Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
51
Р е ш е н и е
4
2332
11
=−=ε= bababac
kj
kj
5
3113
22
−=−=ε= bababac
kj
kj
2
1221
33
=−=ε= bababac
kj
kj
( )
2,5,4 −=c
nii
n
iii
n
iii
iii
n
n
n
...
...21
...
...21
...
...
21
21
21
21
, δ=εδ=ε
n
n
iii
iii
...
...
21
21
ε=ε
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
aaa
aaa
aaa
a
i
k
=
321
321 kji
kjikji
kji
i
k
aaaaaaa ε=ε=
Аналогично предыдущему упражнению, находим:
;
;
.
Таким образом,
.
4. Доказать, что компоненты дискриминантного тензора
можно определить формулами:
Примечание.
Определение обобщённых символов Кронекера см. в разделе 1.1.
5. Доказать, что
6. Доказать, что определитель 3-го порядка
можно записать в виде
. (1.47)
7. Используя формулу (1.47), вывести основные свойства оп-
ределителя 3-го порядка.
52
n
( )
yx,
( )
yx,
( )
0, ≥xx
( )
0, =xx
0
=x
n
L
),( yxg
n
M
i
e
),( yxg
( )
( )
jiji
ji
ji
ggyxgg eeyx
,,, == где
( )
ij
g
i
e
i
e
( )
njig
j
i
j
i
,,2,1,,,
=δ=ee
x
i
e
i
e
i
ii
i
xx eex
==
i
x
i
x
1.7. Некоторые приложения тензорного исчисления
Приведём несколько примеров использования тензоров в
геометрии, физике, механике.
1.7.1. Понятие о псевдоевклидовом пространстве. В
подразделе 1.4 мы определили евклидово пространство как действительное
лярное произведение
вами:
-мерное линейное пространство, в котором введено ска-
, обладающее двумя основными свойст-
1)
является симметричной билинейной функцией;
2)
Введём теперь в пространстве
ведения так называемую метрическую функцию
; при этом
, только если
.
вместо скалярного произ-
– произ-
вольную невырожденную симметричную билинейную функцию, для
которой выполнение свойства 2) скалярного произведения не предполагается. Евклидово пространство, в котором задана метрическая
функция, называется пространством с квадратичной метрикой или
псевдоевклидовым пространством
В произвольном базисе
.
метрической функции
со-
ответствует симметричная билинейная форма:
Поскольку матрица
невырождена, базису
вует единственный взаимный базис
, связанный с данным базисом
. (1.48)
соответст-
равенствами
Каждый вектор
можно разложить по базисам
. (1.49)
и
, т. е.
. Как и в евклидовом пространстве, вектор имеет кон-
травариантные координаты
и ковариантные координаты
.
Метрической функции соответствуют два метрических тензора с
53
компонентами
( )
jiji
gg ee,=
( )
jiji
gg ee,=
n
M
x
( )
ji
ji
xxgs =x
2
x
x
( )
( )
( )
||sgn)(
22
xxx
ss=σ
n
M
n
M
( )
ji
g
0),( ≥=
ji
ji
xxgg xx
( )
0
== xxx
если только0,g
ji
ji
xxgg =),( xx
и
, имеющие, соответствен-
но, тип (2, 0) и (0, 2). Иногда по аналогии с векторами говорят, что
имеется метрический или фундаментальный тензор пространства,
имеющий ковариантные и контравариантные компоненты.
В пространстве
можно ввести своеобразную метрику,
если по аналогии с формулами евклидова пространства определить
квадрат длины s
2
вектора
формулой
. (1.50)
Очевидно, что в общем случае величина, определённая соотношением (1.50), может иметь любой знак или обращаться в нуль в
зависимости от вектора
. Можно определить длину вектора
так,
чтобы она была действительным числом, не обязательно положи-
.
Таким образом, в пространстве
имеются векторы с по-
ложительной, отрицательной и нулевой длиной. Такое пространство
имеет совершенно другие свойства, чем евклидово пространства, с
чем и связано его название. Псевдоевклидово пространство применяется в специальной теории относительности и при построении так
называемых неевклидовых пространств.
В заключение рассмотрим вопрос, при каких условиях метрический тензор пространства
с матрицей
задаёт евклидово
пространство. Из определения евклидова пространства следует, что
должно выполняться свойство, аналогичное свойству 2 скалярного
произведения:
, при этом
.
Таким образом, квадратичная форма
на быть положительно определённой, а для этого, в силу критерия
долж-
54
( )
ji
g
3
L
{ }
ji
g
=
520
221
011
g
1
520
221
011
,1
21
11
,1
321
==∆==∆=∆
,V
ω
OM=r
rv
×ω=
{ }
ji
JJ =
( )
∫∫∫
δδ−δδ=
V
lkljkilkjiji
dmxxJ
dVdm γ=
Сильвестра, все угловые миноры матрицы
жительными [10, с. 86].
П р и м е р 1.9. В пространстве
зор
евклидово пространство.
ла
мгновенная ось вращения тела, т.е. в каждый момент времени дви-
жение тела можно рассматривать как вращение вокруг некоторой
с матрицей
.
Проверить, задаёт ли этот тензор евклидово пространство.
Р е ш е н и е
Вычислим угловые миноры матрицы g:
Поскольку все угловые миноры положительны, тензор задаёт
1.7.2. Тензор инерции. Рассмотрим движение твёрдого те-
закреплённого в точке О. По теореме Эйлера существует
должны быть поло-
задан метрический тен-
.
оси, проходящей через точку О, с угловой скоростью
мгновенная скорость точки М с радиусом-вектором
ляет
Для описания движения этого тела полезным оказывается так
называемый тензор инерции (или тензор момента инерции)
Здесь
γ – плотность тела;
, где
.
. (1.51)
;
; при этом
состав-
55
;3,2,1, =lk
zxyxxx ===
321
,,
; суммирование производит-
lk,
( )
( )
;)(
222
3
2
2
111111
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
+=+=
=δδ−δδ=
VV
V
lklklk
dmzydmxx
dmxxJ
( ) ( )
∫∫∫∫∫∫
+=+=
VV
dmyxJdmzxJ
22
33
22
22
,
.,
,
13312332
1221
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
−==−==
−==
V V
V
dmzxJJdmyzJJ
dmxyJJ
332211
,, JJJ
233121
,, JJJ
jiji
JT ωω=
2
1
ji,
33221
eeep
1
ppp ++=
jiji
ppJJ =
ji,
M
p
ся по индексам
.
Выражение компонент тензора можно преобразовать к более
простому виду:
.
Рекомендуется проверить самостоятельно, что
Из полученных формул видно, что тензор инерции – симметричный. Компоненты
представляют собой моменты
инерции тела относительно соответствующих осей координат, а
компоненты
– центробежные моменты инерции.
Тензор инерции широко используется в механике твёрдого
тела. Например, можно показать, что кинетическая энергия тела может быть вычислена по формуле
(суммирование по
).
Момент инерции тела относительно любой оси, определяемой единичным вектором
точку О, находится по формуле
и проходящей через
(суммирование по
Подробнее о свойствах и применении тензора инерции можно прочитать в литературе [1] , [5].
1.7.3. Тензор напряжений. Характеризует напряжённое
состояние среды в точке. Рассмотрим в точке
которого тела напряжение
(сила, действующая на тело и отне-
на поверхности не-
сённая к единице площади его поверхности). Напряжение, дейст-
).
56
n
( )
npσ=
( )
nσ
n
p
n
ii
enep
ii
np == ,
kkii
np σ=
( )
ki
σ
M
321
,, eee
321
AAMA
321
,, AAA
321
AAA
M
32
AMA
1
e
1
n
( )
11
ef
σ=
( ) ( )
111
fen
−=σ−=σ
1
S∆−1f
213
AMAAMA
1
и
32
eeи
3322
SS ∆−∆− ff
и
( ) ( )
33
, efef
22
σ−=σ−=
32
SS ∆∆ и
321
AAA
n
S∆p
( )
npσ=
вующее на элемент поверхности в точке M, зависит от ориентации
этого элемента, т.е. от направления единичного вектора нормали
:
Ниже показано, что функция
функцией аргумента
(т.е. линейным преобразованием, см. подраз-
дел 1.1). Разложим векторы
и
по базису
является линейной вектор-
:
e
i
(суммирование по i).
Можно показать, что имеет место соотношение:
(суммирование по k),
где
– матрица линейного преобразования.
В силу важности этого соотношения, приведём его вывод.
Рассмотрим ортогональную систему координат с началом в произвольной точке тела
малый тетраэдр
ответствующих осях и плоскость
тела в точке
. На элемент тела, расположенный внутри тетраэдра,
и базисными векторами
, где точки
параллельна поверхности
. Построим
расположены на со-
действуют следующие силы.
1. Объёмная сила составляет
, где V∆– объём тетраэдра.
V∆f
2. На каждую из четырёх граней тетраэдра действует сила,
пропорциональная соответствующему напряжению. Вычислим на-
пряжение, действующее на грань
, перпендикулярную векто-
ру
. Пусть
Обозначим
– единичный вектор внешней нормали к этой грани.
; тогда искомое напряжение составит
, а сила, действующая на эту грань,
равна
, где
– площадь этой грани. Аналогично, силы,
S∆
1
действующие на грани
, будут равны, соответственно,
, а
действующая на наклонную грань
, составляет
, где
, перпендикулярные векторам
, где
– площади этих граней. Сила,
с нормальным вектором
, а S∆– площадь треугольника
57
321
AAA
. Так как рассматриваемый элемент тела находится в статиче-
0
33221
=∆+∆−∆−∆−∆ SSSSV pffff
1
33221
SSSS ∆+∆+∆=∆ fffp
1
S∆
ii
i
n
S
S
=α=
∆
∆
cos
33221
nnn fffp
1
++=
i
e
p
ijij
ef
σ=
kkii
np σ=
ki
σ
{ }
ki
σ
ikki
σ=σ
332211
,, σσσ
ii
σ
313212
,, σσσ
ском равновесии, имеет место равенство
.
Первым слагаемым суммы можно пренебречь, так как оно
является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем
остальные слагаемые. Таким образом, приходим к соотношению
.
Разделив обе части этого равенства на
и учитывая, что
,
получим:
.
Использовав разложение по базису
векторов
и
, окончательно получаем
.
Совокупность девяти величин
ранга – тензор напряжений
симметричен, т.е.
.
Компоненты
. Можно показать, что этот тензор
тензора напряжений называются
образуют тензор 2-го
нормальными компонентами, так как определяемые ими состав-
ляющие векторов
действуют вдоль соответствующих осей, т.е.
f
i
перпендикулярно соответствующим координатным плоскостям. Положительное значение компоненты
характеризует растяжение,
а отрицательное – сжатие тела вдоль i-ой оси. Компоненты
называются сдвиговыми компонентами, так как опре-
деляемые ими составляющие векторов
действуют параллельно
f
i
соответствующим координатным плоскостям.
58
σ
σ
σ
3
2
1
00
00
00
321
,, σσσ
σ
σ
3
2
00
00
000
σ=σ=σ=σ
321
kiki
pδ−=σ
p
Тензор напряжений, как и всякий симметричный тензор, мо-
жет быть приведен к диагональному виду
.
При этом нормальные компоненты
, совпадающие
с главными значениями тензора напряжений, называются главными
напряжениями.
Отметим важные частные случаи напряжений.
1. Линейное напряжённое состояние (одноосное напряже-
ние) характеризуется матрицами компонент вида
σ
00
1
000
000
, или
000
σ
00
2
000
, или
000
.
000
σ
00
3
В качестве примера можно рассмотреть длинный однород-
ный вертикальный стержень, к концу которого подвешен груз.
2. Плоское напряжённое состояние (двуосное напряжение)
характеризуется матрицами компонент вида
σ
1
00
σ
, или
00
2
000
, или
σ
1
00
.
000
σ
00
3
3. Объёмное напряжённое состояние (трёхосное напряже-
ние) – наиболее общий случай с тремя отличными от нуля главными
напряжениями. В частном случае, когда
, тензор на-
пряжения является шаровым (см. подраздел 1.5). В качестве примера
можно привести гидростатическое сжатие, при котором
,
– давление жидкости.
где
59
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
t
a
a
t
( )
taa=
( )
taa=
( )
t
r
( ) ( ) ( ) ( )
kjirr
tztytxt ++==
t
( )
tr
( )
tr
( )
( ) ( )
tztytx ,),(
( )
trr=
(ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ)
2.1. Векторная функция скалярного аргумента
2.1.1. Векторная функция и её геометрический
смысл. Пусть каждому значению переменной
делённый вектор
функция скалярного аргумента
Введём в пространстве прямоугольную декартову систему коор-
динат (п. д. с. к.). Заменив в п. д. с. к. каждый вектор
ему радиусом-вектором
. Тогда говорят, что вектор
.
, запишем векторную функцию в виде
соответствует опре-
есть векторная
равным
гумента равносильно заданию трёх скалярных функций этого аргумента. При изменении переменной
вектора
ваемую годографом векторной функции
скими уравнениями
(2.1), получаем векторное уравнение пространственной линии
. (2.1)
Таким образом, задание векторной функции скалярного ар-
в некотором промежутке конец
опишет некоторую пространственную кривую, назы-
.
Обратно, пусть кривая в пространстве задана параметриче-
=
txx
( )
. (2.2)
tyy
( )
tzz
в векторную функцию
. (2.3)
Подставляя функции
=
=
60
XOY
( ) ( )
jirjir
tattatbta cos1sin;sincos −+−=+=
OZ
.a
=
=
=
ctz
tay
tax
sin
cos
kjir
cttata ++= sincos
0
tt =
t∆
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
kjirrr
00000
tztytxttt ∆+∆+∆=−∆+=∆
( ) ( ) ( )
222
000
tztytx ∆+∆+∆=∆r
( )
tr
0
tt =
0lim0=∆→∆r
t
( ) ( ) ( )
tztytx ,,
П р и м е р 2.1. Векторные уравнения эллипса и циклоиды,
лежащих в плоскости
П р и м е р 2.1.1. Винтовой линией называется кривая, ко-
торую описывает точка, участвующая в двух движениях: равномерном вращении вокруг оси (например
вдоль этой оси. Примером служит винтовая нарезка на поверхности
цилиндра радиуса
имеют вид
а векторное уравнение –
2.1.2. Производная вектора по скалярному аргументу.
Выберем некоторое значение аргумента
щение
. Приращением векторной функции, соответствующим t∆,
называется вектор
, будут выглядеть так:
.
) и равномерном движении
Параметрические уравнения винтовой линии
,
.
и зададим ему прира-
.
Из последнего соотношения получаем:
. (2.4)
По аналогии со скалярными функциями векторную функцию
называют непрерывной в точке
, если
.
Формула (2.4) показывает, что для непрерывности векторной
функции в данной точке необходимо и достаточно, чтобы все три её
проекции на оси координат, т.е. функции
, были непре-
рывны в этой точке.