Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
101
4) выбирают корни характеристического уравнения из до-
пустимой области, в количестве, равном числу определяемых коэффициентов регулятора;
5) записывают характеристическое уравнение в форме
Безу, используя выбранные значения корней; не выбранные корни записывают в символьном виде (si);
6) раскрывают скобки, объединяют слагаемые с одинаковыми степенями переменной Лапласа s и упорядочивают
слагаемые по возрастанию или убыванию степеней s;
7) приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s
в левых частях уравнений, записанных в пунктах 2 и 6,
получают систему алгебраических уравнений для поиска
коэффициентов регулятора;
8) решая систему, полученную в п. 7, находят коэффициенты регулятора, которые должны быть положительными;
если порядок характеристического уравнения больше
числа определяемых коэффициентов регулятора, то
часть корней, не выбранных в п. 4, находят из алгебраических уравнений – они должны попадать в область, определенную в п. 3;
находят корни уравнения и сравнивают их с выбранными в п. 4, 8 – корни должны совпадать;
10) строят переходные процессы замкнутой системы с помощью обратного преобразования Лапласа или численным методом и определяют показатели качества, по которым синтезируется система, сравнивают их с допустимыми. Если показатели качества не хуже требуемых,
заканчивают синтез.
Пример выполнения
Синтезируем замкнутую систему с ПИД-регулятором для
объекта с передаточной функцией
)s(Wo
=
в соответствии с приведенным алгоритмом при Т1 = 5; Т2 = 15;
k = 8; m = 1,2; h = 2.
k
)1s2T)(1s1T(
+×+×
102
1. Передаточная функция разомкнутой системы, состоя-
(
)
(
)
2T1
T
2T1
T
2T1
T
×
+
×
+×+
щей из последовательно соединенных ПИД-регулятора и объекта:
Ki
æ
ç
è
Передаточная функция замкнутой системы, полученной
охватом единичной отрицательной обратной связью разомкнутой системы:
)s(Wz
= .
2. Характеристическое уравнение системы :
ö
sKdKn)s(Wp
+×+=
÷
ø
×+×+×
( )
.
)1s2T)(1s1T(ks
+×+×
2
sKdsKnKik
2
sKdsKnKiks)1s2T()1s1T(
×+×+×+×+××+×
2
,
0sKdsKnKiks)1s2T()1s1T(
=×+×+×+×+××+×
или
)2TKdk1T(
23
s
+ .
Таким образом, получаем уравнение третьего порядка,
имеющее три корня.
3. Построим область существования корней по заданным
показателям колебательности и степени устойчивости m = 1,2;
h = 2 (рис. 47).
×
s
+×
)1Knk(
×
s
Kik
0
+×
=
×
Рис. 47. Область расположения корней замкнутой системы
и выбранные корни
103
4. Разместим на комплексной плоскости корни характери-
()()(
)
=++-+
+
2T1
T
+×+
2T1
T
+
×
2T1
T
×
(
)
36
72.5
281.125
337.5
72.5
281.125
337.5
-
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
стического уравнения в допустимой области в соответствии с
рис. 46: s1= -2; s2= -3+3j; s3= -3-3j.
5. Характеристическое уравнение замкнутой системы в
форме Безу
0j33sj33s2s
.
6. Раскрываем скобки и объединяем коэффициенты при
одинаковых степенях s. Для этого можно использовать процедуру Mathcad
s2+( )s3+ 3j×-( )× s3+ 3j×+( )× collect s38s2×+ 30s×+
7. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s
уравнений из п. 2 и п. 6, запишем систему уравнений
)2TKdk1T(
8
=
, 30
×
)1Knk(
=
×
Kik
, 36
=
×
8. Решаем записанную в п. 7 систему уравнений
T1 k Kd×+ T2+
T1 T2×
k Kn× 1+
T1 T2×
k Ki×
T1 T2×
36
30
solve Ki,
float6,
8
solve Kn,
float6,
solve Kd,
float6,
®
®
®
Переприсвоим значения коэффициентов для дальнейших
вычислений
Kd
:= Kn
:= Ki
:=
Запишем уравнение из п. 2
и решим его относительно s:
s T1s× 1+( )× T2s× 1+( )× k Ki Kn s×+ Kds2×+
( )
×+
solve s,
float6,
Как видно, корни совпали с выбранными в п. 4.
2
®
.
+®
;
0sKdsKnKiks)1s2T()1s1T(
=×+×+×+×+××+×
2.0
3.0- 3.0i-
3.0- 3.0i+
.
104
9. По передаточной функции замкнутой системы
(
)
×
=
)s(G)s(Wz)s(
H
=×=
1.4
2
sKdsKnKik
)s(Wz
=
×+×+×
( )
2
sKdsKnKiks)1s2T()1s1T(
×+×+×+×+××+×
запишем изображение по Лапласу процесса на выходе системы
при нулевых начальных условиях и заданном входном воздейст-
вии, например, )t(14,1)t(g
g t( ) 1.4 F t()×:=
1.4 F t()× laplace
:
1.4
®
s
=
( )
( )
2
sKdsKnKik4.1
×+×+××
22
ssKdsKnKiks)1s2T()1s1T(
××+×+×+×+××+×
и выполним обратное преобразование Лапласа:
ht() 0.487- e
2.0- t×
× 0.913- cos 3.0t×( )× e
3.0- t×
×+ 2.37sin 3.0 t×( )× e
3.0- t×
×+
Построим графики (рис. 48) функций выхода системы, задания и ошибки управления e(t):=g(t) – h(t).
2
1.5
ht()
et()
gt()
1
0.5
0
0.5-
0 0.5 1 1.5 2
t
Рис. 48. Выход системы, ошибка управления и задание
Как видно по графику переходного процесса, время регу-
лирования при Δ=0,1 составляет около 0,8 с. Верхняя граница
оценки этого же времени по степени устойчивости равна
,
+:=
105
1
4.1
-
(
)
(
)
1
h
что соответствует теории.
Величина перерегулирования по графику
: =
верхняя оценка перерегулирования по колебательности
что значительно ниже σ. Причиной этому является наличие производных в числителе передаточной функции замкнутой системы.
Пример выполнения части алгоритма для объекта третьего
порядка приведем в общем виде.
Передаточная функция объекта:
ö
æ
ln
×
=s
æ
ç
ç
è
=
÷
ç
D
ø
è
ö
p-
÷
÷
m
ø
,151.1
4.175.1
,25.0
,073.0exp =
)s(Wo
=
1. Передаточная функция разомкнутой системы:
æ
ç
è
Передаточная функция замкнутой системы, полученной
охватом единичной отрицательной обратной связью разомкнутой системы:
)s(Wz
=
2. Характеристическое уравнение системы :
или
k
Ki
ö
sKdKn)s(Wp
+×+=
÷
ø
.
)1s3T)(1s2T)(1s1T(
+×+×+×
.
)1s3T)(1s2T)(1s1T(ks
+×+×+×
2
sKdsKnKik
×+×+×
( )
×+×+×+×+××+××+×
2
,
0sKdsKnKiks)1s3T()1s2T()1s1T(
=×+×+×+×+××+××+×
.
2
sKdsKnKiks)1s3T()1s2T()1s1T(
106
3T2T3T1T2T1T
×++
+
×+×+×
()()()(
)
=++++
(
)
3Т2T1
T
×+×+×
3Т2T1
T
×++
+
3Т2T1
T
+
×
3Т2T1
T
×
s
+
1Knk
+×
+
s
3Т2T1T
××
3Т2T1T
××
Kik
×
+×
s
+×
.0
=
3Т2T1T
××
Kdk3T2T1T
3Т2T1T
××
s
3. Строим допустимую область существования корней ха-
рактеристического уравнения замкнутой системы.
4. Разместим на комплексной плоскости три корня харак-
теристического уравнения s1, s2, s3в допустимой области.
5. Запишем характеристическое уравнение замкнутой сис-
темы в форме Безу
0ssssssss
.
4321
6. Раскрываем скобки и объединяем коэффициенты при
одинаковых степенях s
4
[ ]
3
ssssss
+×++++
4321
2
sss)ss(s)sss(s
+××++×+++×+
434324321
( )
7. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s
уравнений из п. 2 и п. 6, запишем систему уравнений
3T2T3T1T2T1T
××
Kdk3T2T1T
××
1Knk
××
Kik
××
.ssss
×××=
4321
8. Решаем записанную в п. 7 систему уравнений и нахо-
дим s4, Kd, Kn, Ki.
,ssss
+++=
4321
ssssssssssss
××+××+××+××=
234
+×
.0sssssssssssssssss
=×××+×××+××+××+××+
4321432431421321
ss)ss(s)sss(s
×++×+++×=
,
434324321
,
432431421321
Задание
Рассчитать коэффициенты настройки регулятора заданной
структуры, изобразить динамику ошибки, управляющего воздействия и выхода системы при нулевых начальных условиях,
используя данные табл. 11.
107
Таблица 11
Передаточная функция
Вариант
объекта
Структура
регулятора
Степень
бательности
Степень коле-
устойчивости
1 2 3 4 5 6
Задание
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)s(W++=
)s(W+=
)s(W
)s(W++=
)s(W+=
)s(W
)s(W
)s(W++=
)s(W
)s(W++=
)s(W+=
)s(W
=
=
=
=
=
2
)1s7)(1s5(
6
)1s3(s12
8,0
2
1s2s3
++
3,2
)1s5,7)(1s15(
5,0
)1s4(s2
5,3
2
1ss5
++
2,0
)1s8)(1s6)(1s5,2(
+++
1
)1s3,2)(1s4,3(s8
4
2
2,5
5,4
)1s5(s4
2
2
1ss6
++
)1s2)(1ss3(
+++
)1s75,0)(1s5,0(
ПИД 1,6 0,8
ПИД 2,7 1,4
ПИД 2,5 2,3
0,5×1(t)
2×1(t)
4×1(t)
ПИ 1,9 0,2 1(t)
ПИ 2,1 0,4
ПИ 2,5 0,8
ПИД 1,7 0,2
ПИД 2,4 0,1
ПИД 1,5 0,12
ПИД 1,6 3,2
ПИД 1,8 0,4
ПИД 1,7 0,8
0,3×1(t)
2,8×1(t)
0,4×1(t)
3,2×1(t)
1,5×1(t)
0,5×1(t)
2×1(t)
7×1(t)
108
Окончание табл. 11
1 2 3 4 5 6
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
)s(W+=
)s(W
)s(W++=
)s(W++=
)s(W+=
)s(W
)s(W++=
)s(W+=
)s(W
)s(W++=
=
2,1
)1s5,0)(1s3(
8,2
)1s1,5(s2,4
2,1
=
2
1ss4
++
7,0
)1s75,2)(1s5,3(
2,1
)1s5,2(s4,1
7
=
2
1s3s5
++
4,3
)1s75,2)(1s4,2(
4,2
)1s5(s4,3
10
2
1ss3
++
2,5
)1s75,0)(1s5,0(
ПИД 1,9 2,8 1(t)
ПИД 2,1 1,4
ПИД 2,3 2,1
ПИД 2,6 2,6
ПИД 2,8 2,1
ПИД 3,1 1,8
ПИД 3,2 3,5
ПИД 1,4 2,5
ПИД 1,8 2,6
ПИД 1,9 1,9
5×1(t)
2,3×1(t)
4,5×1(t)
1,8×1(t)
2,3×1(t)
1,7×1(t)
2,4×1(t)
1,8×1(t)
3,5×1(t)
23
24
)s(W+=
)s(W
1,4
)1s5,0(s1,2
9,0
=
2
1ss7
++
ПИД 1,7 2,4
ПИД 2,6 1,3
2,3×1(t)
4,1×1(t)
109
Содержание отчета
В отчете привести:
- структурную схему замкнутой системы;
- передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем;
- характеристическое уравнение системы, записанное с
использование коэффициентов регулятора;
- изображение области корней характеристического уравне-
ния для заданной степени колебательности устойчивой системы;
- выбранные корни и характеристическое уравнение, записан-
ное с использованием выбранных корней;
- уравнения для поиска коэффициентов регулятора задан-
ной структуры, и полученные коэффициенты;
- значения корней характеристического уравнения, полу-
ченные по рассчитанным коэффициентам;
- решение дифференциального уравнения, описывающего
динамику выхода системы регулирования и графики решения;
- показатели качества регулирования, полученные по графику
переходного процесса и оценки показателей, рассчитанные по степени устойчивости и колебательности;
- выводы.
Контрольные вопросы
1. Как изобразить на комплексной плоскости корней об-
ласть заданной степени колебательности и устойчивости системы?
2. Как выбрать корни характеристического уравнения по
степени устойчивости и колебательности системы?
3. Как определить расстояние от начала координат до ка-
ждого корня на комплексной плоскости?
4. Как записать характеристическое уравнение системы
по корням?
5. Как записать характеристическое уравнение замкнутой
системы по параметрам передаточных функций элементов системы?
6. Каков алгоритм поиска коэффициентов регулятора?
7. Как будут располагаться в комплексной плоскости
корни системы четвертого порядка?
110
8. Как выполнить расчет коэффициентов регулятора и
()()()(
)
++++=
()(
)
++=
BuAxx+=
&
Cx,y=
выбрать корни характеристического уравнения, если порядок
уравнения больше числа коэффициентов?
9. Как оценить показатели качества регулирования по
степени устойчивости и колебательности системы?
Лабораторная работа № 7.
СИНТЕЗ МОДАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Цель работы: изучение метода синтеза модальной систе-
мы по заданному запасу устойчивости системы и ограничении
на её колебательность.
Порядок выполнения работы
Для заданного объекта управления и линейного регулятора, пользуясь приведенной методикой, получить параметры
настройки регулятора.
Построить динамические характеристики системы.
Теоретические сведения
Этот метод синтеза замкнутых систем [5, 8] используется
при описании систем в пространстве состояний, когда ее математическая модель представлена системой дифференциальных
уравнений первого порядка, записанных в форме Коши:
,tub...tubtxa...txa)t('x
mm,i11,inn,i11,ii
и системой алгебраических функций для выходов объекта
,txc...txc)t(y
nn,j11,jj
где xi– координаты состояния или переменные состояния; ui –
управляющие воздействия; yj – выходы объекта управления; a,
b, c – постоянные коэффициенты; n- порядок системы уравнений, равный числу координат состояния; m – количество управляющих воздействий; k – количество выходов объекта.
В матрично-векторной форме системы уравнений имеют
вид
,
k...1j = ,
n...1i =
(43)
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]