Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

181

Решение систем дифференциальных уравнений

KLK

X),F(

численными методами в среде Mathcad

Mat hcad предоставляет пользователю библиотеку встроен-

ных функций Differential Equation Solving, предназначенных для численного решения систем дифференциальных уравнений. В состав ее входят функции Mathcad, предназначенные для решения задачи Коши и граничных задач для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи для уравнений высших порядков сводятся к соответствующим задачам для нормальных систем.

Рассмотрим задачу Коши:

,x)(tx

0,101

,x)(tx

0,202

x)(tx

n0,0n

(93)

( )

),x,,x,x(t,fx

n2111

),x,,x,x(t,fx

n2122

x,,x,xt,fx

n21nn

Система (93) называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений x

i,1

, x

, ..., x

i,2

i,N

решения x1 (t), x2 (t), ..., xN (t) на отрезке [t0, tN ] в точках t1 , t2 , ..., tN, которые называются узлами сетки. Обозначив

(t))x,(t),x(t),(x)t(K=X

n21

)x,,x,(x K=X ,

n0,0,20,10

=X),F(

где (t)X – искомое решение,

¢¢¢

(t))x,(t),x(t),x((t)

n21

))x,,x,x(t,f,),x,,x,x(t,(ft

n21nn211

– вектор начальных условий, а

t – вектор правых частей, запишем систему дифференци-

альных уравнений в векторной форме:

t)t(

)(t XX

В Mathcad решить задачу Коши для такой системы можно с помощью следующих функций:

· rkfixed(x

, t0, tn, n, F) – решение задачи на отрезке мето-

дом Рунге – Кутта с постоянным шагом;

182

· Rkadapt(x

X),F(

, t0, tn, n, F) – решение задачи на отрезке ме-

тодом Рунге – Кутта с автоматическим выбором шага;

· Bulstoer(x

, t0, tn, n, F) – решение задачи на отрезке мето-

дом Булирша-Штера.

Смысл параметров для всех функций одинаков и опреде-

ляется математической постановкой задачи:

x0 – вектор начальных условий

;

t0, tn – начальная и конечная точки отрезка интегрирования

системы (левая и правая границы интервала времени);

n — число точек в интервале [t0, tn]; F — имя вектора-функции

t правых частей.

Если известно, что искомое решение достаточно гладкое, можно использовать функцию Rkadapt, которая ищет решение с переменным шагом, то есть там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в области быстрого изменения функции шаг уменьшается, что ускоряет поиск решения. Возвращается же решение с равным шагом.

Когда известно, что решение является гладкой функцией, более точное решение даёт функция Bulstoer, которая использу- ет метод Булирша-Штера, и имеет те же аргументы, что и

rkfixed.

Пример выполнения

1. Решение с помощью преобразований Лапласа

Присвоим начальному индексу массивов значение 1:

ORIGIN 1:=

:= B

. Запишем исходные данные в системе Mathcad

2.2-

0.7

0.2-

0 1

:= E10

0.4

:= x0

0.1

u(t)=1(t).

Найдем изображение по Лапласу управления

ut() Ft():=

Us() ut( ) laplace t,

®:=

183

Запишем ранее полученное уравнение (84) в преобразова-

0.389

0.231

ниях Лапласа

X s() Es× A-( )1-B× Us()× Es× A-( )

×+:=

и упростим его

Xs()

simplify float 6,

é ê

ê ê ê

0.22- s× 2.5s2×+ 1.0s3×+ 1.68+