У п р а ж н е н и я

31

При условии, что базисные векторы имеют единичную дли-

( ) ( )

iiii

x exxexex



^

,

^

,

cos||cos|||| ==

x



y



( )

yx,=

ki

yxg

x



( )

2

||, xxx



==

ki

xxg

i

e



i

e



( )

j

i

j

i

δ=ee,

n

eee,,,

21

n

eee



,,,

21

j

e



i

e



....,,2,1,

2

1

njxxxx

nnjjjiij

j

=+++== eeeee







i

e



( )

( ) ( ) ( )





n

jjj

xxx ,,,21

ну, отсюда следует, что

,

т. е. ковариантные координаты вектора представляют собой проекции вектора на базисные векторы.

и

Свёртка метрического тензора с векторами

даёт ска-

лярное произведение этих векторов

,

а двойная свёртка метрического тензора с вектором

– его скаляр-

ный квадрат

.

Другой способ интерпретации ковариантных координат век-

тора заключается в переходе к так называемому взаимному базису.

и

1.4.3. Взаимные базисы. Базисы

называются вза-

имными, если выполняется условие

Т е о р е м а. Для любого базиса

ственный взаимный базис

. (1.32)

существует един-

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть разложение искомого вектора

по базису

имеет вид:

(1.33)

Умножим обе части равенства (1.33) при фиксированном j

скалярно на каждый вектор

; учитывая (1.32), получим:

j

1

Полученная система

неизвестных

2



2

линейных уравнений относительно

имеет определитель

j

=δ=+++= eeeeeeee

iinnjijiji



.,,2,1,,,,,

nixxx

32

( )

0,,,

21

≠=∆nG eee



n

eee,,,

21

j

e





n

eee,,,

21

021=λ==λ=λ

n



n

eee



,,,

21

x



j

e



j

exξ=

( )

( ) ( )

i

j

iji

j

ji

j

jii

x ξ=δξ=ξ=ξ== eeeeex



,,,

n

eee



,,,

21

i

x

j

x ex=

x



{ }

i

j

a

ji

k

jki

aag =

{ } { }

kiki

g ee,=

{ }

j

x ex=

( ) ( ) ( ) ( )



.

Поскольку векторы

образуют базис, следователь-

но, они линейно независимы. Поэтому система имеет единственное

решение, что и доказывает существование векторов

.

Покажем, что полученные векторы образуют базис. Пусть

1

2



2

n

.

0

=λ++λ+λ

eee

n

Умножая скалярно последнее соотношение последовательно на

независимость векторов

, получим

Разложим вектор

.

по базису

, что означает линейную

:

. Учитывая

(1.31), получим:

.

Таким образом, ковариантные координаты вектора представля-

ют собой его координаты в базисе

вариантных координат

. Вектор

(1, 0). Переход к ковариантным координатам вектора

в отличие от его контра-

является тензором типа

по формуле

(1.30) называется операцией опускания индекса. Отметим, что эту операцию можно применить к любому тензору, имеющему верхние индек-

сы. Например, у тензора

можно опустить верхний индекс:

контравариантным тензором. Рассмотрим свёртку тензора

вектором

Тензор вида

:

ik

k

ki

k

Таким образом,

.

типа (0,2) называют метрическим

ki

с

g

kii

k

kii

. (1.34)

xgx =

k

ik

k

iikk

.,,,,

xxxxxxg =δ===== eeeexeee

33

Переход к контравариантным координатам вектора

x



( )

ki

gg и

( )

i

x eexex



,==

x



x



e



( )

i

ji

i

ijj

g eeeee



== ,

k

e



( ) ( )

ki

ji

ki

ji

k

j

k

j

ggg ==δ= eeee



,,

( )

I=

ki

gg

( )

ki

gg и

i

e



( )

k ikiki

g δ== ee,

ki

g

ki

g

k i

ki

gg δ==

i

e



i

e



i

e



i

xx =

i

e



i

e

′



по фор-

муле (1.34) называется операцией поднятия индекса. Эту операцию можно применить к любому тензору, имеющему нижние индексы.

Установим связь между матрицами

. Заменим в

соотношении

,

которое справедливо для любого вектора

, вектор

на

. Тогда:

j

.

Умножим обе части последнего равенства на

:

.

Таким образом,

gg δ=

ij

, а это означает, что

j

k

ki

,

т.е. матрицы

взаимно обратны.

1.4.4. Случай ортонормированных базисов. Базис

называется ортонормированным, если образующие его векторы имеют единичную длину и попарно ортогональны, т.е.

В этом случае величины

довательно, и величины

образуют единичную матрицу, а сле-

также образуют единичную матрицу, т.е.

. (1.35)

.

Очевидно, что взаимные базисы

можно сделать вывод:

в ортонормированном базисе

антные координаты вектора совпадают, т.е.

различие между верхними и нижними индексами любого тензора.

Действительно, переход от одного ортонормированного ба-

зиса

к другому

и

совпадают, а отсюда

ковариантные и контравари-

. При этом исчезает

осуществляется с помощью ортогональной

34

T

PP =

−1

XPXPX

T

==

′

−1

x



( )

qp,

qp +

3

E

321

,, eee



321

21

3

321

13

2

321

32

1

,,

eee

ee

e

eee

ee

e

eee

ee

e



















×

=

×

=

×

=

321

,, eee



321

,, eee





n

E

ngg

ji

=

jiekiekje













+=+=+=

321

;;

P

матрицы P [10, с. 75], удовлетворяющей соотношению

T

,

IPP =

или

. В силу (1.15),

. (1.36)

Сравнение формул (1.7) и (1.36) показывает, что преобразование базисных векторов и координат вектора

при изменении базиса происходит одинаково, а, следовательно, одинаковым образом изменяются компоненты тензора по ковариантным и по контравариантным индексам.

Каждый тензор типа

определяет в ортонормированном

базисе так называемый евклидов тензор валентности (ранга)

Все тензоры, отличающиеся друг от друга поднятием или опусканием индексов, определяют один и тот же евклидов тензор, все индексы которого можно писать снизу.

У п р а ж н е н и я

1. Проверить, что в пространстве

зиса для базиса

находятся по формулам:

2. Найти взаимный базис для ортогонального базиса

3. Показать, что для ортонормированного базиса

ны равенства:

1

2

1

3

,, eeeeee

2

.

===

3

4. Доказать, что полная свёртка ковариантного и контравари-

антного метрических тензоров в пространстве

векторы взаимного ба-

.

вер-

равна

.

5. Заданы базис

рехода

к новому базису

 

=

P

 



110

 

.

101

 

011



и матрица пе-

35

Найти метрический тензор

{ }

i

e



{ }

ji

gg′=

′

i

e

′



( ) ( )

ee



21

,ee



{ }

ji

gg =

i

e



{ }

i

e



( )

I=

ji

gg

2;2;4

22211211

==== gggg

21

,ee





21

,ee



221111

1

eee



xx +=

21

eeи

2

1

2

1

( )

 



 



−=−=

2

1

;

2

1

2

1

21

1

eee



2

e



( )

1;0

2

1

21

2

=+−= eee



2

в базисе

непосредственно по определению и используя

в базисе

gg =

ji

, а также тензор

закон преобразования компонент тензора при переходе к новому базису в матричном виде (см. Упражнение 8 подраздела 1.2).

6. Задан базис

и метрические тензоры

се

. Проверить соотношение

21

. Найти взаимный базис

1;1,0;2

==

в базисе

и

gG =

ji

в бази-

.

Р е ш е н и е

Вычисления дают:

. Для нахож-

дения взаимного базиса

1-й способ. Разложим вектор

; умножая это равенство последовательно на

получим систему

Решая систему, находим

Аналогично, находим координаты вектора

Теперь можно вычислить компоненты контравариантного

метрического тензора:

отношение

можно использовать два способа.

1

по базису

e

2

1

  

xx

=+

,124

1

1 1

xx

1

1 1

2

=+

.022

1

2

,

1

, откуда

−== xx

.

:

.

1

,

1

22211211

. Получаем со-

1,

=−=== gggg

:

,

36

( )

I=



 





 



=













−



 





 



=

10

01

1

2

1

2

1

2

1

22

24

ji

gg

( )

ji

g

i

g

21

eeи

( )

( ) ( )

.1;02

2

1

;1;1

2

1

2

1

21

22

21

11

=+−==

−=−==

eeee



k

g

( )

3;7=x



( ) ( )

( )

kπ≠ααα

== sin;cos,0;1

21

ee



21

, ee



{ }

ji

gg =

i

e



{ }



jiekiekje













+=+=+=

321

;;



{ }

ji

gg =

i

e



{ }



( )

I=

ji

gg

321

,, eee



.

2-й способ нахождения взаимного базиса. Матрицу компо- нент контравариантного метрического тензора находим как обратную матрицу по отношению к матрице

−

1

j

( )

24









=





22







1



=



−

4



:

1

 

22

−



2





=



42



1



−



2





−



2



.



1

 

Теперь векторы

можно получить, используя опера-

цию поднятия индекса:

7. Для базиса, заданного в Упражнении 6, найти контравари-

антные и ковариантные координаты вектора

8. Задан базис

взаимный базис

ji

в базисе

gG =

и метрические тензоры

i

.

e

9. Задан базис

ный базис

ские тензоры:

321

, используя формулы Упражнения 1, и метриче-

,, eee

в базисе

,

gG =

соотношение

.

10. Для базиса, заданного в Упражнении 9, найти взаимный

базис

, используя операцию поднятия индекса.

ji

в базисе

.

в базисе

. Найти взаим-

i

. Проверить

e

. Найти

и

37

11. Для базиса, заданного в Упражнении 9, найти контрава-

( )

3;4;5=x



ba



и

ba



и

3

E

{ }

ki

aA =

i

e



xyA=

.A

x



A

xxλ=A

x



,A

x



3

E

321

,, aaa



321

,, λλλ

A

риантные и ковариантные координаты вектора

.

12. Выразить скалярное произведение векторов

их ковариантные и контравариантные координаты.

13. Выразить длину вектора и угол между векторами

через их ковариантные и контравариантные координаты.

1.5. Приведение тензора к главным осям

1.5.1. Главные направления и главные значения

тензора. Рассмотрим в пространстве

валентности 2, соответствующий в ортонормированном ба-

зисе

ванию A:

симметричному (самосопряжённому) линейному преобразо-

.

Напомним понятие собственных векторов и собственных

значений оператора

ным вектором оператора

Ненулевой вектор

, если существует такое λ, при котором

выполняется соотношение:

симметричный тензор

называется собствен-

,

через

здесь вектор

переводится в коллинеарный вектор. Число λ назы-

вается собственным значением оператора собственному вектору

.

Как известно [см. 10, с. 75], симметричный линейный опера-

тор в пространстве

ных вектора

имеет три взаимно ортогональных собствен-

с собственными значениями

зующие базис пространства. В этом базисе матрицу привести к диагональному виду:

λ



1



′

=

A

 



00

 

λ

2

00

.

00

 

λ

3



соответствующим

, обра-

можно

38

321

,, aaa



||

;

||

;

||

3

2

1

a

e

a

e

a

e



=

′

=

′

=

′

321

,, λλλ

( )

0|| =λ−=λϕ IA

( )

λϕ

)(λϕ

0

32

2

1

3

=−λ+λ−λ III

ASp=++=

3322111

aaaI

3332

2322

3331

1311

2221

1211

2

aa

I ++=

333231

232221

131211

3

||

aaa

I == A

Нормируя векторы

базис

Собственные векторы линейного преобразования задают главные направления тензора, а приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду называется приведением тен-

зора к главным осям. Собственные значения

главными значениями тензора.

1.5.2. Инварианты тензора. Для нахождения собствен-

ных значений необходимо решить характеристическое уравнение

, получим ортонормированный

.

называются

где

– характеристический многочлен, равный

λ−

( )

=λϕ

Характеристический многочлен

, (1.37)

aaa

131211

λ−

aaa

.

aaa

232221

λ−

333231

, как известно, не зави-

сит от выбора базиса, т.е. является инвариантом тензора . Вычислив определитель третьего порядка, характеристическое уравнение можно переписать в виде

где

– след матрицы;

, (1.38)

;

.

39

В силу инвариантности характеристического многочлена ве-

1

I

2

I

3

I

i

λ

A

′

( )( )( )

0

321

=λ−λλ−λλ−λ

( ) ( )

321332312123211

;; λλλ=λλ+λλ+λλ=λ+λ+λ

= III

01=I

{ }

ji

aA =

IAB

1

3

1

I−=

133331222211111

3

1

;

3

1

;

3

1

IabIabIab −=−=−=

0

332211

=++ bbb

{ }

λ=λ=λ=λ

321

личины

,

являются инвариантами тензора A (это относит-

ся к любому тензору, не обязательно симметричному). Инварианты тензора выражаются через его главные значения

. Для вывода со-

ответствующих формул вычислим характеристический многочлен для диагональной матрицы

:

( ) ( )( )( )

Запишем характеристическое уравнение в виде

или

3

Сравнивая с уравнением (1.38), получим:

Тензор, у которого первый инвариант

виатором.

П р и м е р. 1.6 Построим девиатор для произвольного тензора

. Сначала вычислим элементы матрицы

λ−λ

1

=λϕ

2

00

λ−λ

3

.

λ−λλ−λλ−λ=

321

,

2

321

.

0

=λλλ−λλλ+λλ+λλ+λλ+λ+λ−λ

321323121

. (1.39)

, называется де-

:

Поскольку

тором.

1.5.3. Понятие шарового тензора. Рассмотрим случай,

когда главные значения тензора совпадают:

приведения тензора к главным осям, его матрица компонент принимает вид

, тензор

является девиа-

bB =

ji

. После

40

{ }

i k

λδ=













λ

=

′

00

A

{ }

i k

λδ

321

,, xxx

∑∑

= =

=

313

1

i k

kiki

xxa

321

,, xxx

′′′

( ) ( ) ( )

1

2

33

2

22

2

11

=

′

λ+

′

λ+

′

λ xxx

0,,

321

>λλλ

0

321

>λ

=λ=λ=λ

kikikiki

IIaa δ+δ−=

11

3

1

3

1

CBA +=













δ−=

kiki

IaB

1

3

1













δ=

i k

IC

1

3

1

.

Тензор

называется шаровым тензором. Рассмотрим

геометрический смысл этого понятия. Поверхность второго порядка, заданная в системе координат

уравнением

,

называется тензорной поверхностью. В системе координат

соответствующей главным осям тензора, уравнение поверхности приводится к каноническому виду [10, с. 93]:

.

Если

тензорный эллипсоид. Если

, тензорная поверхность представляет собой

, тензорный эллипсоид

превращается в сферу (шар).

Любой тензор можно разложить на девиатор и шаровой тензор. Действительно, из соотношения

следует, что

, где

– девиатор (см. выше

,

Пример 1.6), а тензор

– шаровой тензор.