Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
41
Рис. 16. Стиль линии и цвет кривой
При записи функции не следует использовать для задания
аргумента функции скобки, отведенные под единицы
измерения. Координатная сетка, к сожалению, не выводится.
Контрольные вопросы
1. Какие редакторы входят в состав Mathcad?
2. Как осуществить ввод и редактирование формульного
и текстового блоков?
3. Как построить графики функций в Mathcad?
4. Какие типы данных существуют в Mathcad?
5. Как осуществлять расчеты с использованием размер-
ных переменных?
6. Какие операторы присваивания используются в
Mathcad?
7. Какие операторы применяются для вывода результатов
вычислений в Mathcad?
8. Какие вы знаете операторы отношения и логические
операторы?
9. Как изменить формат представления результатов?
10. Как изменить размещение результатов вычислений в
документе?
11. Как решить простейшие уравнения в Mathcad?
12. Какие способы дифференцирования и интегрирования
выражений используются в Mathcad?
13. Какие преобразования функций можно выполнить в
системе Ma thcad?
42
Лабораторная работа № 1.
Ts×1+()
s21
+
(
)
×
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель работы: получение навыков по решению диффе-
ренциальных уравнений различными методами.
Порядок выполнения работы
Для заданных дифференциальных уравнений найти решения при различных начальных условиях и различных правых
частях методами:
- преобразований Лапласа;
- Эйлера (численно с переходом к уравнениям в конечных
разностях);
- одним из численных методов, реализованным в виде
процедуры Mat hca d, например, с помощью блока Given и функ-
ции odesolve(t, Тк[n]).
Если выбранный метод не позволяет получить решение,
перейти к следующему методу или следующей задаче.
Теоретические сведения
1. Решение с помощью обратного преобразования Лапласа
Последовательность решения:
- записать дифференциальное уравнение в преобразовани-
ях Лапласа с учетом начальных условий, для этого необходимо
выполнить преобразование Лапласа отдельно для левой и правой частей уравнения, например, уравнение
d
Ttyt()
× yt()+
d
= k sin( t)
в преобразованиях Лапласа будет иметь вид
TsY(s) - Ty(0) + Y(s)=k/(
s21+
);
- выразить в явном виде Y(s) из полученного выражения:
Ys()
k
+
Ts× 1+
y0T×
;
- выполнить обратное преобразование Лапласа, используя
необходимые упрощающие условные обозначения, например,
y(0)=y0.
43
Результат обратного преобразования Лапласа – искомая
(
)
ΔtyyΔtΔydt
-
функция y(t). Если функция-изображение громоздкая, обратное
преобразование можно выполнять по частям для отдельных слагаемых или групп слагаемых.
Для построения графика функции (рис. 17) необходимо
задать значения параметров уравнения и упростить полученное
выражение:
k2:= T3:= y01:=
yt()
kT× y0+ y0T2×+
2
( )
1T
+
Рис. 17. Решение с использованием преобразований Лапласа
×
exp
t-
æèö
T
k- T× cost()× k sint()×+( )
+:= .
ø
2
( )
1T
+
2. Приближенное численное решение
Последовательность решения:
- заменить производные в дифференциальном уравнении
отношением конечных разностей:
2
T1 T2×( )
dy
d
yt()
× T2 T1+( )tyt()
2
t
d
=» ,
1ii -
d
×+ yt()+ Ko ut()×
d
,
dt
2
2
yd
2
yΔ
=» ,
2
Δt
Δt
yy
D-D
1ii
=
2
Δt
yy2y
+-
2i1ii
---
2
44
T1 T2×
(
)
(
)
0.01
ë
û
ë
û
+
i1-
× T1 T2+( )
Dt
i2-
2
yiy
-
×+ yi+ Koui×
i1-
Dt
yi2y
×- y
- из полученного уравнения выразить элемент у с макси-
мальным индексом через остальные составляющие, задать значения переменным и интервал изменения индекса (количество
определяемых точек):
Dt
Ko2:=
T12:= T23:=
:=
y00:= y10:=
a0:= b0:= u1:=
i 2 2000..:=
;
:=
i
2 T1× T2× Dt T1 T2+( )×+
T1 T2× T1 T2+( ) Dt×+ Dt2+
y
y
× T1 T2× y
- Ko Dt2× u×+
i1-
i2-
- построить график (рис. 18):
Рис. 18. Решение численным методом
3. Решение с помощью блока Given и функции odesolve
Последовательность решения:
- записать все исходные параметры уравнения:
T1 0.5:= T2 0.5:= k3:=
;
- записать начало блока Given;
- записать дифференциальное уравнение и начальные ус-
ловия, причем, знак равенство используется из логических операций, знак дифференцирования (штрих) для записи начальных
условий – в левом верхнем углу клавиатуры:
2
2
d
T1()
zt()
× T2tzt()
2
t
d
d
×+ zt()+ k sin 5t()×
d
,
;
45
z0()1,z'0()0
(
)
=
(
)
=
- записать функцию odesolve в виде
z:= odesolve(t, p,[n]),
где t – переменная интегрирования,
p – верхний предел изменения t (нижний равен 0),
n – число точек, определяющее шаг приближенного интегриро-
вания (n = p/Dt). Если число точек не задано – шаг выбирается
автоматически из условия допустимой погрешности;
- построить график функции (рис. 19):
Рис. 19. Решение с использованием функции odesolve
В системе Mathca d Prime вместо блока Given следует использовать Блок решения из библиотеки Математика, записывая
начальные условия, уравнение и функцию odesolve в соответствующих областях блока.
;
Пример выполнения
Решить уравнение
2
T1
при конкретных значениях параметров Т1, Т2, k и начальных
условиях
1. Решение дифференциального уравнения с помощью
преобразований Лапласа
Выполним преобразования Лапласа для правой части
уравнения (1) с использованием функции laplace
yd
2
dt
0y0y
,
T2
dy
dt
10y0y'
.
()
tsink
×=×+× (1)
46
()
(){}()(){}()(
)
×-××=××=×
2
:=
)
k
t,laplacetsink
®× .
2
1s
+
Левую часть уравнения (1) в преобразованиях Лапласа
запишем самостоятельно, используя свойства преобразований:
,0yasYsaty'aL,sYatyaL
(){ } () () ()
2
,0y'0ysasYsaty''aL
-××-××=×
где L – оператор преобразования Лапласа;Y(s) – изображение
функции y(t) в преобразованиях Лапласа; у(0) и у’(0) – значения
функции и ее производной в нулевой момент времени; s – переменная Лапласа.
Тогда полное уравнение в преобразованиях Лапласа без
добавления аргумента s у функции Y примет вид:
( )
[ ]
( )
y0YsT2y10y0YssT1
k
=-××+--×× .
2
1s
+
Выражаем отсюда Y, ( отмечаем переменную Y курсором
и выбираем пункт меню Символика/ Переменная/ Решить):
T1y0s3×× T1y0s××+ T1y10s2××+ T1 y10×+ T2y0s2××+ T2 y0×+ k+
( )
s21+
s T1s× T2+( )××
Задаём начальные условия и значения коэффициентов
y01:= y102:=
,
T1
T23:=
k2:=
.
Выполняем обратные преобразования Лапласа от полученного выражения и присваиваем полученный результат функции y1(t):
3-
t×
×-
cost()×-
13
6
2
e
13
4
sint(
×-:=
.
y1t()
238
39
Строим график решения, задавая интервал изменения t и,
при необходимости, верхний и нижний пределы изменения графика (рис. 20).
47
Δt
dt
-
Δt
-
+×»
4
)
0.01
y0
2000
3
y1t()
2
1
0 5 10 15 20
t
Рис. 20. Решение уравнения с помощью преобразований Лапласа
2. Решение дифференциального уравнения методом
Эйлера
Записываем уравнение (1) в конечных разностях (уi - индексированная переменная) с учетом конечно-разностных выражений для первой и второй производных выведенных выше, а так-
же заменяем переменную t в правой части уравнения на i.Δt:
yi2y
×- y
+
i1-
T1
× T2
Dt
i2-
2
yiy
-
Dt
i1-
×
×+ k sini Dt×(
.
Задаем шаг изменения времени Δt, начальные значения
функции у0 и производной у10, вычисляем первое значение у1,
используя формулу для приближенного вычисления производной:
dy
(t)y'
»= и
yy
1ii -
(0)y'
» ,
yy
01
откуда получаем
yΔt(0)y'y
,
01
задаем интервал изменения индекса i:
Dt
:= y
i2
..:=
.
:= y1y10 Dt× y0+:=
0
Выражаем уi через правую часть, не содержащую уi:
2 T1× Dt T2×+( )y
y
:=
i
× T1y
i1-
T1 T2 Dt×+
×- Dt2k× sini Dt×( )×+
i2-
.
48
Строим графики функций уi, полученной методом конеч-
)
1
2
)
ных разностей, и y1(t), полученной с помощью преобразований
Лапласа (рис. 21).
Если отклонение графиков небольшое, следует уменьшить
шаг изменения времени Δt, при больших отклонениях необходимо искать ошибки в записях.
4
3
y1t()
2
y
i
1
0 5 10 15 20
tiDt×,
Рис. 21. Графики решений, полученных двумя методами
3. Решение дифференциального уравнения с помощью
функции odesolve
Записываем блок решения уравнения по правилам, изложенным выше, используя в качестве обозначения функции уо,
Given
2
d
T1
yo0()
yo Odesolve t 20, 2000, (
yot()
× T2tyot()
2
t
d
:=
d
×+ k sint(
d
yo'0()
.
×
Строим графики функций yo(t), полученной с помощью
функции odesolve, и y1(t), полученной с помощью преобразова-
ний Лапласа. Графические изображения решений уравнения,
полученных тремя различными способами, должны совпасть.
49
Задания
2
2
1. Решить уравнение, выданное преподавателем из урав-
нений (2) – (5), с помощью преобразований Лапласа, методом
Эйлера и с использованием функции odesolve.
2
y(t)d
kf(t)
= . (2)
2
dy(t)
T2
2
2
2
T2
dt
dy(t)
=+ . (4)
dt
kf(t)T2y(t)
=+ . (5)
kf(t)y(t)
=++ . (3)
kf(t)
T1
T1
T1
T1
2
dt
dt
dt
y(t)d
2
y(t)d
2
y(t)d
dt
Правую часть уравнения f(t) взять из табл. 5 в соответствии
со своим вариантом, коэффициенты уравнения – из табл. 6, начальные условия задать самостоятельно.
Таблица 5
Вариант f(t) Вариант f(t) Вариант f(t)
1 sin(2t) 9 2t2-3t 17 0, 9 exp(3t)
2 cos(5t) 10 2 cos(t)-sin(t) 18 0,15 t
3 exp(-2t) 11 4,9 t-2 19 4 exp(t)
4 2t2-3 12 1,2 exp(-2t) 20 3cos(2,5t)
5 8,5 - t 13 3,8 sin(0,2 t) 21 6 exp( -2t)
6 3 ,8t 14 4,2 cos(3t) 22 4,3 t-5
7 4 cos(0,2t) 15 0,8 t-2 23 0,8 sin(2t)
8 2exp(-5,6t) 16 3,9 t2-2t 24 4,9 t
Таблица 6
Вариант T1 T2 k Вариант T1 T2 k
1 2 3 4 5 6 7 8
1 0,5 0,8 1,2 13 0,56 0,98 1,4
2 1,18 5,94 0,87 14 0,14 2,37 1,67
3 0,14 0,12 0,01 15 8,63 4,9 0,87
4 11,0 5,0 3,0 16 7,9 0,45 4,68
5 0,85 0,68 0,23 17 1,54 0,82 2,38
6 4,23 4,87 3,56 18 2,18 7,54 0,9
7 0,15 0,18 1,67 19 0,43 0,59 1,24
50
Окончание табл. 6
1 2 3 4 5 6 7 8
8 0,58 0,97 0,45 20 3,1 2,47 6,71
9 5,74 5,61 3,28 21 1,86 0,79 1,14
10 0,45 0,78 0,25 22 1,37 2,145 2,56
11 1,42 1,78 2,64 23 3,71 1,15 4,57
12 0,84 1,27 0,47 24 2,43 3,47 5,11
2. Найти решение этого же уравнения аналитически в виде
суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Постоянные интегрирования
определить из начальных условий, используемых в п. 1.
Содержание отчета
В отчете следует привести:
- решаемое дифференциальное уравнение;
- методики и программы решения;
- графики решений;
- выводы о совпадении результатов.
Контрольные вопросы
1. Чему равно изображение по Лапласу производной от
функции времени?
2. Чему равно изображение по Лапласу интеграла от
функции времени?
3. Запишите интеграл Лапласа для функции f(t).
4. Как получить решение дифференциального уравнения с
помощью преобразований Лапласа (на примере конкретного
уравнения)?
5. Что является приближенным аналогом первой произ-
водной, второй производной?
6. Как получить приближенное решение дифференциаль-
ного уравнения второго порядка численным методом Эйлера?
7. Какое дифференциальное уравнение называют одно-
родным, неоднородным?
8. Как получить характеристическое уравнение для неод-
нородного дифференциального уравнения?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]