установившаяся ошибка:
1
eyct1
®
E s Ki1, ( )s×( )lim
0s
,
®:=
eyct2
eyct3
®
®
E s Ki2, ( )s×( )lim
0s
E s Ki3, ( )s×( )lim
0s
,
®:=
.
®:=
6. Интегральные оценки ошибки регулирования:
ó
ô
õ
ó
ô
õ
ó
ô
õ
50
t1 h1t()-( )
d 4.697564=
0
50
t1 h2t()-( )
d 0.125=
0
50
t1 h3t()-( )
d 0.062498=
0
,
50
ó
,
ô
õ
0
50
ó
ô
õ
0
50
ó
,
ô
õ
0
2
2
d 0.212822=
2
t1 h1t()-( )
d 0.590992=
t1 h2t()-( )
t1 h3t()-( )
d 0.280187=
,
,
.
Выводы.
1. При нулевой интегральной составляющей регулятора
установившаяся ошибка не равна нулю и система является статической, при других значениях коэффициентов интегральной
составляющей регулятора она рана нулю.
95
2. Увеличение интегральной составляющей приводит к
уменьшению степени устойчивости, увеличению колебательности, времени регулирования, величины перерегулирования, интегральной квадратичной ошибки.
Задание
Для заданной преподавателем передаточной функции звена из
(24)- (28) выбрать коэффициенты в табл. 7-9 в соответствии со своим
вариантом. Провести анализ влияния коэффициентов ПИДрегулятора на показатели качества переходных процессов.
Содержание отчета
В отчете привести:
- структурную схему исследуемой системы;
- передаточные функции исследуемого объекта, регулято-
ра и замкнутой системы;
- характеристические уравнения, корни характеристиче-
ских уравнений разомкнутой и замкнутой системы;
- переходные процессы;
- полученные результаты анализа и сделанные выводы о
влиянии коэффициентов на показатели качества переходных
процессов.
Контрольные вопросы
1. Что такое замкнутая система автоматического регули-
рования (САР)? Как записать ее передаточную функцию?
2. Какие элементы образуют типовую замкнутую САР?
3. Какую функцию в системе выполняет регулирующее
устройство?
4. Какие законы регулирования реализуются регуляторами?
5. Какие показатели качества регулирования вы знаете?
6. Как определить время регулирования по переходному
процессу?
7. Что такое «перерегулирование», «декремент затуха-
ния»? Как их определить по переходному процессу?
8. Как определить значение установившейся ошибки при
постоянном входном воздействии?
96
9. Как получить нулевую установившуюся ошибку при
s
постоянном входном воздействии?
10. Какая зависимость между запасом устойчивости и вре-
менем регулирования?
11. Какая зависимость между колебательностью и величи-
ной перерегулирования?
12. Как сформулировать и записать условие выбора пара-
метров регулирующего устройства?
Лабораторная работа № 6.
СИНТЕЗ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПО СТЕПЕНИ ЕЁ УСТОЙЧИВОСТИ И КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ
Цель работы: изучение метода синтеза регулятора по за-
данному запасу устойчивости замкнутой системы и ограничениям на её колебательность.
Порядок выполнения работы
Для заданного объекта управления и ПИД – регулятора,
пользуясь изложенной методикой, получить параметры настройки регулятора.
Построить динамические характеристики системы. Решения найти при нулевых начальных условиях.
Теоретические сведения
При синтезе замкнутых систем с регулятором, имеющим
заданный вид передаточной функции, задача синтеза заключается в определении коэффициентов регулятора, обеспечивающих
необходимые показатели качества переходных процессов. Так в
рассматриваемой методике синтеза для системы с ПИДрегулятором, передаточная функция которого имеет вид (3 9)
()
Ki
KnsWр ×++= ,
sKd
необходимо определить численные значения коэффициентов
Kn, Ki, Kd пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих, при которых степень устойчивости системы
будет не ниже заданной, а колебательность не превысит заданную величину.
97
Степень устойчивости и колебательность системы связа-
h
b+a
=
a=h
b
a
(
)
=
ны с корнями характеристического уравнения системы и определяют время регулирования и величину перерегулирования.
Степень устойчивости
определяется как минимальное значе-
ние из всех модулей действительных частей корней характеристического уравнения
js
, i=1,..., n, т. е. ||min
iii
i
i
Время регулирования по степени устойчивости может быть оце-
нено неравенством
1
t
£
р
)
ln(
, где Δ - допустимое отклоне-
Dh
1
ния переходного процесса от установившегося значения, задаваемое в долях от установившегося значения (Δ =0,01; 0,02;
0,05).
Колебательность μ равна максимальному для всех корней
значению модуля отношения мнимой части корня к действительной:
b
i
max
=m ,
i
a
i
где
- мнимая часть i-го корня;
i
- действительная часть этого
i
же корня. Величина перерегулирования для систем, не имеющих
производных в правой части уравнения, описывающего динами-
p-
ку системы, оценивается как
£s
)exp(
.
m
Если система должна иметь степень устойчивости не ниже
заданной и колебательность не превышающую заданную, то
корни характеристического уравнения системы следует выбирать на комплексной плоскости в области, ограниченной справа
прямой, проходящей через точку (-η, j0) (рис. 46), а сверху и
снизу - прямыми линиями (ОА и ОВ), образующими с отрицательной мнимой полуосью углы
μarctgφ
.
.
98
Рис. 46. Область расположения корней замкнутой системы
При выборе корней необходимо руководствоваться следующими правилами:
- выбираемые корни должны находиться в левой полу-
плоскости, иначе система не будет устойчивой;
- количество выбираемых корней должно быть равно чис-
лу определяемых коэффициентов регулятора;
- количество комплексных корней должно быть четным и
пара комплексных корней должна отличаться только знаками
мнимых частей (пара комплексно-сопряженных корней);
- чем дальше от линии BD находится ближайший к ней
корень или пара комплексных корней, тем больше будет степ ень
устойчивости системы;
- чем ближе к действительной оси находятся комплексные
корни, тем меньше степень кол ебательности системы.
Выбрав корни характеристического уравнения, нужно за-
писать само характеристическое уравнение системы в форме
Безу
n
( )
Õ
1i
=
0ss
=-
,
i
где s - переменная Лапласа или оператор дифференцирования; s
– корни характеристического уравнения; n – порядок уравнения.
Перемножив скобки в левой части уравнения, получим
характеристическое уравнение в виде
i
99
n
(
)
(
)
(
)
где а
, k=1, ..., n – коэффициенты левой части уравнения, вы-
k
численные по корням характеристического уравнения.
Подобное характеристическое системы можно записать
по передаточным функциям системы. Пусть передаточная
функция объекта в замкнутой системе (см. рис. 26) равна:
тогда передаточная функция разомкнутой системы с ПИДрегулятором имеет вид:
æ
()
ç
è
или
где k – коэффициент передачи объекта; L(s) –знаменатель передаточной функции объекта; В(s), А(s) – числитель и знаменатель
передаточной функции разомкнутой системы.
ной единичной обратной связью равна отношению изображений
по Лапласу выхода системы ко входу, полученных при нулевых
начальных условиях, и в соответствии с (34) – (36) может быть
записана как
или
где Y(s) и G(s) - выход системы и задание в изображениях по
Лапласу.
ляется знаменатель передаточной функции системы, приравненный нулю
()
Передаточная функция замкнутой системы с отрицатель-
()
sWz
= ,
Характеристическим уравнением замкнутой системы яв-
Ki
KnsW
s
sW
= ,
()
sWz
)s(Y
)s(G
)s(В
)s(A)s(В
+
1n
-
1n
-
ö
×++=
÷
o
ø
)s(Ls
×
==
=
)s(W
)s(W1
+
( )
2
2n
-
2n
-
k
)s(Wo=
sKdKisKnk
×++××
,
,
)s(L
æ
ç
è
2
Ki
Kn)s(WsKd
s
)s(B
=
)s(A
2
. (41)
0)s(LssKdKisKnk
=×+×++××
, (40)
0a...sasas
=++++
0
k
ö
sKd
×++=
÷
ø
2
sKdKisKnk
×++××
)s(LssKdKisKnk
×+×++××
,
)s(L
100
Подставив многочлен L(s), раскрыв скобки и упорядочив
слагаемые в левой части уравнения по степеням s, запишем
уравнение (41) в виде
2
2
01
=+++++
(42)
,0)Ki(bs)Kn(bs)Kd(b...sbsb
где
n
n
1n
-
1n
-
)Ki(b,)Kn(b,)Kd(b - коэффициенты характеристическо-
012
го уравнения, зависящие от неизвестных коэффициентов регулятора, bi - коэффициенты характеристического уравнения, не
зависящие от коэффициентов регулятора.
Поскольку
b не равен нулю, то на него можно разделить
n
все слагаемые левой части уравнения и правую часть. Корни
уравнения от этого не изменятся, а первое слагаемое полученного уравнения совпадет с первым слагаемым уравнения (40).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s уравнения (40) и нормированного уравнения (42) получим систему
алгебраических уравнений для поиска коэффициентов регулятора и не выбранных корней характеристического уравнения
замкнутой системы:
b
1n--
= ,а
b
n
)Kd(b
2
b
n
b
2n--
,а
1n
= ,а
2
=
b
n
,а
2n
)Kn(b
1
= .а
b
n
...,
1
)Ki(b
0
=
b
n
0
Если уравнений окажется меньше, в частности для инерционных
объектов первого порядка, решений будет бесконечно много.
Алгоритм синтеза системы может быть следующим:
1) выбирают регулятор, записывают передаточные функции разомкнутой системы и замкнутой системы;
2) записывают характеристическое уравнение замкнутой
системы с неизвестными коэффициентами регулятора,
раскрывают скобки, объединяют слагаемые с одинаковыми степенями переменной Лапласа s и упорядочивают
слагаемые по возрастанию или убыванию степеней s;
3) по заданным показателям качества регулирования определяют допустимую область существующих корней ха рактеристического уравнения;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]