Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
131
характеристики нелинейного звена, оценить координаты точки
(
)
=
()(
)
-
=
()(
)
×
=
их пересечения; если графики не пересекаются – изменяя коэффициенты регулятора, постараться обеспечить их пересечение;
- уточнить значения амплитуды и частоты колебания на
входе нелинейного звена, полученные графическим методом на
предыдущем этапе, путем численного решения уравнения
Гольдфарба; корни уравнения должны быть действительными;
- используя программу лабораторной работы № 8 построить переходные процессы для
лебаний (если они возникают) и амплитуду сигнала х(t); срав-
нить их с вычисленными в предыдущем пункте;
- сделать выводы о причине возможного расхождения результатов.
Теоретические сведения
Метод гармонического баланса. В общем случае условие
возникновения автоколебаний в замкнутой нелинейной системе
формулируется следующим образом: если гармонический сигнал при прохождении через разомкнутую систему сохраняет
амплитуду (баланс амплитуд), а фазу изменяет на 180о (баланс
фаз), то при замыкании такой системы в ней возникнут автоколебания. Для системы, разомкнутой перед нелинейным звеном
(рис. 60), условие возникновения автоколебаний будет записано
как:
и
0tg
, определить частоту ко-
tx1tx
ωtsinAtx1
. (49)
Рис. 60. Структурная схема условно разомкнутой системы
Чтобы проверить выполнение условия возникновения автоколебаний в конкретной системе, например, с нелинейной
функцией представленной на рис. 55, необходимо перейти
132
от сигналов к параметрам системы, используя ее математиче-
()()(
)
×
=
()()(
)
-
=
()()(
)
=
()(
)
=
ское описание:
tepWptx
,
tytgte
, (50)
tupWoty
,
x1Φtu
,
где Wр(p) и Wо(p) - передаточные функции регулятора и объекта управления в операторной форме, Ф(х1) - функция нелинейного преобразования сигнала х1(t).
При подаче на вход нелинейного звена разомкнутой системы гармонического сигнала х1(t) с амплитудой A>b, на выходе нелинейного звена (рис. 55) сформируется периодический
импульсный сигнал u с прямоугольными импульсами (рис. 61),
период следования которых совпадает с периодом входного
гармонического сигнала.
Рис. 61. Сигналы на входе и выходе нелинейного звена
Управляющий сигнал u можно представить в виде суммы
гармонических сигналов ( ряда Фурье):
¥
() () ()
где ak и bk - коэффициенты ряда Фурье, вычисляемые как:
[ ]
å
=
0k
T
2
a
=
()()
ò
T
0
+×=
, k=1, 2, ... (51)
dttωsintu
kk
kkkk
tωcosbtωsinatu ,
133
T
()()(
)
+
»
()()()()(
)
××+××
»
()()(
)
[
]
+××
=
()()(
)
[
]
=
=
2
()
=
b
0
ò
T
0
T
2
=
b
где wk - частота k-й гармоники, равная 2pk/T, T - длительность
интервала разложения функции, равная периоду повторения
сигнала Т= 2p/w.
Если линейные звенья системы выполняют фильтрацию
низких частот сигнала, то при прохождении сигналом этих
звеньев амплитуды гармоник сигнала u, частоты которых выше
частоты среза АЧХ звеньев, будут уменьшены по сравнению с
первой гармоникой. Вследствие этого, с определенной степенью
точности, можно ограничится анализом изменения амплитуды
и фазы только первой (основной) гармоники, приняв
или
где a1(A) =a1/А , b1(A) = b1/A.
Выражение (53) можно переписать как
T
ò
0
() ()
По аналогии с линейными системами функции g(A) и q(A)
можно считать модулем и фазой некоторой комплексной характеристики нелинейного звена
J (A)= g(A)exp[jq(A)] = a1(A) + jb1(A),
эквивалентной частотной характеристике или передаточной
функции линейной системы. Сигнал на выходе нелинейного
элемента с учетом сказанного будет равен u = J (A)х1.
Коэффициенты a1(A) и b1(A) в соответствии с (51), (52)
2π
при
T =
ωω
и
1
могут быть записаны как:
ω
1
,
dttu
()()
[ ]
2
1
, k=1, 2 ... (52)
dttωcostu
kk
tωcosbtωsinatu
,
1111
1
()
[ ]
AbAaAg += ,
1
A/aAbarctgAθ
11
tωcosAAbtωsinAAatu
, (53)
1111
AθtωsinAAgtu
,
2
.
134
πA
φ
=
(
)
()()(
)
()(
)
+==
()(
)
-==
(
)
=
(
)
j+=
=
1
πA
T
1
òò
0
T
òò
0
tωdtωsintu
11
tωdtωcostu
11
===
===
(55)
(54)
.
1
T
Aa
TA
2π
1
ò
0
2
TA
2π
() ()
ò
0
2
0
() ()
dφφsinφu
T
0
dφφcosφu
,
,
dttωsintu
11
dttωcostu
11
φu принимает постоянные значения на участках
,2πφ,φ,φ,φ0,
, интегралы (54), (55) представляются
2211
() ()() ()()()
=
πA
() ()() ()()()
Ab
1
=
πA
где
- фазовый угол гармонического сигнала, равный tωφ
Так как
суммами интегралов от элементарных функций косинуса и синуса для этих участков:
φ
2
φ
1
φ
2
φ
1
2π
-+-=
òòò
φ
2
2π
-+-=
òòò
φ
2
ù
ú
dφφs indφφsindφφs in
ú
û
ù
ú
dφφcosdφφcosdφφcos
ú
û
а φφ
φ
é
ê
ê
ë
é
ê
ê
ë
1
0
φ
1
0
1
1
2,1,
πA
Q
() () () ()
Ab ,
πA
определяются из условия достижения входным гар-
Q
() () () ()
Aa ,
моническим сигналом x1 пороговых уровней переключения -b и
+b , т.е.
bφAsinφx1
или
11
1
и
b/Aarcsinφ
,
bφAsinφx1
22
πb/A-arcsinφ
. (56)
12
Коэффициенты a1(A), b1(A) с учетом выражений (56)
равны
é
Q
() () () ()
Aa
1
πA
ê
ê
ë
φ
1
0
φ
2
φ
1
φcosφcosφcos
+-= ,
2π
φ
ù
4Q
1
ú
ú
2
û
-=
πA
2
b
ö
æ
÷
ç
A
ø
è
135
Ab
()()()()(
)
×-=
()()(
)
-
=
()()(
)
-
=
1
πA
ê
ê
ë
é
Q
() () () ()
φ
1
0
φ
2
-+= .
φ
1
2π
ù
φsinφsinφsin-
-=
ú
φ
ú
2
û
4Qb
πA
2
Для случая g(t)=0, исключая из системы (50), промежу-
точные переменные e(t), y(t), u( t), получаем
tx1AJpWopWptx
. (57)
Условие возникновения автоколебаний (49) с учетом выражения (57) можно записать в следующем виде:
1AJpWopWp
.
Для линейной части системы управления с конечной импульсной характеристикой правомерна замена р на jw , т. е.
1AJjωWojωWp
. (58)
Если можно найти действительные значения А и w, удов-
летворяющие условию (58) (действительные корни уравнения
(58), то эти значения и будут параметрами автоколебаний, возникающих в замкнутой нелинейной системе. Решать уравнение
(58) можно графическим методом путем построения графиков
комплексных функций линейной и нелинейной частей F(jw)
=Wp(jw).Wo(jw) и G(A)=-1/J (A) = -1/[a( A) + jb(A)] с нахождением значений A, w, соответствующих точкам пересечения гра-
фиков. Можно также построить графики функций H(jw ) =
=-1/[ Wp(jw ).Wo(jw)], J(A) и искать координаты их точек пересечения.
В первом случае решается уравнение (58), преобразованное к виду Wp(jw ).Wo(jw) = - 1/ J(A) и называемое уравнением
Гольдфарба.
Первый вариант построения позволяет оценить устойчивость автоколебаний по критерию Л. С. Гольдфарба: для устойчивой разомкнутой линейной системы точка пересечения комплексной частотной характеристики линейной части системы и
- 1/ J(A) определяет w и А, соответствующие устойчивым автоколебаниям, если при увеличении А кривая - 1/ J(A) выходит за
пределы контура АФЧХ или контура, дополненного окружно-
136
стью с радиусом больше единицы, начинающейся на действи-
èöø
èöø
ê
ë
ú
û
тельной полуоси (см. критерий Найквиста).
Пример выполнения
Запишем начальные неизменяемые условия, затем с учетом полученных аналитически функции а1(А) и b1(A), запишем
комплексную функцию нелинейного звена и частотную характеристику линейной части:
Ki
,
,
ù
.
j 1-:=
Kn2:= Ki 0.5:= Kd 0.5:= g0:=
()
W w
( )
JA() 4
Q 2:= b 0.5:= T12:= T23:= Ko2:=
Ko
T1j×w× 1+
é
Q
× 1
:=
pA×
( )
T2j×w× 1+
×
2
b
æèö
-× j4
A
ø
,
×:=
æ
Kn
æ
×-
+ Kdj×w×+
j w×
Qb×
×
pA2×
Для построения графиков комплексных функций частотной характеристики линейной части системы и обратной характеристики нелинейного звена (рис. 62), введем функцию
:=
1-
и зададим область изменения аргументов, а также
JA()
GA()
их начальные значения:
x 0 0.01, 4..:= w01:=
A0:=b.
0.5
ImWw0x+( )( )
ImGA0x+( )( )
0
0.5-
1-
1- 0.8- 0.6- 0.4- 0.2-
ReWw0x+( )( )ReGA0x+( )( ),
Рис. 62. Комплексные функции
Чтобы возникали автоколебания, графики должны пересекаться. В случае отсутствия их пересечения следует попробо-
137
вать уменьшить начальное значение ω
1.5
0.53
0
ø
)
, а также изменять Kn,
0
Ki, Kd, наблюдая за перемещением графика W(ω).
Значения А и w в точке пересечения графиков (рис. 62)
являются решением уравнения (58). Оценить значения А и w в
точке пересечения можно путем изменения (увеличения) А0 и
w0; значения А0 и w0, при которых оба графика начнутся из
точки пересечения и будут искомыми.
Если в точке пересечения графиков функция G(A) выходит из области АФЧХ линейной части, возникающие автоколебания, в соответствии с критерием Гольдфарба, будут устойчивыми. Чтобы проверить, что функция G(A) выходит из области
АФЧХ при увеличении А можно увеличивать А0 и следить за
перемещением начала графика функции G(A), для устойчивости
колебаний начало графика должно выйти из области АФЧХ.
Уточнить корни можно с помощью программы решения
нелинейных уравнений. Для поиска значений А и w зададим на-
чальное их приближение, полученное из рис. 62, и запишем
процедуру решения нелинейного уравнения:
w
:= A
Given
W w( ) JA()× 1+
:=
A0>w0>
w
æèö
A
:=
Find w A, (
.
Найденные корни должны быть действительными. Если
они окажутся комплексными, следует изменять начальные значения.
w 1.473= A 0.737=
Пров ерим решение:
W w( ) JA()× 1+ 0=
Определим период колебаний:
.
T2
×:=
p
w
T 4.266=
.
138
Проверим полученные значения и заключение об устойчи-
40
4000
вости колебаний по переходному процессу и фазовому портрету.
Для этого зададим в Mathcad интервал дискретизации времени и
начальные значения переменных:
Dt 0.01:= g0:= S0:= y00:= y10:= u0:= usQ:=
е 0
:=
x0:=
.
Запишем программу аналогичную программе из лабораторной работы 8 и построим графики переходных процессов
(рис. 63) без сигнала u.
0.8
0.6
y
0.4
i
0.2
e
i
30 32 34 36 38
0.2-
x
i
0.4-
0.6-
0.8-
iDt×
Рис. 63. Колебательные переходные процессы
Значения амплитуды сигнала х и периода колебаний, полученные из графиков рис. 63, примерно равны 0,62 и 3,9, что
достаточно близко к рассчитанным выше.
Построим фазовую траекторию (рис. 64) для координаты х
xix
-
i1-
i1
Dxi()
:=
Dt
..:=
2
1
Dxi()
0
12-
0.8- 0.6- 0.4- 0.2- 0 0.2 0.4 0.6 0.8
x
i
Рис. 64. Фазовая траектория
139
Переходные процессы и фазовая траектория показывают,
что в системе возникают устойчивые автоколебания с мягким их
возбуждением.
Задание
Выполнение настоящей работы производится по данным
лабораторной работы № 8.
Содержание отчета
В отчете привести:
- структурную схему исследуемой системы;
- передаточные функции исследуемого объекта, регулятора,
частотную характеристику линейной части системы;
- уравнения, описывающие сигналы в системе;
- графики гармонического воздействия на входе нелинейно-
го звена и реакции на него на выходе нелинейного звена;
- вывод комплексной характеристики нелинейного звена;
- уравнение Гольдфарба;
- графическое и численное решения уравнения Гольдфарба;
- рассчитанные значения частоты колебаний и амплитуды х;
- переходные процессы в системе и фазовую траекторию
для сигнала х;
- выводы о соответствии между расчетными параметрами
колебательных процессов и результатами моделирования, об
устойчивости колебательных процессов.
Контрольные вопросы
1. На чем основан метод гармонического баланса, метод
гармонической линеаризации?
2. Как построить графики функций: гармонической на
входе нелинейного звена и кусочно-непрерывной – на выходе?
3. Как описать кусочно-непрерывную функцию на выходе
нелинейного звена с помощью ряда Фурье?
4. Как записать выражения для коэффициентов ряда Фурье?
5. Каким свойством должна обладать линейная часть сис-
темы, чтобы реакцию нелинейного звена на гармоническое воз-
действие также можно было описать гармонической функцией?
6. Покажите вывод первых коэффициентов ряда Фурье.
140
7. Как записать комплексную характеристику нелинейно-
го звена?
8. Как записать условие возникновения автоколебаний в
замкнутой нелинейной системе?
9. Как записать и решить уравнение Гольдфарба?
10. Как определить частоту и амплитуду автоколебаний,
возникающих в системе?
11. Как оценить устойчивость автоколебаний, возникаю-
щих в замкнутой нелинейной системе?
Лабораторная работа № 10.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Цель работы: закрепление теоретических сведений по
динамике замкнутых систем управления; приобретение навыков расчета параметров случайных процессов на выходе линейной системы управления, а также ошибки в системе регулирования.
Порядок выполнения работы
Провести исследование влияния входного случайного
процесса и параметров регулятора для замкнутой линейной
систем регулирования (рис. 65) на дисперсию и математическое ожидание ошибки регулирования при нулевом и ненулевом
входном воздействии:
Рис. 65. Структурная схема системы регулирования
- установить нулевой уровень входного сигнала g(t), и, задав
параметры случайного процесса, с помощью генератора
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]