Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

141

случайных процессов сформировать реализацию процесса

вхDвхmеDe

()(

)

N(t) в виде массива случайных значений;

- рассчитать корреляционную функцию и спектральную

плотность для ограниченной реализации случайного процесса используя дискретные формулы свертки и преобразования Фурье;

- промоделировать прохождение случайного процесса через апериодическое звено первого или второго порядка путем решения соответствующего конечно-разностного уравнения со случайным процессом в правой части;

- рассчитать корреляционную функцию и спектральную плотность для реализации случайного процесса на выходе линейного звена, полученной на предыдущем этапе;

- рассчитать функцию, аппроксимирующую корреляционную;

- получить для нее спектральную плотность;

- определить ту же спектральную плотность путем перемно-

жения спектральной плотности процесса на входе линейного звена на квадрат амплитудно-частотной характеристики звена; сравнить со спектральной плотностью полученной в предыдущих пунктах;

- задать коэффициенты передачи регулятора, удовлетворяющие требованиям устойчивости системы;

- промоделировать прохождение случайного процесса через систему и получить оценки математического ожидания и дисперсии ошибки регулирования е(t);

- изменив коэффициенты передачи регулятора с сохранением устойчивости системы, вновь получить оценки математического ожидания и дисперсии ошибки;

- повторить моделирование при ненулевом входном воздействии;

- все результаты занести в таблицу (табл.14);

Таблица 14

N g Kn Ki Kd m

- для исходного случайного процесса типа «белый шум» с

корреляционной функцией

τδNτR

142

вывести выражение корреляционной функции фильтрованного процесса на выходе линейного звена и записать выражение для спектральной плотности;

- записать выражения для математического ожидания и дисперсии ошибки регулирования, рассчитать математическое ожидание и дисперсию ошибки аналитически;

- провести анализ влияния параметров случайных процессов и коэффициентов передачи регулятора на величину ошибки, проверить выводы по результатам моделирования.

Теоретические сведения

Случайной функцией называется функция, принимающая случайную величину при каждом значении аргумента. Случайную функцию, аргументом которой является время t, называют случайным или стохастическим процессом. Для описания случайных процессов используются многомерные функции распределения вероятности и плотности распределения вероятности, математическое ожидание и дисперсия, корреляционные функции и спектральные плотности. Случайный процесс с постоянным математическим ожиданием называют стационарным, с нулевым математическим ожиданием – центрированным. Стационарные случайные процессы, результаты усреднения которых по времени и по множеству совпадают, называют эргодическими. Случайный процесс с бесконечно малой шириной корреляционной функции носит название “белого” шума и обозначается, зачастую, как N(t). Спектральная плотность такого процесса постоянна по всей частоте.

Корреляционная функция эргодического процесса x(t), характеризующая взаимозависимость значений случайного процесса во времени (изменчивость во времени), определяется как

() ()( )

limτR

¥®

dtτtxtx

+×=

Для ограниченной реализации случайного процесса, полученной измерением его величины через равные промежутки

времени Dt (период дискретизации) на интервале времени

143

[0,2T], приближенная дискретная корреляционная функция мо-

(

)

жет быть вычислена в соответствии с выражением

1-M

( ) ( )( )( )

mtR

, ,

0,1,...Mmtmixitx

=D+×D=×D

или как функция дискретного аргумента

1-M

[m]R

, ,

0,1,...Mmm]x[i]x[i

=+=

где M=T/Dt.

При увеличении Т приближенная корреляционная функ-

ция стремится к теоретической.

Значение корреляционной функции при t=0 называется средним квадратом случайного процесса и равно сумме дисперсии и квадрата математического ожидания:

mDX0R +==

Спектральная плотность случайного процесса описывает

распределение мощности случайного процесса по частоте и определяется преобразованием Фурье от корреляционной функции

() ()( )

¥-

dτjωexpτRjωS

или

() ()()

dτωcosτR2jωS

Для ограниченной дискретной корреляционной функции выборочная спектральная плотность определяется дискретным преобразованием Фурье [9, 10]:

[] []

-Mi

2π

æ ç

j-expiRΔtkS

, k= -M/2,...0, 1,...+M/2

или

é ê

[] [] []

2π

cosiR2ΔtkS

ç è

÷ ø

0Rik

, (59)

ú û

k= -M/2,...0, 1,...+M/2.

144

Преобразование в форме (59) позволяет уменьшить объем

M2πT

(

)

вычислений за счет использования только положительных частот, так как функция S является четной относительно k.

Обратное преобразование Фурье от спектральной плотности, определяющее корреляционную функцию

() () ()

τR

2π

¥-

×=

dωjωexpjωS

позволяет выразить средний квадрат случайного процесса через спектральную плотность

() ()

mDX0R

=+==

2π

¥-

dωjωS

Для дискретной спектральной плотности, полученной по

формуле (59), средний квадрат может быть получен как

M/2

где

2π

==wD .

()

X0R

2π

[] []

0SS2

D×

При прохождении через линейную систему стационарного случайного процесса x(t) с математическим ожиданием mx, дисперсией Dxи корреляционной функцией Rx(t), параметры случайного процесса изменяются, но он остается случайным, достигая стационарного состояния после окончания переходного процесса. Корреляционная функция процесса на выходе линейного звена определяется как

¥¥-¥

где

() ()()( )

òò

¥-

tw - весовая функция линейного звена, записанная с уче-

dθdθλτRθwλwτR

-+=

, (60)

том равенства ее нулю при t<0.

Спектральная плотность процесса y(t) на выходе линейного звена равна спектральной плотности входного процесса, умноженной на квадрат модуля частотной характеристики звена:

() () ()

= . (61)

ωSjωWωS

145

Сигналы на входе и выходе системы можно представить в

()(

)

××=

(

)

виде сумм центрированных случайных процессов и постоянных значений, равных математическим ожиданиям, т.е.

x(t)= xо(t)+ mx и y(t)= yо(t)+ m

Математическое ожидание процесса m

на выходе системы

в соответствии с правилом предельного перехода между функцией и ее изображением по Лапласу будет равно

или

ssmsWlimm

msWlimm

так как mx(s)= mx/s. Корреляционная функция центрированного случайного про- цесса y0(t) на выходе системы

() () ()

τR

2π

¥-

×=

dωjωexpjωS

где Sy(w) - спектральная плотность процесса y0(t), равная (61), а Sx(w) - спектральная плотность центрированного случайного процесса xо(t) на входе системы.

Дисперсия процесса y(t) может быть получена из выраже-

ния (60) вычитанием my.

В случае если оцениваются параметры ошибки, в качестве передаточной функции системы следует брать передаточную функцию от входа случайного процесса к ошибке е(t).

Если система имеет несколько входов со случайными воздействиями, то, преобразуя ее структурную схему, их можно свести к одному. Структурная схема, представленная на рис. 65, после преобразования примет вид как на рис. 66.

Рис. 66. Преобразованная эквивалентная схема

146

Случайный процесс N*(t) формируется при прохождении

N (t) через линейное звено с передаточной функцией 1/Wр(jw), а e*(t) равна g(t)-y(t)+ N*(t).

В соответствии с преобразованной схемой, входной процесс системы при постоянном входном воздействии g(t)=g0, можно представить как сумму постоянного сигнала, равного g0+mN* , и центрированного случайного процесса N*0(t). Ошибка регулирования определяется так же, как и в исходной схеме рис. 65, т.е.

e(t)=g0-y(t),

а случайный процесс на выходе системы равен

y(t) = Wз(p)[g0(t)+N*(t)].

Если воздействующие на систему случайные процессы g(t) и N(t) коррелированны между собой, то спектральная плотность на выходе системы определяется как

() () () () ()

gyy

Nyg

() ( ) () ( ) ( ) ()

ωSjωWωSjωWωS

++=

-+-+

,ωSjωWjωWωSjωWjωW

gNNygyNgNygy

где SNg(w) и SgN(w) – взаимные спектральные плотности процессов g(t) и N(t).

Пример выполнения

1. Генерация массива N случайного процесса N(t) для нормального закона распределения вероятности случайных величин с математическим ожиданием mN и среднеквадратическим отклонением sN. Размер массива - m2 значений.

m:=2000 m2:=2m+1 T:=200 mN: =0 sN:=2 N0:=0 N:=rnorm(m2,mN,sN)

:= Dw

2 p×

:= Dt 0.1= Dw 0.031=

График участка реализации случайного процесса приведен

на рис. 67:

i 0 m2..:=

147

Рис. 67. Фрагмент реализации случайного процесса

2. Вычисление корреляционной функции RN(t).

Процедура вычисления:

RNz()

i 0m..Îfor

x0¬

k0m1-..Îfor

xxzkz

RN R¬

×+¬

ki+

Обращение к процедуре

R RNN():=

График корреляционной функции показан на рис. 64.

Средний квадрат случайного процесса R0=3,858. Он близок к дисперсии генерируемого случайного процесса σN2, но может отличаться от нее, поскольку эта величина, полученная путем обработки случайных значений, сама является случайной.

148

êëù

200

èöø

ëùû

3 2

1 0 1-

0 10 20 30 40 50

Рис. 68. Корреляционная функция случайного процесса:

график и первые значения

0 1 2

3 4 5 6

3.858

-7.36·10

0.168

-0.069

0.217

3. Вычисление спектральной плотности:

SNkDtR02

..:=

Rncos2

×:=

×+

× n× k×

ö ø

График участка спектральной плотности приведен на рис. 69.

-3

0.03

...

0 50 100 150

Рис. 69. Участок дискретной спектральной плотности

Средний квадрат случайного процесса для дискретной спектральной плотности определяется как:

2 p×

× 3.93045=:=

-é

149

Как видно из рис. 69, спектральная плотность, получен-

100

ная в результате преобразования Фурье корреляционной функции, вычисленной по усеченной выборке случайного процесса, очень далека от постоянной теоретической спектральной плотности «белого» шума. Такая разность является результатом влияния малого высокочастотного шума корреляционной функции (рис. 68) для времени, не равного нулю, а также свойством дискретного преобразования Фурье усиливать высокочастотные составляющие. Увеличение количества точек случайного процесса, называемого объемом выборки, приводит к улучшению результата, но на практике при переходе к спектральным характеристикам осуществляют сглаживание или фильтрацию корреляционных функций. Если отбросить все значения Ri кроме R0, из-за их малости относительно R0,

Rapt()R01 t0if

0 otherwise

и вычислить по аппроксимированной (сглаженной) корреляционной функции спектральную плотность

×+

RapnDt×( )cos2

× n× k×

ö ø

SNkDt Rap0()2

×:=

то получим постоянную функцию ( рис. 70).

0.4

0.3

0.2

0.1 0

0 20 40 60 80

Рис. 70. Спектральная плотность для сглаженной функции

4. Прохождение случайного процесса через линейное

звено, выполняющего фильтрацию исходного случайного про-

150

цесса типа «белый» шум, моделируется путем решения описы-

вающего звено конечно-разностного уравнения, в правую часть которого подставляются значения исходного случайного процесса. Параметры звена и конечно-разностное уравнение для расчета сигнала на выходе звена:

T1f1:= T2f1:= Kf1:= j

W w T1f, T2f, Ko, ( )

i 2 m2..:=

2 T1f× T2f× Dt T1f T2f+( )×+[ ]y

T1fj×w× 1+( ) T2fj×w× 1+( )×

T1f T2f× T1f T2f+( ) Dt×+ Dt2+

× T1f T2f× y

-:= y

- Kf Dt2× N

i1-

i2-

×+

i1-

График процесса приведен на рис. 71

0.5

0.51-

50 100 150 200

Рис. 71. Процесс на выходе линейного звена

Корреляционная функция сигнала на выходе звена (рис. 72)

вычисляется аналогично корреляционной функции исходного случайного процесса:

R RNy():=

Средний квадрат случайного процесса y(t) равен:

R0=0.109.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]