Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
191
Окончание табл. 21
0.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 5.6 2.3 4 0 2.2 0 0 0.2
9 1.8 2.7 3 1.1 1.8 0.2 0.6 0.7
10 2.8 9.2 1.6 0.6 3 4.5 2.3 0.9
Таблица 22
Вариант Управление
u(t)
0 1(t) Лапласа,
1 cos(3t) Лапласа, Лагранжа-
2 sin(2t) Лапласа, Лагранжа-
3 exp(-1.5t) Лапласа,
4 t2-2t+1 Лапласа, Лагранжа-
5 0.5t+1 Лапласа,
6 (t-2)
7 3/(t+1) Лапласа, Лагранжа-
8 sin(0.2t)+t Лапласа,
9 2cos(t)+sin(2t) Лапласа, Лагранжа-
Аналитические методы
решения
диагонализации
Сильвестра
Сильвестра
диагонализации
Сильвестра
диагонализации
Лапласа,
диагонализации
Сильвестра
диагонализации
Сильвестра
Численный метод
решения
Рунге-Кутта rkfixed
Рунге-Кут та rkadapt
Булирша-Штера
bulstoer
Рунге-Кутта rkfixed
Рунге-Кут та rkadapt
Рунге-Кутта rkfixed
Булирша-Штера
bulstoer
Рунге-Кутта rkfixed
Булирша-Штера
bulstoer
Рунге-Кут та rkadapt
Содержание отчета
В отчете привести:
- исходное дифференциальное уравнение;
- систему дифференциальных уравнений первого порядка в
нормальной форме, к которой было преобразовано исходное
уравнение;
- матрично-векторное уравнение с матрицами коэффици-
ентов;
- программы для решения матрично-векторного уравнения;
- графики решений;
- выводы о совпадении решений.
192
Контрольные вопросы
1. Как записать дифференциальное уравнение третьего
порядка при отсутствии производных в правой части уравнения
в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка в
нормальном виде?
2. Как записать дифференциальное уравнение третьего
порядка, если порядок производных в правой части уравнения
меньше порядка в левой части, в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка в нормальном виде?
3. Как записать дифференциальное уравнение третьего
порядка, если порядок производных в правой части уравнения
равен порядку в левой части, в виде системы дифференциальных
уравнений первого порядка в нормальном виде?
4. Какие методы аналитического решения системы дифференциальных уравнений первого порядка вы знаете?
5. Какой порядок решения матричного дифференциального уравнения методом Лапласа?
6. Как записывается формула Коши?
7. Что такое матричная экспонента?
8. Чему равна матричная экспонента для диагональной
матрицы?
9. Как привести матрицу к диагональному виду?
10. Как найти матрицу преобразования Т?
11. Какой порядок решения системы дифференциальных
уравнений методом диагонализации матриц?
12. Как записывается матричная экспонента в соответст-
вии с теоремой Лагранжа-Сильвестра?
13. Какой порядок решения системы дифференциальных
уравнений с применением теоремы Лагранжа-Сильвестра?
14. Какие функции Mathcad используются для численного
решения систем дифференциальных уравнений?
15. Как решить дифференциальное уравнение с помощью
функций rkfixed, rkadapt, bulstoer?
16. В чем отличия между функциями rkfi xed, rkada pt, bulstoe r?
193
Лабораторная работа № 13.
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГУЛЯТОРА
ПО УСЛОВИЮ МИНИМУМА ИНТЕГРАЛЬНОЙ
КВАДРАТИЧНОЙ ОШИБКИ
Цель работы: изучение метода синтеза регулятора по ус-
ловию минимума интегральной квадратичной ошибки и ограничениям на управляющее воздействие численным методом.
Порядок выполнения работы
Для объекта управления, датчика и исполнительного механизма, заданных передаточными функциями, составить программу и рассчитать коэффициенты ПИД - регулятора из условия минимума интегральной квадратичной ошибки в замкнутой
системе регулирования по ошибке при ограничениях на управляющее воздействие.
Построить динамические характеристики системы. Решения найти при нулевых начальных условиях.
Теоретические сведения
Типовая структурная схема замкнутой системы регулирования по ошибке представлена на рис. 84.
Рис. 84. Структурная схема замкнутой системы управления по ошибке
На схеме указаны передаточные функции:
- регулятора Wp(s),
- исполнительного механизма Wим(s),
194
- объекта регулирования Wо(s),
s
+
×
- датчика Wд(s).
Для объекта обычно определяются передаточные функции
по каналам управление - выход, возмущения - выход, причем
передаточные функции могут быть определены аналитически, по
результатам экспериментов или совместно аналитическиэкспериментальным путем.
В качестве регулятора будем использовать ПИД-регулятор
с передаточной функцией
Ki
Knp(s)W ×++=
.
sKd
Значения коэффициентов могут определяться аналитиче-
ски из условия обеспечения экстремума некоторого критерия, в
частности из условия минимума интегральной квадратичной
ошибки регулирования, путем решения систем нелинейных
уравнений, полученных дифференцированием критерия по настроечным параметрам и приравнивания производных нулю.
Чаще же оптимальные параметры находятся с помощью приближенных методов поиска экстремума: покоординатного спуска, градиентного, наискорейшего спуска, и т. д.
Метод покоординатного спуска заключается в задании начального значения коэффициентов и последующего их поочередного пошагового изменения в направлении, улучшающем
критерий поиска. Если изменение любого коэффициента не приводит к улучшению критерия, уменьшают шаг изменения коэффициентов. Если шаг станет меньше заданной погрешности поиска, процесс поиска завершают.
Поскольку метод покоординатного спуска требует на каждом шаге изменения коэффициентов расчета величины критерия,
необходимо составить программу для этой цели. Воспользуемся
численным методом расчета переходных процессов в замкнутой
системе.
Передаточная функция объ екта второго порядка в общем
виде может быть задана как:
)s(Wo
=
2
0bs1b
. (94)
0as1as2a
+×+×
195
Датчик и исполнительный механизм в соответствии с за-
1sTdat
1sTim
-
+
-
(
)
(
)
×b+×b+×a+×a
=
D×+
×
-
D×-
данием представлены апериодическими звеньями первого порядка с передаточными функциями
kdat
)s(Wdat+×= ,
kim
)s(Wim+×= .
Перейдем от передаточных функций к дифференциальным
уравнениям, затем к конечно-разностным и запишем рекуррентные выражения для получения значений выходов инерционных
звеньев.
Для объекта дифференциальное уравнение по передаточ-
ной функции (94) будет следующим
2
2a
dt
dy
yd
1a
2
dt
1du
1b)t(y0a
)t(1u0b
×+=×++ ,
dt
а уравнение в конечных разностях
2a
1b
y
=
i
2
t
D
-
×=
t
D
Выразим y
yy2y
2i1ii
+
1u1u
1ii
-
×+
из этого уравнения
i
2
yy
1ii
1a
i
---
t
D
.1u0b
y0a
=×+
i
y2ayt1a2a21ut1b1ut0bt1b
×-D×++×D×-D×+D×
2
t0at1a2a
D×+D×+
или
, (95)
1u11u0y2y1y
1ii2i1ii
---
где tD- шаг дискретизации процессов по времени, принимаемый как минимум в 10-100 раз меньше самой маленькой постоянной времени;
t1a2a2
1
=a
0
=b
D×+D×
,
2
=a
2
t0at1a2a
D×+D×+
2
t0bt1b
,
1
=b
2
t0at1a2a
D×+D×+
2a
t1b
,
2
t0at1a2a
D×+D×+
.
2
t0at1a2a
D×+D×+
Аналогично рекуррентному выражению (95) запишем ре-
куррентные выражения для выходов исполнительного механизма
2i1i1ii
---
196
и датчика:
kdat
×
×
+
×
×
0
0
0
0
0
u1ibimui× aim u1
xibdaty
i
adat x
где
,
×+
i1-
,
i1-
aim
adat
:=
:=
Tim
Tim Dt+
Tdat
Tdat Dt+
,
,
bim
bdat
:=
:=
kim Dt
Tim Dt+
kdat Dt
Tdat Dt+
,
.
Задание g определяется как произведение заданного значения у на коэффициент передачи обратной связи, т.е. на kdat. В
программе
g yz
.
×:=
Количество вычисляемых значений переходного процесса
определяется по задаваемому интервалу времени и шагу дискре-
тизации tD (Δt=0.01) с помощью функции:
Tk
n floor
:=
æèö
Dt
.
ø
В начале программы необходимо ввести все заданные значения: а2 , а1, а0, b1, b 0, kda t,T dat, ki m, T im, затем Tk, Δt, yz , ограничения на управляющее воздействие u1: umin, umax,
обнулить начальные значения переменных используемых в программе:
y
:= y
0
umax6:= umin0:=
:= x
1
1
.
:= e
:= u1
1
:=
1
Значение суммарного квадратичного отклонения регулируемой величины от заданной записывается в нулевую ячейку
массива х.
197
Kriteri K yz, ( ) g yz kdat׬
ç
è
÷
ø
10
:=
0.2
:=
50.
:=
:=
Kriteri 0¬
S 0¬
i 2 n..Îfor
eigx
S Se
uiK1e
u1ibimui× aim u1
u1iumin¬ u1iumin<if
u1iumax¬ u1iumax>if
y
xibdatyi× adat x
Kriteri Kriteri yz yi-
x
0
return
i
Kriteri Dt׬
-¬
i1-
+¬
i
× K2S× Dt×+ K
i
a1y
× a2y
i1-
y
æ
ö
u1
ç
÷
u
ç
÷
ç
÷
e
eie
-
×+¬
3
Dt
×+¬
i 1-
×+ b0 u1i×+ b1 u1
i2-
×+¬
i 1-
+¬
( )
2
i1-
×+¬
i 1-
x
Перед обращением к программе следует также задать коэффициенты пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющей регулятора: K1, К
K
1
K
2
K
3
и К
2
, например:
3
198
Обращение к программе:
æ
ç
è
ö
÷
ø
y
u1
ç
÷
u
ç
ç
e
x
Kriteri K yz, ( ):=
÷
.
÷
Значение критерия х
=25.577.
0
Переходные процессы для выхода объекта и управления,
полученные при заданных значениях коэффициентов регулятора,
а также параметрах объекта, датчика и исполнительного механизма, даны на рис.85, 86.
4
3
y
2
i
1
0
0 50 100
iDt×
Рис. 85. Изменение выхода объекта
6
4
u1
i
2
0
0 50 100
iDt×
Рис. 86. Изменение управления на входе объекта
Поиск оптимального вектора К настроечных параметров
методом покоординатного спуска осуществляется по алгоритму,
приведенному ниже.
199
Алгоритм программы поиска коэффициентов регулятора,
£
>
обеспечивающих минимум критерия
1) Задают начальное значения шага изменения коэффициентов dTN, погрешность поиска или точность оценки коэффициентов eps, начальные значения коэффициентов Кi.
2) Рассчитывают переходный процесс h(t,К) и минимизируемый критерий поиска Kriteri_o.
3) Обнуляют признак улучшения критерия Priznak, устанавливают счетчик коэффициентов i в ноль.
4) Изменяют коэффициент Кi на величину шага dTN.
5) Рассчитывают переходный процесс и критерий поиска
Kriteri_n.
6) Если произошло улучшение критерия, т.е. Kriteri_n<
Kriteri_o, то устанавливают признак улучшения критерия в еди-
ницу, значение Kriteri_n переписывают в Kriteri_o и повторяют
изменение коэффициента, вычисление критерия и перезапись его
на место предыдущего до тех пор, пока значения критерия не
ухудшится; в этом случае возвращают предыдущее значение коэффициента и переходят к изменению следующего коэффициента; если массив коэффициентов закончился, возвращаются к первому коэффициенту (i=0) и продолжают вычисления.
7) Если значение критерия на первом шаге не улучшилось,
изменяют знак dTN на противоположный, изменяют коэффициент на удвоенную величину шага dTN, рассчитывают переходный процесс и критерий поиска Kriteri_n; если произошло улучшение критерия то проводят вычисления аналогичные п. 6; если
же критерий не улучшился, возвращают предыдущее значение
коэффициента Кi и увеличивают счетчик коэффициентов на
единицу.
8) Если массив коэффициентов не закончился (
),
NTi
возвращаются к п. 4; если массив коэффициентов закончился
(
), а признак улучшения критерия Priznak остался равным
NTi
нулю, уменьшают шаг dTN в два раза и сравнивают с точностью
оценки коэффициентов eps.
200
9) Если dTN> eps то возвращаются к п. 3 и продолжают
£
è
ø
è
ø
0.01
200
поиск; если epsdTN
- заканчивают поиск; последние значе-
ния коэффициентов и будут оптимальными.
Перед программой задают начальный шаг, точность и мак-
симальное значение коэффициентов
dTN5:= eps
F1 K yz, ( ) dT dTN¬
:=
Kriteri_o KriteriR K yz, ( )¬
dT eps>while
Priznak 1¬
Priznak 0¬
:= Kmax
Priznak 0>while
i 13..Îfor
KiKidT+¬
Kriteri_n KriteriR K yz, ( )¬
Kriteri_n Kriteri_o>if
dT dT-¬
KiKi2dT+¬
Kriteri_n KriteriR K yz, ( )¬
Kriteri_n Kriteri_o<( ) K
Kriteri_n Kriteri_o<( ) K
Kriteri_o Kriteri_n¬
KiKidT+¬
Kriteri_n KriteriR K yz, ( )¬
Priznak 1¬
KiKidT-¬
:=
0³
Ù KiKmax£Ùif
i
0³
Ù KiKmax£Ùwhile
i
dT
¬ Priznak 0=if
Kreturn
dT
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]