Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
161
13.
( )
i
i
i
i
i
i
i
i
bbaa
ba
aa
⋅
== baa
,cos;
^
84,11,11
321
−=== III
15,2,9
321
−
=== III
;5,2,1
321
=λ=λ=λ
( ) ( ) ( )
2;2;1;2;1;2;1;2;2
321
−−=−== aaa
−
−−
=
221
212
122
3
1
P
;3,3
321
=λ=λ−=λ
( ) ( ) ( )
5;2;1;
0;1;2;1;2;1
321
−==−= aaa
;3,0
321
=λ=λ=λ
( ) ( ) ( )
1;1;1;
2;1;1;0;1;1
321
=−=−= aaa
девиатор,
158
407
961-
= где,
121
−
+= AAAA
тензоршаровой
200
020
002
2
−
=A
девиатор,
243
402
322
где,
121
−
−
=+= BBBB
тензоршаровой
300
030
003
2
−
=B
2)
4.
2. 1)
.
Подраздел 1.5
;
; 3)
.
0,18,15
=−== III
321
;
6. 1)
2)
7.
.
;
;
;
;
162
2
2
2
dt
d
dt
d r
r
r
⋅+
dt
( )
×+
×+×
dt
d
dt
d
dt
d c
bac
b
acb
a
( )
××+
××+××
dt
d
dt
d
dt
d c
bac
b
acb
a
a
Czayaxa ln
321
=++
Czyx =++
222
C
bbb
aaa
zyx
=
321
321
Cyx =−2
0; >= CCxy
Cyx =−
22
6
4
10
arctg=ϕ
5
2
10
27
cosarc=ϕ
120
3
2
2π
2
;2;
2
RRR
Раздел 2
Подраздел 2.1
2
1. 1)
; 2)
d r
r
.
×
2
2. 1)
2)
;
.
4. Окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к вектору
Подраздел 2.2
22
;
Czyx =+
.
.
3)
5)
4. 1)
1
. 6.
5.
3. 1)
; 4)
Czy =+2242
; 2)
. 8.
; 2)
;
; 3)
. 9.
.
2.
. 3.
Подраздел 2.3
. 4. 0. 5.
.
163
6.
22
1 Haa +π
Ha
2
6π
.4 abcπ
8
1
HRR
H
2
3
2
8
+
π
5
5
12
aπ
8
zyx ++
( )
( )
r
r
r
ϕ′+
ϕ
2
HR22π
6
1
π− 4
( )
Cyzxzxy +++=Φ
Cxyz +=Φ
Czyx +++=Φ ln
( )
Cxyz +=Φ arctg
3
3
1
r=Φ
( )
3
r
C
rf =
.
Подраздел 2.4
2.
6.
1. 14. 2.
6.
. 7.
10. 1) 0; 2)
1. 1)
3)
5)
. 3. 0. 4.
. 7.
. 8. π4. 9.
−−−
22
Cxzyyx ++−=Φ
; 6)
5.
. 8. 0. 9.
Подраздел 2.5
. 3. u3. 4. 0. 5.
.
; 3)
kji
Подраздел 2.7
; 2)
; 4)
.
.
Rπ
−
. 11. 0.
kji
yxz ++− 2
6
.
.
;
;
2. 1) да; 2) нет; 3) да. 4.
.
164
kjie
θ+ϕθ+ϕθ= cossinsincossin
r
( )
+
ϕ−ϕ
ρ
+−ϕ=
Φ
ϕρ
ρ
ee
sin2sin3ln3cosgrad
z
θ
θ−θ=Φ ee
sincos
2grad rr
r
θ
+
θ
µ−=Φ
θ
ee
33
sincos2
grad
rr
r
Cz ++ϕ+ρ=Φ
( )
Cz ++ϕ+ρ=Φ
222
2
1
Cr +θ=Φ
Cr +θ+ϕ+=Φ
2
( )
2
1
C
r
C
r +=Φ
( )
21
2
tgln CC +
θ
=θΦ
( )
21
CC +ϕ=ϕΦ
2.
Раздел 3
Подраздел 3.2
;
jie
ϕ+ϕ−=
;
kjie
θ−ϕθ+ϕθ=
θ
sinsincoscoscos
ϕ
cossin
.
Подраздел 3.3
7. 1)
2)
8. 1)
2)
13. 1)
14. 1)
2)
( )
; 2)
2. Нет. 3. 1)
sin2cos2grad
1
z
+ϕ−ϕ+ρ=Φ
cos
e
ρ
;
.
; 2)
.
Подраздел 3.4
;
; 3)
ϕ
ee
ϕρ
sin
−
2
z
e eϕsin
eϕ
z
;
z
.
.
.
165
Подраздел 3.6
ρ=
100
00
001
2
g
θ=
2
22
00
0sin0
001
r
rg
ρ
=
100
0
1
0
001
2
G
1. 1) цилиндрическая система координат:
;
2) сферическая система координат:
.
2. 1) цилиндрическая система координат:
;
2) сферическая система координат:
166
ρ
=Γρ−=Γ
1
;
2
21
1
22
;cossin;sin;
2
33
21
33
1
22
θθ−=Γθ−=Γ−=Γ rr
θ=Γ=Γ=Γ ctg;
1
;
1
3
32
3
31
2
21
rr
=
G
0
1
22
ϑ
r
sin
00
001
0
1
2
r
3.
4.
; в остальных случаях 0.
; в остальных случаях 0.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. –
М.: Наука, 1969.– 351 с.
2. Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала
тензорного исчисления. – М.: Высшая школа, 1963.– 262 с.
3. Векуа И. Н. Основы тензорного анализа. – Тбилиси: Изд.
Тбил. университета, 1967. – 138 с.
4. Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые её прило-
жения. – М.: Наука, 1971. – 288 с.
5. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. – М.: Наука,
1974. – 296 с.
6. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного
исчисления. – М.: Наука, 1965. – 426 с.
7. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Векторный
анализ. Задачи и упражнения. – М.: Наука, 1978. – 189 с.
8. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. – М.: Нау-
ка, 1975. – 336 с.
9. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. –
М.: Наука, 1978. – 384 с.
10. Гопенгауз Б. Е. Высшая математика, Раздел: Линейная
алгебра: Курс лекций. – М.: МИСиС, 1995. –104 с.
11. Гопенгауз Б. Е. Высшая математика. Раздел: Теория
функций комплексного переменного и операционное исчисление:
Курс лекций. – М.: МИСиС, 1997. – 135с.
12. Кашапов И. А., Кашапова Ф. Р., Пономарёв С. П. Фоменко Т. Н. Высшая математика. Раздел: Тензорная алгебра: Метод. указания к типовым расчётам. – М.: МИСиС, 1993. – 28 с.
167
ГОПЕНГАУЗ Борис Евсеевич
ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Курс лекций
для студентов специальности 1106
Рецензент доц. И.Е.Гопенгауз
Редактор С.В. Фролова
Заказ Объем 165 стр. Тираж 155 экз.
Цена “С” Регистрационный № 425
Московский государственный институт стали и сплавов,
119991 Москва, Ленинский пр-т, 4
Отпечатано в типографии издательства «Учеба» МИСиС,
117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9