Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

161

ì ï

ï í

ï ï

При заданных

носительно

c,V,F

000

=-+

0,V

00201

cFcFc

эти уравнения можно разрешить от-

F,F

0201

(65)

=-+

.0V

00022011

Предположим, что установившееся состояние имело место при t=0, затем возникли небольшие отклонения относительно установившегося состояния. Тогда можно записать:

ì ï

ï í

ï ï

),t(uF)t(F

1011

),t(uF)t(F

2022

),t(xV)t(V

).t(xc)t(c

(66)

Здесь u1(t), u2(t) [м3/с] будем рассматривать как входные воздействия, а х1(t), х2(t) соответственно как переменные состояния, концентрации

примем постоянными.

)t(c(t),c

Задача состоит в исследовании динамики процесса смешения при ступенчатых воздействиях. В дальнейшем рассматривается процесс при небольших отклонениях от установившегося состояния. Учитывая, что расход F(t) имеет нелинейную зависимость от объ ема, определенную выражением (63), и во втором уравнении системы (64) стоит производная от произведения переменных, необходимо провести линеаризацию нелинейностей путем их разложения в ряд Тейлора в окрестности установившегося состояния и ограничиться только первыми производными разложе-

ния, т. е.

[ ][ ]

F¶

)z(t),y(tz(t)y(t),

+F»F

F¶

0tt0tt

где y(t) и z(t) – функции, входящие в нелинейную функцию Ф; Δy, Δz – малые отклонения функций от их значений в момент

времени t0:

F¶

;

)z(t),y(t

F¶

- значения частных

0tt0tt

162

производных от Ф в момент времени t0. В нашем случае будем

считать t0=0.

Так, для нелинейности

)t(F)V( ==F

V(t)

можно

записать

)V(

V(0)

+»F

VV(t)

а с учетом обозначений (66)

F)t(x

),t(x

(67)

1010

)t(с)t(F)t(с)V,c( ==F

V(t)

где

Для нелинейности

+»F

)V(

==q

[с] – постоянная времени объекта.

)V,c(

ù ú

+»F

cV(t))t(c

)t(cV(0)c

VV(t)

ú û

,cV

D+

)V,c(

)t(xc

+»F

).t(xF

=D+

Подставляя последнее выражение, а также (66), (67) в (64)

и учитывая уравнения статики (65), получаем линеаризованную систему уравнений динамики в виде

)t(dx

)t(u)t(u

-+=

)t(x

, (68)

121

163

21dt

-+-

=-=

)t(uc)t(uc

-+=+

2211

)t(x

(69)

)t(dx

).t(xF

Чтобы исключить одну из производных в уравнении (69),

)t(dx

подставим

из (68) в (69) и получим систему двух урав-

нений первого порядка, которую запишем в нормальной форме Коши:

)t(dx

так как

-= q

)t(dx

)t(x

-= q

)t(u)t(u)t(x

211

)t(u

Полученную систему уравнений можно представить в мат-

ричном виде

где x(t)=(

)t(d

ç è

÷ ÷

, а

))t(x),t(x

æ ç

)t(

01 ux

ç è

- векторы пере-

))t(u),t(u()t( =u

ö ÷

÷ ø

)t(

, (70)

менных состояния объекта и внешних воздействий.

Для более полного описания, введем выходные перемен-

ные, которые непосредственно доступны для измерения. В данном случае положим

0.5FF(t)(t)y

)t(xc)t(c)t(y

202

2θ

(t)x

=»-=

В матричном виде эту выражение можно записать:

2θ

(t).

æ ç

(t) xy

ç è

164

В результате из уравнения (70) и последнего уравнения

Cxy=

получаем линеаризованную математическую модель смешения, которую можно записать в виде:

)t(d

)t()t(

BuAxx+=

, (71)

).t()t(

(72)

где матрицы А, В и С определены следующими выражениями:

2θ

ç è

÷ ÷

æ ç

ç è

ö ÷

2θ

æ ç

ç è

Векторно-матричное уравнение (71) называют уравнением

состояния объекта, а (72) – уравнением выходов объекта.

Решение линейного дифференциального уравнения (71) подставляем в (72) и в результате получаем выражение относительно выходной переменной )t(y , которое описывает динами-

ческую связь между входом и выходом объекта.

Пример выполнения

1. Аналитическое решение

Воспользуемся известным представлением решения линейного дифференциального уравнения в матричном виде. Для

(71) получим

τ)(t

()

dττexe(t) Bux

Так как главная матрица А системы дифференциальных уравнений диагональная, то справедливо равенство

ç ç ç

ç ç

ö ÷

Для недиагональной матрицы необходимо применять другие методы решения систем уравнений, приведенные в лабораторной работе № 12: диагонализации матриц, Лагранжа - Сильвестра.

165

Для диагональной матрицы А решение можно записать

следующим образом:

)t(x

æ ç

ç è

)t(x

ç ç

)t(

ö ÷

èæ÷

)t(

Динамику выхода y(t) и переменных состояния x(t) систе-

мы исследуем с использованием Mathcad.

Зададим исходные данные для системы:

F01 0.015

F02 0.005

)(u

V0:= 1 u1:= - 0.002 u2:= 0.0025

x010:=

x02 0:=

Из уравнений статики рассчитаем установившиеся значения расхода на выходе емкости Fv0 и концентрации растворенного вещества на выходе сv0:

F0 F01 F02

c1 F01×c2F02

( )

0.02

1.25=:=

Определим постоянную смесителя:

Изменим начальный индекс исполь-

Fv0

50=:=

зуемых в расчете массивов на 1 (по умолчанию 0), задав значение системной переменной:

ORIGIN 1:=

Опишем сначала подынтегральное выражение:

166

tt-()-

2q×

001

t()-

ê ê

ú ú

t()-

Xt()×:=

Integr t t, ()

Найдем x(t) и y(t):

Xt()

ê ê

Yt()12q

Построим графики решения (рис. 79)

tt-()-

x01

x02

ú ú

+:=

ó ô õ

ç ç

ô õ

c1 c0-( )

c2 c0-( )

tIntegr t t, ()

÷ ÷ ÷

tIntegr t t, ()

æèö

×:=

Рис. 79. Переходные процессы объекта: а и б – переменные состояния;

в и г – измеряемые выходы

167

2. Численное решение

Решим поставленную задачу с помощью функции odesolve поскольку полученные уравнения при диагональной матрице коэффициентов оказались не связанными по переменным состояния. Для недиагональных матриц необходимо применять другие численные методы, приведенные в лабораторной работе № 12: Рунге-Кутта, Булирша-Штера. Сравним полученный результат с аналитическим решением. Исходные данные для задачи определены ранее.

Для каждого уравнения введем название блока Given, запишем начальные условия, решаемое дифференциальное уравнение и процедуру решения с помощью функции od esolve:

Given

x1 0() 0

x1 odesolve t 500, ( ):=

x1' t()

x1t()× u1+u2+

2q×

Given

x2 0()

x2' t()

x2 Odesolve t 500, ( ):=

c1 c0

x2t()×

( )

u1×+

c2 c0

( )

×+

Задача

Коши решена

на отрезке [0, 50 0]. На рис. 8 0, а и 80, б изображены переменные состояния х(t) для x1(t) и x2(t), вычисленные аналитически и численно. Как видно, аналитическое и численное решения совпадают.

Рис. 80. Переходные процессы, полученные аналитически и численно:

а - переменная состояния x1 ; б – переменная x2

168

Задания

1. Изобразить динамику измеряемых выходов системы и

не измеряемых переменных состояния при нулевых начальных условиях.

Значения параметров математической модели смешения

приведены в табл. 17 при условии, что F0 = F01 + F02. Значения u(t) представлены в табл. 18.

Решить исходную систему уравнений аналитическим и

численным методом.

Таблица 17

Вариант F01, м3/с F02, м3/с c0, кмоль/

1 0,03 0,01 2,9 3,0 0,5 0,5 2 0,08 0,02 2,0 1,0 2,5 1,5 3 0,1 0,015 2,0 0,5 2,1 2,0 4 0,09 0,003 2,2 1,3 2,4 1,7 5 0,23 0,01 1,6 1,7 0,8 1,4 6 0,089 0,07 1,4 1,2 1,4 2,6 7 0,06 0,032 2,0 2,4 1,2 2,0 8 0,004 0,008 3,1 3,2 1,5 1,5 9 0,006 0,009 5,0 5,6 2,5 2,3 10 0,002 0,012 2,8 1,25 2,9 1,8 11 0,0045 0,036 4,0 4,23 1,5 3,1 12 0,089 0,1 2,5 2,89 1,3 1,9 13 0,069 0,078 2,5 2,7 0,9 0,6 14 0,025 0,05 2,5 2,56 1,4 0,9 15 0,003 0,015 1,2 1,23 0,6 1,8 16 0,001 0,045 1,5 1,56 0,7 2,3 17 0,009 0,08 1,8 1,89 0,9 2,7 18 0,0045 0,03 1,3 1,4 0,75 2,9 19 0,078 0,07 1,5 1,7 0,98 1,4 20 0,02 0,015 1,7 1,8 3,6 5,4

c1, кмоль/

c2, кмоль/

V0, м

Таблица 18

Вариант u1(t), м3/с u2(t), м3/с Вариант u1(t), м3/с u2(t), м

1 2 3 4 5 6 1 0,005 1(t) -0,002 1(t) 11 -0,018 1(t) 0,007 1(t) 2 -0,002 1(t) 0,05 1(t) 12 0,016 1(t) -0,008 1(t) 3 0,006 1(t) -0,015 1(t) 13 0,013 1(t) -0,002 1(t) 4 0,008 1(t) -0,013 1(t) 14 -0,011 1(t) 0,004 1(t) 5 -0,001 1(t) 0,012 1( t) 15 0,005 1(t) -0,019 1(t)

/с

169

Окончание табл. 18

Вариант

1 2 3 4 5 6 6 -0,006 1(t) 0,003 1( t) 16 -0,001 1(t) 0,025 1(t) 7 0,004 1(t) -0,004 1(t) 17 -0,032 1(t) 0,011 1(t) 8 0,012 1(t) -0,006 1(t) 18 0,045 1(t) -0,005 1(t) 9 -0,017 1(t) 0,005 1( t) 19 -0,023 1(t) 0,016 1(t)

10 0,011 1(t) -0,001 1(t) 20 0,072 1(t) -0,001 1(t)

2. Изобразить динамику измеряемых выходов и перемен-

ных состояния системы при нулевых начальных условиях, ис- пользуя значения параметров модели из табл. 17. Значения u(t) представлены в табл. 19

Решить исходную систему уравнений аналитическим и численным методом.

Таблица 19

u1(t), м3/с u2(t), м3/с Вариант u1(t), м3/с u2(t), м 1 0,006 sin(0,2t) -0,015 cos(0,3t) 11 -0,01 sin(0,23t) 0 ,007 cos(0,3t) 2 0,008 cos(0,55t) -0,013cos(0,28t) 12 0,016 cos(0,05t) -0,08 sin(0,5t) 3 -0,001 sin(0,6t) 0,012 sin(0,86t) 13 0,013 sin(0,15t) -0,02cos(0,15t) 4 -0,006 sin(2,3t) 0,003 sin(1,5t) 14 -0,011 sin(0,9t) 0,004cos(0,05t) 5 0,004 sin(2,8t) -0,004 cos(4,1t) 15 0,005 cos(0,32t) -0,019cos(0,47t) 6 0,012 sin(5,1t) -0,006 cos(3,4t) 16 -0,001 sin(1,4t) 0,025 sin(2,8t) 7 -0,017 cos(3,1t) 0,005 sin(2,4t) 17 -0,032 sin(1,2t) 0,011 sin(3,1t) 8 -0,011sin(2,35t) 0,001 сos(0,18t) 18 0,045 sin(18,4t) -0,005sin(13,2t) 9 -0,017 cos(3,1t) 0,005 sin(2,4t) 19 -0,023 cos(1,8t) 0,016 sin(1,4t)

10 -0,002cos(0,15t) 0,05 cos(0,27t) 20 0,072 cos(0,25t) -0,001cos(1,15t)

/с

Содержание отчета

В отчете привести:

- схему процесса смешения и вывод математической моде-

ли смешения;

- решения линеаризованной системы дифференциальных

уравнений, полученные двумя способами и графики решения.

Контрольные вопросы

1. Для чего требуется линеаризация системы дифференци-

альных уравнений?

2. Какие методы решения систем дифференциальных

уравнений вы знаете?

170

3. Как записать уравнение баланса масс для модели про-

nn´

цесса смешения?

4. Какое тождество описывает баланс масс в статике?

Лабораторная работа № 12.

ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ОПИСАНИИ

ИХ СИСТЕМОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы: получение навыков по приведению диффе-

ренциальных уравнений порядка больше единицы к системе дифференциальных уравнений первого порядка и решению систем дифференциальных уравнений различными методами

Порядок выполнения работы

Заданное дифференциальное уравнение объекта

- преобразовать к системе дифференциальных уравнений

первого порядка,

- записать систему в матричной форме

(t)d

(t)(t)

BuAxx+=

, (73)

где x(t) – вектор переменных состояния системы; u(t) – вектор внешних воздействий; А и В – матрицы постоянных коэффици- ентов размера

- найти решения при заданных начальных условиях мето-

дами:

· аналитически;

· одним из численных методов, реализованным в виде

процедуры Mathcad, например, с помощью функции rkfixed.

Если заданный метод не позволяет получить решение, пе-

рейти к следующему методу.

Теоретические сведения

Зачастую математическое описание объектов и систем

управления представляется системой дифференциальных уравнений первого порядка. Если элементы системы описаны линейными дифференциальными уравнениями порядка больше перво-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]