Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
41
У п р а ж н е н и я
{ }
ji
aA =
=
342
360
501
A
;10361
1
=++=I
( ) ( )
;54510
36
50
2
34
36
1
342
360
501
23
−λ−λ+λ−=
λ−
+
+
λ−
λ−
λ−=
λ−
λ−
λ−
=λϕ
054510
23
=+λ
+λ−λ
54;5;10
321
−=== III
1. Тензор
имеет в некотором базисе матрицу компонент
.
Найти инварианты тензора.
Р е ш е н и е
Для нахождения инвариантов можно вычислить соответст-
вующие определители:
01
2
60
61
32
501
360
3
==I
342
36
;5676
=+−=++=I
34
501
.
360
740
−
541242
−=−−=
Можно также использовать формулы (1.39), выражающие
инварианты тензора через собственные значения. При этом не обязательно находить эти собственные значения; достаточно составить
характеристическое уравнение (1.38) и воспользоваться коэффициентами этого уравнения:
т.е.
; отсюда снова получаем
.
42
{ }
ji
aA =
−
−=
520
242
023
A
A
( )
283912
520
242
023
23
+λ−λ+λ−=
λ−−
−λ−
λ−
=λϕ
0283912
23
=−λ+λ−
λ
11=λ
1−λ
02811
2
=+λ−λ
7,432=λ=λ
1
a
2. Найти инварианты тензоров типа (2, 0), заданных в неко-
тором базисе матрицами компонент:
=
3. Найти главные значения и главные направления тензора
, заданного в некотором ортонормированном базисе матри-
цей компонент
Найти ортогональное преобразование, приводящее матрицу
к диагональному виду.
Р е ш е н и е
Вычислим характеристический многочлен
105
363
054
,
=
353
101
623
,
DCB
=
321
.
654
987
.
и составим характеристическое уравнение:
.
Так как матрица A симметрична, все корни полученного
уравнения действительны. Очевидно, что собственное значение
. Разделив левую часть характеристического уравнения на
, получим квадратное уравнение
,
откуда
Для нахождения собственного вектора
собственному значению
.
, соответствующего
, нужно решить соответствующую од-
11=λ
43
нородную систему уравнений для координат
321
,, xxx
3231
2;2 xxxx =−=
1
3
=x
( )
1;2;2
1
−=a
( ) ( )
2;2;1;2;1;2
32
−−== aa
321
,, aaa
321
,, λλλ
321
,, aaa
=
′
700
040
001
A
321
,, aaa
( ) ( ) ( )
2;2;1
3
1
,2;1;2
3
1
,1;2;2
3
1
321
−−=
′
=
′
−=
′
eee
[10, с. 70-71]:
=+
,022
xx
21
=−+
,0232
xxx
321
=+−
.042
xx
32
вектора
Общее решение системы
получим
Аналогично находим остальные собственные векторы
Собственные векторы взаимно ортогональны, ибо собствен-
ные значения различны. Векторы
ления тензора A, а числа
В базисе
матрицу A можно привести к диагональ-
ному виду:
Для нахождения ортогонального преобразования нормируем
базис
:
. Выбрав
.
.
задают главные направ-
– его главные значения.
.
,
.
Координаты полученных векторов образуют матрицу ортого-
нального преобразования
P
−−
1
=
3
122
.
−
212
221
44
{ }
B
{ }
ji
aA =
54;27;0
321
=−== III
05427
3
=−λ−λ
6,3
321
=λ−=λ=
λ
( ) ( ) ( )
( )
5;2;4
212
021
1
=
−−
−=×=
kji
cba
c
ba
и
4. Найти главные значения и главные направления тензора
, заданного в некотором ортонормированном базисе матри-
bB =
ji
цей компонент
Найти ортогональное преобразование, приводящее матрицу
к диагональному виду.
5. Найти главные значения и главные направления тензора
, заданного в некотором ортонормированном базисе матри-
цей компонент
Р е ш е н и е
Для составления характеристического уравнения вычислим
инварианты тензора:
В соответствии с (1.38), получим характеристическое уравнение
B
=
A
021
.
−−−=
222
−
−−
320
−
421
.
−−
222
124
.
;
его корни
торы
ко не ортогональный (ввиду наличия совпадающих собственных
значений). Для построения ортогонального базиса найдём вектор
Этот вектор лежит в плоскости, ортогональной вектору
т.е. в плоскости, содержащей собственные векторы
. Соответствующие собственные век-
образуют базис, одна-
2;1;2,0;2;1,1;0;1 −−=−== cba
.
,
, и поэтому
45
сам является собственным вектором. Обозначив теперь
,2ba
=
ca=
3
( ) ( ) ( )
2;1;2,0;2;1,5;2;4
321
−−=−== aaa
A
−
−
=
′
600
030
003
A
{ } { }
jiji
cCbB == и
=
−
−
−
=
111
111
111
,
221
212
122
CB
{ } { }
kiki
bBaA == ,
=
=
543
432
321
,
358
427
961
BA
, получим ортогональный базис, задающий главные направ-
ления тензора:
.
В этом базисе матрица
можно привести к диагональному
виду:
.
6. Найти главные значения и главные направления тензоров
, заданных в некотором ортонормированном бази-
се матрицами компонент
.
7. Представить каждый из тензоров
, задан-
ных ниже матрицами, в виде суммы девиатора и шарового тензора:
.
46
n
E
{ }
p
iii
aA
,,,
21
=
( )
0,p
mk
ii и
0,
,,,
,,,,,,
21,21,21
=−=
ppkmpmk
iiiiiiiiiiii
i
aaa
т.е.
np >
np ≤
np =
3,2=n
}{
,,,
21 n
iii
ε
1
,,2,1
=ε
n
2=n
0,1,1,0
22211211
=
ε−=ε=ε=ε
{ }
( )
−=ε01
10
ji
3=n
{ }
kji
ε
kji ,,
1.6. Векторные операции в тензорных обозначениях
1.6.1. Дискриминантный тензор. Рассмотрим в про-
странстве
любой паре индексов. Этот тензор называется вполне антисиммет-
ричным тензором и обладает приведенными ниже свойствами.
сов совпадают, то эта компонента обращается в нуль. Действительно, при перестановке совпадающих индексов
тензор
типа
, антисимметричный по
1. Если в какой-то компоненте тензора значения двух индек-
получим, что
.
2. Если
, то тензор A является нуль-тензором. Дейст-
вительно, в этом случае в любой компоненте имеется совпадение индексов.
Таким образом, для того чтобы вполне антисимметричный
тензор не был нулевым, должно быть
представляет случай
значениями
.
. Ограничимся в дальнейшем изложении
. Наибольший интерес
О п р е д е л е н и е. Вполне антисимметричный тензор
при дополнительном условии, что
в правой ор-
тонормированной системе координат, называется дискриминантным
тензором
П р и м е р 1.7 При
очевидны соотношения:
.
Дискриминантный тензор
имеет матрицу компонент
ε
ji
.
П р и м е р 1.8 При
поненты тензора
, в которых индексы
отличны от нуля только те ком-
принимают раз-
47
личные значения, т.е. образуют различные перестановки чисел 1, 2,
.1,1,1,1,
1,1
123231312321231321
−=ε=ε=ε−=ε−=ε=ε
{ }
kji
ε
( )
−
−
−
=ε
000
001
010
001
000
100
010
100
000
kji
{ }
kji
ε
( )
( )
ε
=ε
ситуациях,других в1-
совпадают,индекса два бы хотяесли
kjis
kji
,,
,0
( )
kjis ,,
kji ,,
ε
=ε
базиса. левогодля 1-
базиса, правого для 1
P
{ }
kji
ε
nmlnkmjlikji
ppp ε=ε
′
kji
ε
kji
ε
{ }
i
kj
ε
kji
ε
:i
3. Таких компонент 6 ( в правом базисе):
Таким образом, тензор
имеет следующую матрицу
компонент:
.
Значение компонент тензора
можно вычислить по
формуле
где
– количество инверсий в перестановке
(1.40)
, т.е. коли-
чество нарушений натурального порядка следования индексов, а величина
позволяет не упоминать ориентацию базиса:
При переходе к новому базису с помощью матрицы перехода
компоненты тензора
преобразуются по следующему закону:
.
Подобно тензору
, можно ввести тензор типа (0, 3)
(контравариантный дискриминантный тензор) с аналогичными
свойствами.
1.6.2. Векторное произведение двух векторов. Пред-
варительно введём ещё один дискриминантный тензор – тензор
типа (2, 1). Он может быть получен из тензора
нятия индекса
в результате под-
48
kjm
mii
kj
g ε=ε
kji
,,
yxz
×=
321
321
yyy
xxx
kji
z
=
.,,
122133113223321
yxyxzyxyxzyxyxz −=−=−=
kji
kj
i
yxz ε=
=× yx
i
kji
kj
yx e
ε
x
y
z
)()( zyxzyxzy
x
×=×=
321
321
321
zzz
yyy
xxx
=zyx
231312123213132321
zyxzyxzyxzyxzyxzyx −−−++
.
век-
тор
Рассмотрим в правом ортонормированном базисе
. Используя известное представление векторного произ-
ведения в виде определителя третьего порядка [10, с. 56], получим:
,
откуда
Из полученных формул легко сделать вывод, что в лю-
бом базисе
; (1.41)
таким образом, доказана формула:
. (1.42)
1.6.3. Смешанное произведение трёх векторов. Сме-
шанным произведением трёх векторов
,
и
называют число
.
Известно представление смешанного произведения в правом
ортонормированном базисе с помощью определителя третьего порядка из координат сомножителей [10, с. 57]
=
.
49
Нетрудно заметить, что коэффициенты при
kji
zyx
}{
kji
ε
.
kji
kji
zyxε=zyx
c
)( cba
××
cba
×× )(
)( cba
××
cba
×× )(
cbz
×=
lki
lk
i
cbz ε=
zaw
×=
nmlnmki
lk
lki
lk
i
cbazaw εε=ε=
( )
( )
baccabcba
,,)( −=××
i
nmk
i
mnk
lnmi
lk
gg δ−δ=εε
lnmi
lk
εε
i
nmki
nmk
i
mnk
cbagg ecba
)()( δ−δ=××
ненулевыми компонентами дискриминантного тензора
образом,
являются
. Таким
(1.43)
1.6.4. Двойное векторное произведение. Из трёх за-
данных векторов
и
b,a
образуем вектор
, называе-
мый двойным векторным произведением . Двойным векторным про-
изведением является также выражение
случае
вии с (1.41),
≠
. Обозначим
. Обозначим
, причём в общем
. В соответст-
. Применяя ещё раз
(1.41), получим
.
Таким образом, доказано соотношение:
Двойное векторное произведение обладает следующим свой-
ством (см. задачу № 879):
εε=×× )(
lk
3
nmklnmi
cba ecba
. (1.44)
i
(1.45)
Исходя из (1.45) и используя (1.44), можно доказать следую-
щую формулу:
Подставляя выражение для
. (1.46)
из (1.46) в (1.44), получим
ещё одно выражение для двойного векторного произведения:
,
удобное для различных приложений.
3
Д. В. Клетеник. Сб. задач по аналитической геометрии.
– М: Наука, 1969.
50
i
e
′
( )
( )
ε
=ε
′
ситуациях,других в1-
совпадают;индекса два бы хотяесли
kjis
kji
,,
||,0P
P
i
e
i
e
′
i
e
{ }
ji
aA =
−
−
=
506
140
223
A
( )
knnj
kjii
ac δε=
kjknnj
aa =δ
kj
kjii
ac ε=
kji
ε
1
3223
11
−=−=ε= aaac
kj
kj
4
3113
22
=−=ε= aaac
kj
kj
2
1221
33
−=−=ε= aaac
kj
kj
( )
2,4,1 −−=
c
A
( )
0,0,0=c
( )
321
,, ccc=c
kj
kjii
bac ε=
( ) ( )
2,0,1,3,2,1 −== ba
У п р а ж н е н и я
1. Покажите, что в базисе
компоненты дискриминантного
тензора имеют вид:
– матрица перехода от ортонормированного базиса
где
2. В правом ортонормированном базисе
задан матрицей компонент:
.
Найти вектор
,, ccc=c
321
, если
.
Р е ш е н и е
В силу свойств символа Кронекера, верно соотношение
, следовательно,
.
Теперь, находя значения компонент тензора
лам, аналогичным (1.40), последовательно получаем:
к базису
тензор
по форму-
.
ричной матрицы
Таким образом,
3. Найти координаты вектора
,
;
;
.
. Заметим, что для симмет-
.
, если
.