Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
111
( )
∫ ∫
Γ Γ
=τ⋅=++ 0
aRdzQdyPdx
.
A
( )
( ) ( )
0=τ⋅+τ⋅=τ⋅
∫∫∫
∪∪Γ ABBA
dsdsds
III
aaa
( ) ( )
∫∫
∪∪
τ⋅=τ⋅
BABA
dsds
III
aa
A
M
( ) ( )
∫
∪
τ⋅=ϕ
AM
dsM
a
( )
Mϕ
1
MM=l
( ) ( )
( ) ( )
∫
⋅=⋅=
ϕ−ϕ
=
∂
∂ϕ
→→
1
11
00
1
1
limlim
MM
MMMM
ds
MM
MM
l
lala
1
MM
0
grad l⋅ϕ=
∂∂ϕl
l
ϕ= grada
Это свойство верно, если область, в которой задано векторное поле односвязная; т.е. любой контур путём непрерывной дефор-
мации можно стянуть в точку, не пересекая границ области.
Докажем обратное утверждение: если в односвязной области
циркуляция поля по любому замкнутому контуру равна нулю, поле
потенциально.
Д о к а з а т е л ь с т в о:
Действительно, выберем на контуре Γ произвольные точки
и B и между ними точки I и II. Тогда в силу аддитивности интеграла
,
откуда следует, что
,
т.е. линейный интеграл не зависит от формы пути, соединяющего
точки
и B.
Выберем в качестве конечной точки произвольную точку
и рассмотрим функцию
. Вычислим производную
функции
(интеграл берётся по отрезку
для криволинейного интеграла).
С другой стороны по формуле (2.24)
Учитывая произвольность направления
в направлении вектора
:
; используется теорема о среднем
.
, получаем
,
112
a
0gradrotrot =Φ=a
a
0rot =a
a
x
R
z
P
z
Q
y
R
y
P
x
Q
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
;;
( ) ( )
0
0
MMRdzQdyPdx
MM
Φ−Φ=++
∫
∪
( )
CRdzQdyPdxM
M
M
+++=Φ
∫
0
( )
0000
,, zyxM
( )
zyxM ,,
( )
( )
следовательно, поле
Из соотношения (2.60) и формулы из пункта 2.6.2. следует, что
является потенциальным.
.
Поле
, в каждой точке которого
, называется без-
вихревым. Таким образом, потенциальное поле является безвихревым. И наоборот, если поле
является безвихревым, из формулы
Стокса (2.54) следует, что циркуляция поля по любому контуру равна нулю, следовательно, как было показано выше, поле является потенциальным. Из этого можно сделать вывод, что в односвязной об-
ласти понятия потенциального и безвихревого полей совпадают.
Из выражения для
(2.53) получаем необходимое и дос-
arot
таточное условие потенциальности поля:
. (2.64)
Найдем теперь потенциал потенциального поля. В силу со-
отношения (2.63)
,
откуда
. (2.65)
В формуле (2.65) интеграл можно вычислять вдоль любого
пути, соединяющего некоторую фиксированную точку
текущей точкой
. Удобнее всего в качестве пути интегриро-
вания использовать ломаную, звенья которой параллельны координатным осям.
П р и м е р 2.28. Найти потенциал векторного поля
2
.
kjia
xyxzxy +−++= 22
Р е ш е н и е
Очевидно, что условия (2.64) для функций
с
113
xRyxQzxyP =−=+= ,2,2
2
a
циально.
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
.20
22,,
22
00
2
0
,,
0,0,0
2
CzxyyxCxdzdyyxdx
Cxdzdyyxdxzxyzyx
z
y
x
zyxM
O
++−=++−+=
=++−++=Φ
∫∫∫
∫
a
a
0div =a
p
0rotdiv =p
В качестве начальной точки возьмём начало координат
(рис.1).
выполнены, поле
– потен-
Тогда в соответствии с (2.65) получим
2.7.2. Соленоидальное (трубчатое) поле. Векторное
поле
называется соленоидальным (трубчатым), если в каждой
точке выполняется соотношение
В качестве примера можно взять поле ротора произвольного
векторного поля
, так как
Рис. 1
. (2.66)
(см. пункт 2.6.2.). Можно
114
pa
p
a
a
S
( )
0div ==Π
∫∫∫
Ω
dVSaa
a
( ) ( )
0
1
limdiv =σ⋅=
∫∫
→Ω
d
V
M
S
M
naa
21
SS и
3
S
( ) ( ) ( ) ( )
0
321
=Π+Π+Π=Π aaaa
SSSS
3
S
na⊥
( )
( ) ( )
021=Π+Π aa
SS
доказать и обратное утверждение о том, что вектор соленоидального
поля является ротором некоторого векторного поля:
.
rot=
Вектор
Вычислим поток вектора
поверхность
называется векторным потенциалом поля
через произвольную замкнутую
. По теореме Гаусса–Остроградского
.
.
Имеет место и обратное утверждение. Если поток векторного
поля
через любую замкнутую поверхность равен нулю, поле является соленоидальным. Действительно, в силу инвариантного определения дивергенции поля (2.45)
.
В гидродинамике соотношение (2.66) называется уравнением
неразрывности несжимаемой жидкости. Смысл этого соотношения
заключается в следующем: количество жидкости, вытекающей через
замкнутую поверхность S за единицу времени, равно количеству втекающей жидкости, и полный поток через эту поверхность равен нулю.
Для того, чтобы объяснить происхождение названия трубчатого поля, рассмотрим поток векторного поля через векторную
трубку – поверхность, состоящую из векторных линий поля (см.
подраздел 2.5.). Обозначим через
ки,
– её боковую поверхность, S – замкнутую поверхность, огра-
поперечные сечения труб-
ничивающую векторную трубку. Если поле является соленоидальным, то, как было показано выше,
В точках боковой поверхности
ных линий
, поэтому
.
по определению вектор-
. Таким образом,
S
03=Π a
.
115
В последнем соотношении подразумевается, что потоки че-
21
SS и
( ) ( )
aa
21
SS
Π=Π
a
G
0graddivdiv =Φ=a
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
=∆Φ
zyx
G
( )
( )
∫∫
σΦ
π
=Φ
R
S
dM
R
M
2
0
4
1
R
S
0
M
рез сечения
вычисляются в направлении внешних нормалей.
Если же выбрать для этих сечений общее направление нормали, то
получим:
.
В силу произвольности выбранных сечений, отсюда следует
основное свойство соленоидального (трубчатого) поля:
Поток векторного поля через любое сечение векторной труб-
ки один и тот же и называется мощностью векторной трубки.
2.7.3. Гармоническое поле. Векторное поле
ся гармоническим в области
, если оно является в этой области по-
называет-
тенциальным и соленоидальным одновременно. Отсюда следует, что
.
Используя соотношение (2.59), приходим к уравнению Лапласа
. (2.67)
Решение уравнения Лапласа (2.67) называется гармонической
функцией в области
. Таким образом, потенциал гармонического
поля является гармонической функцией.
Гармонические функции обладают многими замечательными
свойствами. Подробное изложение теории гармонических функций
можно найти в литературе [2, С. 222-228]. Приведём некоторые из
этих свойств.
1. Теорема о среднем. Значение гармонической функции в
центре сферы является средним арифметическим её значений во всех
точках сферы:
,
где
– сфера радиуса R с центром в точке
.
2. Принцип максимума. Наибольшее и наименьшее значения
функции, гармонической в области, могут достигаться только на
границе области.
116
( )
zyx ,,Φ
( )
yx,Φ=Φ
0
2
2
2
2
=
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
=∆Φ
yx
( )
yx,Φ
( )
zf
( )
( )
zf
( ) ( )
MM φϕ ,
S
( )
∫∫∫ ∫∫
Ω
σ
∂
∂φ
ϕ=φ∇⋅ϕ∇+φ∆ϕ
S
d
n
dV
( )
∫∫∫ ∫∫
Ω
σ
∂
∂ϕ
φ−
∂
∂φ
ϕ=ϕ∆φ−φ∆ϕ
S
d
nn
dV
const=ϕ
φ=Φ
0=φ∆
0=σ
∂
Φ∂
∫∫
S
d
n
3. Гармоническая функция, принимающая постоянные значения на границе некоторой конечной области, постоянна внутри этой
области.
4. Уравнение Лапласа (2.67) имеет единственное решение в
области, на границе которой функция
значения.
принимает заданные
Гармоническая функция двух переменных
летворяет уравнению Лапласа
.
Известно, что функция
является действительной или мнимой частью функции
тической в этой области. Поэтому свойства гармонической функции
можно вывести из соответствующих свойств аналитической
yx,Φ
функции
Приведём некоторые известные в курсе математического
анализа важные формулы, которые могут быть получены как следствия из теоремы Гаусса–Остроградского (2.39). Если
скалярные функции, непрерывные вместе со своими частными производными 1-го и 2-го порядков в области Ω, ограниченной поверхностью
[11].
, то имеют место следующие соотношения:
, гармоническая в области D,
; (2.68)
удов-
, анали-
–
называемые первой и второй формулой Грина, соответственно.
Теперь из (2.68), считая, что
ская функция в области Ω (
(2.69)
, а
), получим:
. (2.70)
– гармониче-
117
Из соотношения (2.69), считая функции
φϕ и
∫∫∫∫
σ
∂
∂φ
ϕ=σ
∂
∂ϕ
φ
SS
d
n
d
n
m
( )
),, zyxM
r
( )
32
0
0
r
m
r
m
E
r
r
ra
µ−=µ−=−=
( )
3
r
mrfµ
−=
( )
( ) ( )
( )
zrfRyr
fQxrfP === ,,
( ) ( )
( )
.;;xz
r
rf
z
P
x
R
yz
r
rf
y
R
z
Q
xy
r
rf
y
P
x
Q
′
=
∂
∂
=
∂
∂
′
=
∂
∂
=
∂
∂
′
=
∂
∂
=
∂
∂
скими в области Ω, получим:
гармониче-
Выведенные формулы (2.70) и (2.71) играют важную роль
при решении уравнения Лапласа.
П р и м е р 2.29. Рассмотрим поле тяготения точечной мас-
, помещённой в начале координат. Рассчитаем напряжённость
сы
поля, т.е. силу притяжения данной массы и единичной массы, находящейся в точке пространства
готения, величина этой силы составляет
m
E µ=
где µ – гравитационная постоянная, величина которой зависит от
выбранной системы единиц, а
Таким образом, получаем поле напряжённости данной точеч-
ной массы
Покажем, что данное векторное поле является потенциаль-
ным в любой области, не содержащей начала координат. Обозначим
2
. (2.71)
. По закону всемирного тя-
,
222
.
r=++=
zyxr
, тогда
где
После вычислений получаем:
,
rkjia
rfRQP =++=
.
118
0rot =a
( )
ra
rf=
( )
rf
( )
r
mrµ
=Φ
x
r
m
r
xrm
x
32
µ
−=⋅
µ
−=
∂
Φ∂
y
r
m
y
3
µ
−=
∂
Φ∂
z
r
m
z
3
µ
−=
∂
Φ∂
µ
m
a
( ) ( )
03div =
′
+= r
rfrfa
0≠r
a
( ) ( ) ( )
kjia
yxxzzy +++++=
kjia
xyxzyz ++=
( )
( )
kjia
xyxzxy +−++= 22
2
а это означает, что
векторное поле вида
. Тем самым мы показали, что всякое
,
где
функция
откуда
(2.48), находим
что означает соленоидальность поля. Таким образом, поле напряжённости точечной массы является гармоническим полем за исключением начала координат.
– дифференцируемая функция, является потенциальным.
Нетрудно проверить, что потенциалом данного поля является
. Действительно,
.
Аналогично получим, что
grad
Проверим, что поле
;
−=Φ
3
r
соленоидально. Используя формулу
,
.
ar=
,
,
1. Доказать, что векторное поле
и найти его потенциал:
1)
2)
3)
У п р а ж н е н и я
является потенциальным,
;
;
;
119
4)
zyx ++
++=kji
a
222
1 zyx
xyxzyz
+
++
=
kji
a
rar=
a
( ) ( ) ( )
kjia
222222
xyzzxyyzx −+−+−=
( ) ( )
kjia
13
2222
+++−= yzyxzy
( )
( )
kjia
3223
22
+−+−+= yzyzzyxy
a
p
( ) ( )
( )
kjip
zxzyzx +++++=
2
( )
( ) ( ) ( )
kjip
222222
zxzyyx +++++=
( )
kjia
yxz ++−= 2
kjip
222222
yxzxzy ++=
( ) ( ) ( )
kjia
yxzxzyzyx −+−+−=
222
222
( ) ( ) ( )
kjip
222
yxzxzy +++++=
( ) ( ) ( )
( )
,rf
( )
ra
rf=
φ∇ϕ=a
ϕ∇φ−φ∇ϕ=a
;
5)
6)
2. Проверить, является ли векторное поле
ным:
1)
2)
3)
3. Убедиться в том, что векторное поле
вектор
муле Гаусса–Остроградского (2.39)
муле Гаусса–Остроградского (2.39)
является его векторным потенциалом:
1)
2)
3)
4)
4. Найти такую функцию
было гармоническим.
5. Доказать первую формулу Грина (2.68), считая, что в фор-
6. Доказать вторую формулу Грина (2.69), считая, что в фор-
.
;
;
jia
12 −−−= x
;
соленоидаль-
;
;
.
соленоидально, а
,
,
,
;
,
.
kjia
yxxzzy −+−+−= 222
чтобы векторное поле вида
.
.
120
O
OMr =
X
321
,, xxx
321
,, uuu
( )
32
1
,, uuuM
( )
321
,, uuurOMr
==
( )
3,2,1,,,
321
== ixxxuu
ii
X
( )
3,2,1,,,
321
== iuuuxx
ii
3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ В
КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
3.1. Криволинейные координаты в пространстве
3.1.1. Криволинейная система координат. Зададим в
пространстве ортонормированный базис
рованную точку
точки M являются прямоугольными декартовыми коорди-
натами этой точки.
Пусть в области
которой мы обозначим
– начало координат. Координаты радиус-вектора
каждой точке M, декартовы координаты
, однозначно ставится в соответствие
и некоторую фикси-
,, iii
321
по некоторому закону тройка чисел
. В отличие от декарто-
вых, эти координаты будем называть криволинейными. Радиусвектор точки
зависит от криволинейных координат точ-
ки
. (3.1)
Будем считать, что криволинейные координаты задаются не-
прерывно дифференцируемыми функциями декартовых координат
, (3.2)
осуществляющими взаимно-однозначное соответствие между областью
и соответствующей областью U. Для того чтобы обратные
соотношения
также осуществлялись с помощью непрерывно дифференцируемых
функций, необходимо и достаточно, чтобы якобиан отображе-
ния (3.2) был отличен от нуля в области