Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
81
5. Найти координаты центра тяжести части однородной сфе-
2222
Rzyx =++
S
OXY
( )
nk
^=γ
P
k
OZ
S
+
S
−
S
S
( )
0,, =zyxF
( ) ( )
zyxfPfu ,,==
ры
, лежащей в первом октанте.
2.4. Интегралы по поверхности второго рода (по координатам)
2.4.1. Понятие ориентированной поверхности. По-
верхности бывают двусторонние и односторонние.
Примером односторонней поверхности является лист Мёбиу-
са. Он получится, если прямоугольную полоску бумаги перекрутить
один раз и склеить в кольцо. В том, что полученная поверхность
имеет только одну сторону, можно убедиться, закрашивая постепенно всё кольцо одной краской (не переходя при этом через границу
кольца).
В дальнейшем рассматриваются только двусторонние по-
верхности. В каждой точке такой поверхности нормаль имеет два
противоположных направления. Для выбора определённой стороны
поверхности необходимо указать одно из возможных направлений
нормали. Поверхность, у которой выбрана определённая сторона,
становится ориентированной (аналогично ориентированной дуге, на
которой выбрано определённое направление, ведущее от начальной
точки к конечной).
Рассмотрим в качестве примера выбор ориентации куска по-
верхности
угол между нормалью к выбранной стороне поверхности в точке
и ортом
сти, сторона называется верхней, если же угол γ – тупой, сторона на-
зывается нижней.
сторона называется положительной и обозначается
отрицательной и обозначается
рого рода. Пусть в точках поверхности
по отношению к плоскости
оси
В случае замкнутой двусторонней поверхности
2.4.2. Определение поверхностного интеграла вто-
, определена непрерывная функция
. Если угол γ – острый в каждой точке поверхно-
.
. Пусть
её внешняя
, внутренняя –
, заданной уравнением
–
.
82
( )
i
σ∆
∆σ
i
( )
ni ,,2,1 =
OXY
D
( )
i
σ∆
( )
xyS
i
∆
( )
i
σ∆
i
P
( )
∑
=
∆
n
i
ii
xySPf
1
)(
( )
i
d σ∆= diammax
0→d
( )
i
σ∆
0→d
i
P
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫
∑
∫∫
=
→
∆==
S
n
i
ii
d
S
xySPfdxdyzyxfdxdyPf
1
0
lim,,
S
S
∫∫∫∫
SS
dydzzyxfdxdzzyxf ),,(,),,(
( ) ( ) ( )
zyxRzyxQzyxP ,,,,,,,,
∫∫
++
S
RdxdyQdxdzPdydz
Разобьём, как и ранее, заданный кусок поверхности произ-
вольными линиями на n произвольных участков
. Проекцией поверхности S на плоскость
площади
,
является плоская область
проекции
, которые могут быть как положительными, так и
. При этом участки
перейдут в
отрицательными, о чём будет сказано ниже. Выберем в каждом участке
произвольную точку
и составим интегральную сумму
.
Обозначим максимальный диаметр ячейки
условие
означает, что каждый участок
стягивается в точку.
Если существует конечный предел интегральной суммы при
условии, что
поверхности и выбора точек
, и его величина не зависит от способа разбиения
, то этот предел называется интегра-
лом по поверхности второго рода (интегралом по координатам):
. (2.34)
Можно доказать, что интеграл (2.34) существует, если поверхность
является гладкой или кусочно-гладкой.
Аналогично, проектируя поверхность
на другие коорди-
натные плоскости, получим интегралы
;
Если в точках поверхности S заданы три непрерывные
функции
теграл
равный сумме соответствующих интегралов.
В случае замкнутой поверхности используются обозначения:
.
, можно составить полный ин-
,
83
( ) ( )
∫∫∫∫
−+
SS
dxdyPfdxdyPf ,
,
∫∫∫∫
+−
−=
SS
dxdyzyxfdxdyzyxf ),,(),,(
+
S
( )
0cos >γσ∆=∆
ii
xyS
−
S
( )
0cos <γσ∆=∆
ii
xyS
( ) ( )
[ ]
∫∫ ∫∫
+
=
S
D
dxdyyxzyxfdxdyzyxf ,,,,,
( ) ( )
[ ]
∫∫ ∫∫
−
−=
S
D
dxdyyxzyxfdxdyzyxf ,,,,,
∫∫
+
S
dxdyz
0=z
1
222
=++ zyx
для интегралов по внешней и внутренней стороне поверхности, соответственно.
Отметим основные свойства поверхностных интегралов вто-
рого рода.
1. Линейность.
2. Аддитивность по площади (по выбранной стороне поверх-
ности).
3. Учёт ориентации поверхности
.
4. Аддитивность по объёму.
Эти свойства аналогичны соответствующим свойствам кри-
волинейного интеграла второго рода.
2.4.3. Вычисление интегралов второго рода. Для
верхней стороны поверхности
имеем известное из элементарной
математики соотношение
,
а для нижней стороны
Учитывая это, сводим вычисление поверхностного интеграла по координатам к вычислению соответствующего двойного интеграла:
П р и м е р 2.9. Вычислить
границы тела, ограниченного плоскостью
рой
Р е ш е н и е
– соотношение
.
; (2.35)
. (2.36)
по внешней стороне
и нижней полусфе-
.
84
S
∫∫∫∫∫∫
−+
+=
1
S
D
S
dxdyzdxdyzdxdyz
D
OXY
−
1
S
∫∫
=
D
zdxdy 0
0=z
( )
3
2
11
1
0
2
2
0
22
1
π
=ρρρ−ϕ=−
−−−=
∫∫∫∫∫∫
π
−
dddxdyyxdxdyz
D
S
.cos
;cos
;cos
ασ=
β
σ=
γσ=
ddydz
ddxdz
ddxdy
{ }
RQP ,,=a
( ) ( )
.coscoscos
∫∫∫∫
∫∫
σ⋅=σγ+β+α=
=++
SS
S
ddRQP
dxdyRdxdzQdydzP
na
Ω
( ) ( ) ( )
zyxRzyxQzyxP ,,,,,,,,
Ω
S
ности
В силу аддитивности интеграла по внешней стороне поверх-
имеем:
,
где
– проекция поверхности S на плоскость
, являющаяся
кругом единичного радиуса,
– нижняя сторона полусферы.
Очевидно, что
, так как в области D
. Учи-
тывая (2.36), получим
.
2.4.4. Связь поверхностных интегралов первого и
второго рода. С учётом стороны поверхности можно записать:
Вводя вектор
и используя (2.37), получим важное
(2.37)
соотношение:
(2.38)
2.4.5. Формула Гаусса–Остроградского. Пусть про-
странственная область
функции
производные первого порядка в области
Тогда справедливо следующее соотношение, выражающее поверхностный интеграл второго рода, взятый по внешней стороне замкнутой поверхности
, через тройной интеграл, взятый по телу Ω, ог-
раниченному этой поверхностью:
ограничена замкнутой поверхностью S;
имеют непрерывные частные
, включая её поверхность.
85
∫∫∫∫∫
Ω
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=++ dxdydz
z
R
y
Q
x
P
dxdyRdzdxQdydzP
S
∫∫
++
S
dxdyzdzdxydydzx
∫∫∫∫∫
Ω
==++ Vd xd ydzdxdyzdzdxydydzx
S
33
∫∫
++=
S
dxdyzdzdxydydzxV
3
1
S
L
( ) ( ) ( )
zyxRzy
xQzyxP ,,,,,,,,
S
S
L
L
,dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
dxdy
y
P
x
Q
dzRdyQdxP
S
L
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
=++
∫∫
∫
Эту формулу и называют формулой Гаусса–Остроградского.
П р и м е р 2.10. Вычислить интеграл
,
где S – произвольная замкнутая поверхность.
Р е ш е н и е
Применяя формулу Гаусса–Остроградского (2.39), получаем:
где V– объём области Ω, ограниченной поверхностью S. Отсюда
следует полезная формула для нахождения объёма пространственной
области, ограниченной поверхностью S:
.
. (2.39)
,
2.4.6. Формула Стокса. Пусть
раниченный замкнутой пространственной кривой
ные первого порядка в точках поверхности
определённую сторону поверхности
тура
был виден совершающимся против часовой стрелки. Тогда справедливо следующее соотношение, выражающее криволинейный интеграл по замкнутому контуру
ограниченной этим контуром:
называемое формулой Стокса.
, так, чтобы из конца нормали к поверхности обход контура
имеют непрерывные частные производ-
через интеграл по поверхности S,
– кусок поверхности, ог-
, функции
, и кривой L. Выберем
, и направление обхода кон-
(2.40)
86
D
∫∫∫
∂
∂
−
∂
∂
=+
DL
dxdy
y
P
x
Q
dyQdxP
∫∫∫
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=++
SL
RQP
zyx
dxdydzdxdydz
dzRdyQdxP
∫∫
++
=
S
dxdyzdzdxydydzxI
222
2222
azyx =++
( )
=++=
∫∫∫
Ω
dxdydzzyxI 2
( )
( )
.0sincos4
2
0
222
2
0
222
222
=ρρρ−ϕϕ+ϕ=
++=
∫∫
∫∫ ∫
π
−−
−−−
dad
dzzyxdxdy
a
D
yxa
yxa
∫∫
++
S
dxdyzdzdxydydzx
( )
HzHayx ≤≤−≤+
222
В частном случае, когда плоская кривая L ограничивает плоскую область
Формулу (2.40) можно переписать в более компактном виде:
1. Вычислить интеграл
, из формулы Стокса (2.40) получается формула Грина:
.
.
У п р а ж н е н и я
,
взятый по внешней стороне сферы
Р е ш е н и е
Применяя формулу Гаусса–Остроградского (2.39), получаем:
2. Вычислить интеграл
взятый по внешней стороне границы цилиндра
.
.
,
87
3. Вычислить интеграл
( ) ( ) ( )
∫∫
−+−+−
S
dxdyxydzdxzxdydzyz
222222
,
взятый по внешней стороне сферы
2222
.
azyx =++
88
( )
σγ+β+α
∫∫
dzyx
S
coscoscos
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
∫∫
++
S
dxdzyzdydzxydxdyxz
S
1,0,0,0 =++=== zyxzyx
∫∫
++
S
dxdzxydydzxzdxdyyz
222
Ryx =+
Hzzyx ==== и0,0,0
∫∫
++=
S
dxdyzdzdxydydzxI
333
2222
azyx =++
( ) ( ) ( )
∫
+++++
L
dzyxdyxzdxzy
∫
++
L
dzzdydxyx
32
L
0,
222
==+ zRyx
4. Вычислить интеграл
,
где S – внешняя сторона эллипсоида
.
5. Вычислить интеграл
,
– внешняя сторона пирамиды, образованной плоскостями
где
.
6. Вычислить интеграл
,
где S – внешняя сторона поверхности, расположенной в первом ок-
танте и образованной цилиндром
и плоскостями
.
7. Вычислить интеграл
взятый по внешней стороне сферы
8. Используя формулу Стокса, вычислить интеграл по произ-
вольному контуру, являющемуся границей куска поверхности:
9. Используя формулу Стокса, вычислить интеграл
где
– окружность, описываемая уравнениями
,
.
.
,
.
89
2.5. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО
G
( ) ( ) ( )
zyxM ,,araaa
===
( )
zyxM ,,
kjia
RQP ++=
( )
ω
r
rv
×ω=
( )
trr=
ХАРАКТЕРИСТИКИ
2.5.1. Понятие векторного поля. Векторные линии. В
области
задана векторная функция
пространства задано векторное поле, если в этой области
,
где
показывает, что задание векторного поля равносильно заданию трёх
скалярных функций координат точки:
пательного движения твёрдого тела скорость во всех точках тела одна и та же; поле скоростей в этом случае является однородным век-
торным полем. Если твёрдое тело вращается вокруг неподвижной
оси с постоянной угловой скоростью
радиусом-вектором
ники, составляет
движущейся жидкости, а также поле тяготения и электростатическое
поле, в каждой точке которых определена напряжённость поля – сила,
действующая на единичную массу (единичный положительный заряд).
векторные линии. Линия
если касательная в каждой её точке имеет направление поля.
– любая точка области G.
Разложение вектора поля по базису (i, j, k)
,
;,,
=
=
=
Приведём некоторые примеры векторных полей. Для посту-
его линейная скорость, как известно из меха-
.
Другими примерами векторных полей служат поле скоростей
Геометрической характеристикой векторного поля служат
Из результатов подраздела 2.1 следует, что вектор касательной
zyxPP
( )
( )
называется векторной линией поля,
;,,
zyxQQ
.,,
zyxRR
, то в каждой его точке M с
90
=
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
d,,r
{ }
RQP ,,=a
R
dz
Q
dy
P
dx
==
const=a
{ }
zyx
aaa ;;=a
tλ
,
должен быть коллинеарным вектору поля
в данной
точке. Из условия коллинеарности этих векторов получаем систему
дифференциальных уравнений векторных линий:
. (2.41)
П р и м е р 2.11. Найти векторные линии однородного векторного поля
.
Р е ш е н и е
Пусть
откуда
; тогда соотношение (2.41) принимает вид
dz
dy
dx
a
a
a
. Интегрируя полученные уравне-
adzadyadx λ=λ=λ= ,,
zyx
,
λ===
zyx
ния, находим
;
Ctax
+λ=
1
x
;
Ctay
+λ=
2
y
.
Ctaz
+λ=
3
z
Выражая из полученных соотношений
, приходим к урав-
нениям
−
−
Cx
a
−
Cy
=
21
a
Cz
3
=
,
a
zyx
из которых следует, что векторными линиями однородного поля являются прямые. Этот результат можно было предсказать, ибо прямая
это единственная линия, у которой во всех её точках касательные параллельны между собой.