Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие

171

го, введением дополнительных переменных их можно привести к

dt

dtxddt

системе уравнений первого порядка. В общем случае систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка можно записать в нормальной форме Коши (73).

Различаются три подхода в зависимости от вида исходного

дифференциального уравнения: уравнение не содержит производных в правой части, максимальный порядок производных в правой части меньше порядка левой части и максимальные порядки левой и правой частей равны. Рассмотрим эти подходы последовательно.

1. Уравнение не содержит производных в правой части,

т. е. имеет вид:

n

yd

a

n

1-n

yd

1-n

0

ku(t)y(t)a...

=+++

. (74)

Если коэффициент при старшей производной в левой части

уравнения не равен единице, следует разделить обе части уравнения на этот коэффициент.

Введем замену:

x1(t)=y(t),

dx

dy

dt

1

(t),x

==

dt

2

yd

2

dx

2

1

2

dt

),t(x

===

3

...

1-n

yd

1-n

n

yd

n

1-n

dx

dt

1-n

dt

n

.

),t(x

===

n

1

1-n

n

dx

1

==

n

Оставим в записанных равенствах только два последних

элемента и перепишем их, а последним запишем исходное уравнение (74), подставив в него выражения для производных через вновь введенные функции х

:

i

172

dx

dt

ì

1

=

(t),x

dt

2

=

),t(x

3

1-n

=

),t(x

n

---

+----=

101n2nn1n

(75)

).t(ku)t(xa...)t(xa)t(xa

ï

dt

ï

dx

ï ï

dt

ï

...

í ï

dx

ï ï ï

dx

ï

dt

î

Получили систему из n уравнений первого порядка в нормальной форме Коши, которую можно записать в векторноматричном виде (73). Матрица А и вектор В для уравнения (74) четвертого порядка будут иметь вид:

0010

æ ç

ç

=A

ç ç

ç è

Если для функции y(t) и ее производных были известны начальные условия: y(t0)=y0; y’(t0)=y

ö ÷

0100

÷

,

÷

1000

÷ ÷

aaaa

----

0123

ø

B

1,0

0

æ ç

0

ç

=

ç

0

ç ç

k

è

;...; y

ö ÷

÷ ÷ ÷

÷ ø

.

(n-1)

(t0)= y

, то ис-

n-1,0

пользуя выражения (75) и x1(t)=y(t), можно записать начальные условия для новых функций.

2. Максимальный порядок производных в правой части

меньше порядка левой части:

n

y(t)d

a

n

1-n

yd

1-n

n

ud

by(t)a...

+=+++

m0

n

)t(ub...

.

0

Замену рассмотрим на примере уравнения третьего порядка

3

y(t)d

3

2

a

2

dy

yd

a

2

dt

2

by(t)a

201

du

ud

b

++=+++

dt

01

2

)t(ub

. (76)

173

Вводим замену

dtxddt

dtdxdt

dtxddt

dt

y(t)=x1(t),

dx

dt

dx

3

dt

1

2

3

yd

3

u(t),(t)x

b+=

12

b+=

dx

1

==

(77)

),t(u)t(x

(78)

23

3

,

dt

где βi – некоторые, пока неопределенные коэффициенты.

Учитывая, что

dy

2

yd

1

=

,

2

1

=

и

2

3

yd

3

1

=

,

3

2

дифференцируем уравнение (77) и подставляем в него производ- ную х

из (78)

2

xd

2

dx

1

dt

du

2

dt

du

)t(u)t(x

b+b+=b+=

. (79)

1231

dt

Снова дифференцируем уравнение (79) по времени

3

dx

xd

3

1

dt

2

ud

1

2

du

b+b+=

(80)

2

dt

и подставляем в левую часть уравнения (76) выражения для производных (77), (79), (80):

dx

3

dt

[ ]

2

ud

1

2

dt

du

dt

é ê

ë

b(t)xau(t)(t)xa

du

)t(xa

dt

2

ud

210121

2

du

b

dt

ù

)t(u

b+b++b+b+

+

21322

ú û

++=+b++

).t(ub

01

Перенесем все слагаемые из левой части кроме первого в

правую, раскроем скобки и сгруппируем слагаемые

2

dx

3

dt

( ) ( )

du

ab

( )

b(t)xa)t(xa)t(xa

b-b-+b-b-+

112201221

ud

+b-+---=

12102132

2

dt

(81)

).t(uaab

174

Потребуем, чтобы производные в правой части уравнения

=

b

b-=

b

отсутствовали, т. е. чтобы коэффициенты при производных в правой части уравнения (81) были равны нулю и получим уравнения для определения коэффициентов β

,

b

21

.

ab

1212

:

i

При этих условиях система уравнений будет следующей:

dx

dt

dx

1

2

dt

3

dt

u(t),(t)x

b+=

12

),t(u)t(x

b+=

23

( )

).t(uaab(t)xa)t(xa)t(xa

b-b-+---=

11220102132

Матрица коэффициентов А будет аналогичная предыдущему случаю, а вектор В отличается:

010

æ ç

=A

ç ç

è

ö ÷

,

100

÷ ÷

ааа

---

012

ø

æ ç

=

B .

ç ç

è

b

1

b

2

ö ÷

÷ ÷

b-b-

aab

11220

ø

3. Максимальные порядки левой и правой частей равны.

Рассмотрим на примере уравнения третьего порядка

2

yd

a

2

dt

ud

b

2

3

dt

dy

a

dt

2

ud

b

2

du

dt

y(t)a

=+++

01

(82)

+++=

).t(ub

01

dt

3

y(t)d

3

b

3

dt

Вводим замену

u(t),(t)x)t(y

b+= (83)

11

dx

dt

dx

dt

1

2

u(t),(t)x

b+=

22

),t(u)t(x

b+=

33

175

Записываем производные для y(t) с учетом введенных обо-

dt

dtuddt

dt

BUAXxX+=-

(

)

+=-

×

()(

)

(

)

значений, добиваясь, чтобы в правой части не было производных х кроме последнего уравнения:

dy

dt

du

1

u(t)(t)x

dt

2

du

2

dt

du

3

dt

ud

12

2

ud

23

b+b+b+=

2

xd

dt

2

dx

yd

2

3

dx

yd

3

du

,

b+b+=b+=

1221

dt

2

du

)t(u)t(x

dt

3

.

1

3

ud

b+b+b+=b+b+=

,

1233

2

Подставляем полученные производные в исходное уравнение (82) и группируем слагаемые. Из условия отсутствия производных от управления в правой части последнего уравнения составляем три алгебраических уравнения для определения трех коэффициентов β. Получаем систему уравнений в нормальной форме Коши, дополненную уравнением (83).

Аналитические методы решения систем

дифференциальных уравнений первого порядка

1. Решение с помощью преобразований Лапласа

Для получения решения необходимо записать матричное уравнение (73)

(t)d

(t)(t)

BuAxx+=

в преобразованиях Лапласа:

(s)(s))0()s(s

,

где s – оператор Лапласа; X(s), U(s) – изображения по Лапласу векторов переменных состояния и управления; х(0) – вектор начальных условий.

Преобразуем уравнение к виду

)0((s)(s)s xBUXAЕ

и выразим из него X(s):

11

где Е – единичная матрица,

--

1s-

- обратная матрица.

-× AЕ

(84)

),0(s(s)s(s)

xAЕUBAЕX ×-×+××-×=

176

Выполнив обратное преобразование Лапласа от каждой

dt

+

=

dt

строки вектора X(s) (84), получим решение системы уравнений.

2. Решение через матричную экспоненту

Рассмотрим линейную неоднородную систему дифферен-

циальных уравнений, записанную в матричном виде. Соответствующая ей однородная система

(t)dAxx

(t)

=

.

Решение однородной системы имеет вид

A×=t

, (85)

cx

e(t)

o

где

teA

- матричная экспонента, с – вектор постоянных интегри-

рования.

Общее решение системы (73) складывается из общего ре-

шения однородной системы

и частного решения

(t)

x

o

не-

(t)

x

ч

однородной системы:

. (86)

(t)(t)(t)

xxx

чo

Частное решение

t

A

(t)e(t)

Сx

ч

×=

. (87)

будем искать в виде

(t)

x

ч

Подставляя (86) в исходную систему (73), получаем

(t)d

ч

(t)(t)

BuAxx+=

.

Дифференцируем

уравнения

tt

AA

¢

×+×

(t)d

С

заменяем

¢

его значением в правой части уравнения

)t(чx

e(t)e

СA

приводим подобные слагаемые

(t)d

С

t

A

e

(t)

Bu

=×

,

и подставляем в левую часть

)t(чx

,

(t)(t)(t)e(t))(e

BuAxСС

+=

ч

ttt

AAA

(t)(t)e

BuСA

+×=×+×

,

177

dt

С

=

!

k

!

2

(t)dС

(t)d

t

A-

(t)e

Bu

=

,

выражаем

находим неизвестную функцию (t)С, учитывая, что при t = 0 постоянная интегрирования равна нулю:

t

-

τ

A

t=

)dτ(e(t) BuС

ò

0

,

где t – текущая переменная интегрирования.

Подставляя полученные выражения (85) и (87) в общее решение (86) неоднородного уравнения, получаем

tt

AA

(t)ee(t)(t)(t)

Сcxxx

чo

×+×=+=

или

t

-

τtt

AAA

ò

0

Используя начальные условия

tt×+×=

)d(eee(t) Bucx

.

, находим оконча-

xx(0)

0

тельный вид решения системы неоднородных дифференциальных уравнений (73) в матричном виде

t

-

t

0

τ)(t

AA

ò

0

t+=

)dτ(ee(t) Buxx

. (88)

Формула (88) достаточно легко применяется только для диагональной матрицы А. В этом случае матричная экспонента просто равна диагональной матрице экспонент:

ta

11

æ ç

ç

t

A

=

e

ç

ta

22

ç ç

è

ö

0.0e

÷ ÷

0.e0

.

÷

....

÷

ta

÷

nn

e000

ø

В общем же случае матричная экспонента представляется бесконечным сходящимся рядом:

t

A

1

() ()

te

1

k2

...t

+++=

AAAE

....t

178

3. Приведение матричного уравнения к новым координа-

ΛATT1=

там или метод диагонализации матрицы коэффициентов

Аналитическое решение системы нормальных дифференциальных уравнений (73) осложняется в случае, если матрица А недиагональная, так как

tata

exp

é

æ ç

ê

ç è

ë

ù

aa

1211

aa

2221

æ

ö

ç

÷

¹

t

ú

÷

ç

ø

è

û

Для нахождения матричной экспоненты

1211

ö

ee

÷

.

tata

÷

2221

ee

ø

teA

можно привести уравнение (73) к новым координатам, в которых матрица, подобная А была бы диагональной.

Уравнение (73) в векторно-матричном виде подвергнем не-

особым преобразованиям,

x(t) = Тy(t),

где Т – неособая матрица (имеет обратную матрицу) перехода к новой системе координат y.

Производную

d y

dt

d

Tx=

,

dt

подставим в исходное уравнение (73):

(t)d

y

T +=

(t)(t)

buATy

.

dt

Последнее выражение умножим на Т-1 слева:

(t)d

y

TT

111 ---

(t)(t)

buTATyT

+=

.

dt

Обозначим

-

, (89)

где L – диагональная матрица собственных значений матрицы A.

Окончательно приходим к уравнению:

(t)d

y

1-

(t)(t)

buTΛy

+=

. (90)

dt

В уравнении (90) две неизвестные матрицы – L и Т-1. Эле-

менты матрицы L – собственные значения матрицы А можно найти двумя способами:

179

1) из характеристического уравнения:

TΛAT

TT1=

TΛAT

=

22´

0det =l- EA ,

здесь Е – единичная диагональная матрица;

2) с помощью функции Mathcad eigenvals(A).

Аргумент А функции eigenvals – матрица. Функция воз-

вращает собственные значения аргумента.

Для нахождения матрицы Т обе части выражения (89) ум-

ножим слева на Т:

-

тогда

,

. (91)

Чтобы определить матрицу Т необходимо решить матричное уравнение (91). В Mathcad для решения такого уравнения имеется функция eigenvecs(A). Аргумент А функции eigenvecs – исходная матрица А. Функция возвращает системообразующую матрицу Т, преобразующую матрицу А к канонической (диаго- нальной) форме. Это возможно, если корни характеристического уравнения различные.

После определения элементов матриц – L и Т, для получения решения уравнения (90) с диагональной матрицей коэффициентов можно воспользоваться формулой (88). Для уравнения

(73) в случае размера матриц

0λ

ö

æ

1

÷

ç

t

÷

1

ç

2

è

÷

=

e

÷

(t)y

ø

ç

(t)y

ö

æ

y

ö

æ

λ0

01

2

ø

÷

ç

÷

ç

y

02

ø

è

+

решени е имеет вид

0λ

ö

æ

1

÷

ç

t

ç è

e

ò

0

-

τ)(t

÷

æ

λ0

2

ø

ç

ç è

-

1

0

tt

1211

tt

2221

ö

æ

ö

ç

÷

ç

÷

b

è

ø

÷

u(t)dτ

÷ ø

,

где

-

1

y

ö

æ

01

÷

ç

=

÷

ç

y

02

ø

è

tt

æ ç

ç è

1211

tt

2221

x

ö

æ

ö

01

÷

ç

÷

÷ ø

.

÷

ç

x

02

ø

è

Искомая функция x(t):

x

æ ç

ç

x

è

y

ö

1

ç

÷

=

ç

÷

2

è

ø

1211

tt

2221

tt

æ

ö

æ

ö

1

÷

ç

÷

.

÷

ç

÷

y

2

ø

è

ø

180

4. Решение матричного уравнения с помощью теоремы

!

k

!

2

-

22´

-

---

Лагранжа-Сильвестра

Метод позволяет получить аналитическое решение системы нормальных дифференциальных уравнений (73) в случае, если матрица А недиагональная, не прибегая к линейному преобразованию координат.

Как известно матричная экспонента e

сходящийся ряд

t

A

1

() ()

te

Теорема утверждает, что ряд от матрицы

At

представляет собой

1

...t

+++=

k2

AAAE

....t

¥

c Af(A)

å

k

==1k

k

сходится к конечной сумме

å

=n1i

, где li – собственные

)(λ)(λ Ff

ii

значения матрицы А:

n

λ

j

=

)(λEAF

Õ

i

=

1j

¹

ij

. (92)

-

λλ

ji

Для функции f (A) = eAt с учетом (92) получаем

n

t

A

=

tλ

i

ee

Õå

=

1i

λ

EA

j

.

-

= ¹

λλ

1j

ij

ji

Таким образом, для матрицы А, размером

λ

tλ

t

A

ee

=

2

e

+

λλ

-

21

λ

tλ

21

1

,

λλ

-

12

для матрицы размером 3х3:

λ

tλ

t

A

ee

=

2

λλ

λ

-

tλ

3

e

+

λλ

-

λ

3

e

+

λλ

-

21

1

13

31

λ

-

EAEA

2

.

λλ

-

23

λ

tλ

21

1

λλ

, имеем

12

λ

EAEAEAEA

3

+

λλ

-

32