Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
51
9. Как записать общее решение однородного дифференци-
1sT1
1sT1
×
(
)
1sT1
+××
ального уравнения второго прядка при действительных различных и одинаковых корнях характеристического уравнения?
10. Как записать общее решение однородного дифферен-
циального уравнения второго прядка при комплексных и чисто
мнимых корнях характеристического уравнения?
11. Как записать аналитическое решение неоднородного
уравнения первого порядка для различных правых частей?
12. Как найти неопределенные множители частного реше-
ния неоднородного дифференциального уравнения?
Лабораторная работа № 2.
ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ
Цель работы: получение навыков по построению вре-
менных характеристик и исследованию влияния параметров
звеньев на характер и показатели временных характеристик.
Порядок выполнения работы
Для звеньев или соединений звеньев, заданных переда-
точными функциями:
- апериодического первого порядка
()
sW+×= , (6)
k
- реального дифференцирующего
- реального интегрирующего
- реального форсирующего
- апериодического второго порядка
()
sW
= , (10)
( )( )
- звена второго порядка
()
sW
=
()
sW
= , (7)
()
sW
= , (8)
( )
()
sW
= , (9)
22
sk
+×
k
s1sT1
×+×
1sT2k
+×
k
1sT21sT1
+××+×
k
, (11)
1sT1ξ2sT1
+×××+×
52
- последовательного соединения форсирующего звена и звена
(
)
+
×
второго порядка
()
sW
=
получить переходные и весовые функции и построить их графики при заданных значениях постоянных времени, коэффициента усиления и коэффициента демпфирования.
Для заданного преподавателем звена или соединения эле-
ментарных звеньев записать по передаточной функции дифференциальное уравнение и решить его приемлемым методом при
нулевых начальных условиях и входном воздействии в виде
единичной ступенчатой функции, получив переходную функцию. Дифференцированием переходной функции найти весовую
функцию.
Теоретические сведения
Общие сведения о динамических характеристиках объек-
тов управления и математическом описании объектов даны во
всех учебниках по теории автоматического управления [3] - [8],
ниже приведены только основные определения:
Переходный процесс – реакция объекта или системы на
единичное ступенчатое воздействие, полученная при нулевых
начальных условиях.
Единичная ступенчатая функция, подающаяся на вход
звена, определяется как
<
³
0, tпри0
0. tпри1
() ()
Функция времени, которая описывает переходный процесс, называется переходной функцией и обозначается h(t).
Импульсным переходным процессом является реакция звена или системы на входное воздействие в виде d-функции при
нулевых начальных условиях. Соответствующее описание процесса носит название весовой функции и обозначается w(t).
Единичная импульсная функция (дельта-импульс), подающаяся на вход звена, обладает следующими свойствами:
ì
==
t1tx
í
î
22
1sT2k
; (12)
s1)sT1ξ2s(T1
×+×××+×
53
¹
{}{
}
{
}
dt
() ()
В Mathcad имеются встроенные единичная ступенчатая и
единичная импульсная функции, которые обозначаются соответственно: Ф(t) и Dirac(t).
Преобразование по Лапласу весовой функции называется
передаточной функцией.
Передаточная функция определяется также как отноше-
ние изображений по Лапласу реакции звена Y(s) или системы и
вызвавшего ее входного воздействия X(s) при нулевых начальных условиях
W(s) =
t1'tδ
ì
==
í
î
Y(s)
,
0, tпри0
=¥
0, tпри
() ()
ò
¥-
=tt1dttδ ,
¥
()() ()
ò
¥-
= 0fdttftδ .
X(s)
откуда временная характеристика может быть найдена:
11 --
W(s)X(s)LY(s)Ly(t)
== .
Таким образом, для построения переходной и весовой
функций необходимо предварительно найти изображения X(s)
входных воздействий 1(t) и d(t) соответственно. Их можно получить с помощью преобразований Лапласа:
1
F t( ) laplace t,
Diract( ) laplace t, 1®
Тогда переходная функция может быть найдена как:
ì
-
1
=
í
î
а весовая функция получается обратным преобразованием Лапласа от передаточной функции:
W(s)Lw(t)1-= .
Связь между переходной и весовой функциями описывается зависимостью
dh(t)
w(t) = .
®
,
s
.
1
ü
)s(WL)t(h
,
ý
s
þ
54
Пример выполнения
1sT1
æèö
ø
éëù
û
æèö
ø
éëù
û
æèö
ø
éëù
û
-
1. Построение переходной и весовой функций
апериодического звена первого порядка
Запишем передаточную функцию апериодического звена (6)
()
sW+×=
k
и выражение для изображения переходной функции:
Hs()
k
T1s× 1+( )s×
.
Скопируем правую часть выражения для H(s) на свободное место страницы Mathcad, выделим курсором переменную s
и выбирая пункты меню Символьные операции/ Преобразо-
вание/ Обратное Лапласа, получим временную форму пере-
ходной функции в общем виде без подстановки коэффициентов
t-
k e
-
×
T1
.
1+
Присвоим функции h(t) полученное выражение и умно-
жим его на единичную ступенчатую функцию Ф(t):
t-
ht()k e
T1
-
× F t()×:=
1+
.
Весовую функцию получим дифференцированием переходной функции, для чего в полученном ранее выражении
t-
k e
T1
-
×
1+
выделим курсором переменную t и выполним дифференцирование в символьной форме, переходя последовательно по пунктам
меню: Символьные операции/ Переменная/ Дифференциро-
вание:
t
k
T1
e
×
T1
.
55
Умножим полученное выражение на единичную ступенчатую
функцию Ф(t) и присвоим результат весовой функции w(t):
t-
k
wt()
T1
e
× F t()×:=
.
T1
Зададим значения коэффициента усиления k=2, постоянной времени T1=3 и построим графики временных характеристик
(рис. 22), подбирая интервал времени, а также верхний и нижний
пределы вертикальной оси такими, чтобы полностью был понятен
характер изменения временных функций, пределы их изменения.
2
ht()
wt()
1
k
0
0 5 10 15
t
Рис. 22. Временные характеристики апериодического звена
Получив характеристики для первого звена, дополним их
текстовыми комментариями, поясняющими назначение записанных формул и построенных графиков, а также методику их
получения.
2. Построение переходной и весовой функций реального
дифференцирующего звена и других звеньев
Для упрощения получения последующих характеристик
скопируем фрагмент программы, касающийся предыдущего
звена, на поле Mathcad и выполним необходимые изменения,
начиная с названия звена, передаточной функции, изображения
переходной функции и заканчивая графиками.
56
Реальное дифференцирующее звено.
1sT1
×
(
)
1sT1k1s
Передаточная функция звена (7)
()
sW
= .
sk
+×
Изображение переходной функции
()
sH
sW
== .
+×
Обратное преобразование Лапласа от H(s)
t-
k
T1
e
×
T1
.
Производная от полученной функции по времени
t-
k-
T1
.
e
×
2
T1
Переходная функция
t-
k
h t()
T1
T1
e
× F t()×:=
.
Весовая функция
w t()
T1
t-
k-
T1
e
× F t()×:=
2
.
Графики временных характеристик звена показаны на рис. 23.
57
ht()
wt()
1
0.5
0
0.5
0 2 4 6 8 10
t
Рис. 23. Временные характеристики реального
дифференцирующего звена
Задание
Для звеньев и соединений звеньев с передаточными функциями (6)-(12) выбрать коэффициенты в табл. 10-12 в соответствии со своим вариантом. Построить:
- переходные и весовые функции в соответствии с данны-
ми табл. 10-12;
- переходную и весовую функции для указанного преподавателем звена или соединения звеньев без использования системы Mathcad.
Для построения переходной и весовой функций восполь-
зоваться методикой изложенной выше.
Данные для передаточных функций (6)-(8) выбрать из
табл. 7, для передаточных функций (9), (10) – из табл. 8, для пе-
редаточных функций (11), (12) – из табл. 9.
Таблица 7
Вариант T1 k Вариант T1 k
1 2 3 4 5 3
1 9,1 1,2 13 0,6 1,4
2 7,2 5,0 14 0,4 1,6
3 2,5 3,5 15 8,3 0,8
4 5,1 4,8 16 0,9 4,6
5 6,3 7,5 17 2,5 2,3
6 3,5 4,6 18 2,8 0,9
7 4,7 2,3 19 0,3 1,2
58
Окончание табл. 7
x
x
1 2 3 4 5 6
8 5,9 4,6 20 3 6,7
9 4,8 2,8 21 1,6 1,1
10 2,3 6,9 22 1,7 2,5
11 1,9 1,2 23 3,7 4,5
12 4,7 1,8 24 2,5 5
Таблица 8
Вариант T1 T2 k Вариант T1 T2 k
1 0.5 0,8 0,2 13 5,6 3,5 5
2 1,8 6,7 0,7 14 7,1 6,8 2
3 1,4 12,1 1 15 6,1 9,4 3
4 2,8 1,5 3 16 4,5 4,5 4
5 1,2 1,8 5 17 3,5 7,8 5
6 8,4 6,7 6 18 2,1 5,6 6
7 4,5 8,1 8 19 3,6 1,9 7
8 7,1 2,4 1 20 8,5 4,6 8
9 2,6 6,7 4 21 9,5 1,8 9
10 1,8 5,9 5 22 10,4 7,5 10
11 5,6 1,3 6 23 1,4 2,6 4
12 4,5 6,4 7 24 2,8 18,1 3
Таблица 9
Вариант T1 T2 k
1 21,1 1,5 7 0,8 13 4,5 1,8 6 0,8
2 1,5 13,3 6,1 0,4 14 2,3 1,4 2 0,5
3 1,8 5,5 4,5 0,5 15 8,4 2,8 1,5 0,3
4 6,7 6,2 2 0 16 7,5 10,5 2,5 0
5 8,1 8,4 3 0,2 17 2,6 4,4 3,4 1
6 2,4 12,2 0,8 0,3 18 2,3 3,6 6,8 0,2
7 1,8 10,4 7,5 0,2 19 1,2 3,8 5 0,3
8 8,7 1,4 2,6 0,1 20 4,6 6,4 3,2 0,6
9 4,2 2,8 8 0,5 21 7,5 2,3 3,9 0,75
10 5,9 5,1 2,6 0,4 22 9,5 7,4 2 0,12
11 1,3 6,7 8 0,3 23 1,25 5,6 0,5 0,14
12 6,4 7,8 2 0,95 24 14,1 1,9 1 0,2
Вариант T1 T2 k
Содержание отчета
В отчете следует привести передаточные функции звеньев
и соединений звеньев, дифференциальные уравнения звеньев,
59
аналитические выражения переходных и весовых функций,
1sT1
1sT1
×
графики переходных процессов и импульсных переходных
процессов.
Контрольные вопросы
1. Что такое переходный процесс, импульсный переход-
ный процесс?
2. Что такое переходная функция, весовая функция?
3. Что такое передаточная функция в преобразованиях Ла-
пласа? Дайте два определения.
4. Что такое передаточная функция в операторной форме?
5. Как перейти от дифференциального уравнения к пере-
даточной функции и наоборот?
6. Как связаны передаточная функция, переходная и ве-
совая функции?
7. Как получить переходную функцию, имея математиче-
скую модель объекта?
8. Как по переходному процессу получить передаточную
функцию объекта?
Лабораторная работа № 3.
ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ XАРАКТЕРИСТИК
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ
Цель работы: получение навыков по построению частот-
ных характеристик и исследованию влияния параметров звеньев
на характер и показатели частотных характеристик.
Порядок выполнения работы
1. Для звеньев или соединений звеньев, заданных переда-
точными функциями:
- апериодического первого порядка
- реального дифференцирующего
- реального интегрирующего
()
sW+×= , (13)
()
sW
()
sW
= , (15)
( )
k
= , (14)
sk
+×
k
s1sT1
×+×
60
- реального форсирующего
(
)
1sT1
+××
()()(
)
=
(
)
(
)
()()(
)
=
(
)
- апериодического второго порядка
()
()
sW
= , (16)
sW
= , (17)
k
( )( )
- звена второго порядка
- реального звена запаздывания
построить АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАХ и асимптотические ЛАХ
при заданных значениях параметров.
2. Для заданной преподавателем передаточной функции
промоделировать прохождение через исследуемый объект гармонического сигнала с различной частотой.
Теоретические сведения
Амплитудно-фазовой или комплексной частотной харак-
теристикой (АФЧХ или КЧХ) называется функция W(jw), опре-
деляющая изменение амплитуды и фазы выходной величины
системы или ее отдельного элемента в установившемся режиме
при приложении на входе гармонического воздействия. АФЧХ
можно определить как преобразование Фурье весовой функции
объекта или системы:
¥
() ()( )
либо формальным переходом от передаточной функции W(s)
путем замены s на jw. Для
sD
- многочлены m-й и n-й степеней от s , частотная характе-
n
ристика будет равна
Освобождаясь от мнимого числа в знаменателе, путем
домножения на комплексно сопряженную знаменателю функцию
n
ò
0
jω-D
получаем
()
sW
=
Ws()
×=
dttjωexptwjωW ,
jω/DjωBjωW
. (20)
nm
k
22
ke
×
T1s1+
1sT2k
+×
1sT21sT1
+××+×
1sT1ξ2sT1
+×××+×
s-t×
, (19)
s/DsBsW
, где
nm
, (18)
sB
и
m
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]