Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
131
откуда следует, что
i
e
321
,, eee
( )
321
,, uuuΦ=Φ
M
321
,, rrr
321
,, rrr
( )
3
3
2
2
1
1
du
u
du
u
du
u
d
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
=Φ
( )
j
i
j
i
δ=rr,
( )
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
dududu
uuu
d rrrrrr
++
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
=Φ
,rd
e
ρ
e
ϕ
e
z
2. Вычислить векторы
∂
1
=
=
=
r
H
ρ∂
1
∂
1
r
H
ϕ∂
2
∂
1
r
=
.
k
zH
∂
3
ϕ+ϕ=
;sincos
ji
ϕ+ϕ−=
;cossin
ji
локального базиса в сферической
системе координат.
3.3. Основные операции векторного
анализа в ортогональных
криволинейных координатах
3.3.1. Градиент скалярного поля. Пусть в пространстве с
правым ортонормированным локальным базисом
скалярная функция (скалярное поле)
способ вычисления градиента этой функции для произвольной криво-
линейной системы координат. Введём в рассматриваемой точке
для базиса
взаимный базис
(см. подраздел 1.4).
Вычислим полный дифференциал функции
задана
. Рассмотрим
321
:
,, uuuΦ=Φ
са
ного произведения двух векторов:
ставляет собой
. (3.19)
В силу основного соотношения для векторов взаимного бази-
, выражение (3.19) можно представить в виде скаляр-
Из (3.4) и (3.5) видно, что второй сомножитель в (3.20) пред-
следовательно
. (3.20)
132
3
3
2
2
1
1
grad rrr
u
uu ∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
=Φ
3
3
2
21
1
grad iii
xxx ∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
=Φ
321
,, eee
321
,, rrr
iii
H er=
( )
321
321
3
3
2
2
1321
323232
1
1
;
1
;
1
erere
ee
rrr
rr
r
HHHHHH
HH
===
×
=
×
=
3
3
3
2
2
2
1
1
1
111
grad eee
u
H
u
H
u
H
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
=Φ
i
i
a ea=
321
,, eee
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
3
3
2
2
1
1
1
;
1
;
1
u
H
u
H
u
H
. (3.21)
Подчеркнём ещё раз, что выражением (3.21) можно пользоваться в любой криволинейной системе координат, в частности
п. д. с. к. определение градиента имеет известный вид:
.
Рассмотрим теперь ортогональные криволинейные координаты. Найдём для ортонормированного базиса
имного базиса
подраздела 1.4. и учитывая, что
. Используя результат Упражнения 1 после
, получим:
векторы вза-
. (3.22)
Подставляя найденные векторы в (3.21), окончательно получим:
. (3.23)
Используя соответствующие значения коэффициентов Ламе,
можно получить выражение градиента в цилиндрической и сферической системах координат (см. Упр.1, 2 после настоящего подраздела).
3.3.2. Ротор векторного поля. Перейдём к вычислению в
ортогональных координатах ротора вектора
рованном базисе
вычисление градиента сводится к приме-
. В ортонорми-
нению символического оператора
Согласно результатам пункта 2.6.1.
.
133
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇=
321
3
3
2
2
1
1
321
111
rot
aaa
u
H
u
H
u
H
eee
aa
3
3
2
2
1
1
321
332211
321
1
aHaHaH
uuu
HHH
HHH
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
eee
i
i
a ea=
( )
∫∫
=
→
S
dSn,aa
V
1
limdiv
0v
a
S
n
M
3
33
2
22
1
11
,, duHdsduHdsduHds ===
1
e
M
1
e−
( )
32
32
1
3211
, duduHHadsds −=−=Π ae
.
Примеры на вычисление ротора в цилиндрических и сфери-
ческих координатах приведены после настоящего подраздела.
3.3.3. Дивергенция векторного поля. Для вычисления
дивергенции вектора
используем инвариантное определение
дивергенции:
Записанный здесь интеграл представляет собой поток вектора
через замкнутую поверхность
направлении внешней нормали
, содержащую внутри себя точку M, в
к поверхности (см. подраздел 2.5).
. (3.24)
Построим бесконечно малый криволинейный параллелепипед с
вершиной в точке
и с гранями, параллельными координатным поверхностям. Рёбра, параллелепипеда исходящие из этой точки, являются
отрезками координатных линий и имеют длину, соответственно,
.
точке
У грани, перпендикулярной вектору
, единичный вектор внешней нормали равен
и примыкающей к
, а поток
через эту грань составляет
.
134
1
e
1
u
1
e
( )
321
32
1
1
21
dududuHHa
u∂
∂
=Π+
Π
S
( )
( )
( )
( )
321
21
3
3
31
2
2
32
1
1
dududuHHa
u
HHa
u
HHa
u
S
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=Π a
( )
( )
( )
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
21
3
3
31
2
2
32
1
1
321
1
div HHa
u
HHa
u
HHa
u
HHH
a
i
i
a ea=
( )
321
,, uuuΦ
a=Φgrad
0rot
=a
Для противоположной грани единичный вектор внешней
нормали равен
, а поток через эту грань составляет, учитывая при-
ращение потока вдоль координатной линии
1
2
∂
1
+=Π
∂
( )
1
u
HHa
32
Поток через обе грани, перпендикулярные вектору
,
21
321
.
dududuHHa
, равен
.
Весь поток через замкнутую поверхность
параллелепипе-
да составляет
.
Учитывая формулу для элементарного объёма (3.18), из со-
отношения (3.24) окончательно получаем
. (3.25)
Выражение для дивергенции в цилиндрических и сфериче-
ских координатах (см. Упражнения 5,6 настоящего подраздела).
3.3.4. Нахождение потенциала векторного поля. Как
известно из подраздела 2.7, векторное поле
называется по-
тенциальным, если существует скалярная функция
потенциал поля, для которой выполняется соотношение
Условием потенциальности поля является равенство
Для нахождения потенциала поля записываем равенство (3.26), подставив в него выражение градиента в криволинейных
координатах (3.23), в виде
. (3.26)
.
, или
135
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
3
2
2
1
1
111
eeeeee
u
H
u
H
u
H
aaa
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
=++
.
( )
321
,, uuuΦ
=
∂
Φ∂
=
∂
Φ∂
=
∂
Φ∂
.
;
;
3
3
3
2
2
2
1
1
1
Ha
u
Ha
u
Ha
u
( )
Cuuu +Φ=Φ
321
,,
C
),,(
3
21
zuuu =ϕ=ρ=
321
,, a
z
aa =
∂
Φ∂
ρ=
∂ϕ
Φ∂
=
ρ∂
Φ∂
),,(
321
ϕ=θ== uuru
321
sin,, arraa
r
θ=
ϕ∂
Φ∂
=
θ∂
Φ∂
=
∂
Φ∂
z
z
eee
∂
Φ∂
+
ϕ∂Φ∂ρ
+
ρ∂
Φ∂
=Φ
ϕρ
1
grad
Отсюда, в силу единственности разложения вектора по бази-
су, получаем систему дифференциальных уравнений в частных про-
изводных для нахождения функции
:
Решая систему (3.27), находим потенциал поля в виде
– произвольная постоянная.
где
Приведём вид системы (3.27) для основных ортогональных
систем:
1) в цилиндрических координатах
2) в сферических координатах
(3.27)
,
; (3.28)
. (3.29)
У п р а ж н е н и я
1. Получить для градиента в цилиндрической системе коор-
динат выражение
. (3.30)
136
ϕθ
ϕ∂Φ∂θ
+
θ∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
=Φ eee
sin
11
grad
rrr
r
321
2
sin
sin
sin
1
rot
arara
r
rr
r
r
θ
ϕ∂
∂
θ∂
∂
∂
∂
θ
θ
=
ϕθ
eee
a
( )
z
aaa
∂
∂
+
ϕ∂∂ρ
+
ρ∂
ρ∂
ρ
=
321
11
diva
( )
ϕ∂∂θ
+
θ∂
θ∂
θ
+
∂
∂
=
3212
2
sin
1)(sin
sin
11
div
a
r
a
rr
ar
r
a
ϕ−ϕρ+ρ=Φ sincos2
2 z
e
2. Получить для градиента в сферической системе координат
выражение
3. Получить для ротора в цилиндрических координатах
выражение
4. Получить для ротора в сферических координатах выражение
5. Получить для дивергенции в цилиндрических координатах
выражение
rot
. (3.31)
11
eee
ϕρ
=
a
∂
∂
ϕ∂
ρ∂
ρ
z
ρρ
∂
. (3.32)
z
∂
321
aaa
. (3.33)
. (3.34)
6. Получить для дивергенции в сферических координатах
выражение
7. Найти градиенты скалярных полей, заданных в цилиндри-
ческих координатах:
. (3.35)
;
137
ρ
−ϕ+Φρ=Φ 3sincos
2
z
8. Найти градиенты скалярных полей, заданных в сфериче-
θ=Φ cos
2
r
( )
const=µ
θ
µ=Φ
2
cos
r
θ
θ
+
θ
= eea
33
sincos2
rr
r
0div =a
0≠r
0=r
θ
θ
+
θ
= eea
33
sincos2
rr
r
0rot
=a
( )
r
rf ea=
z
z
z
eeea
2
1
ln
sincos
arctg
+
ρ
+ϕ−
ϕ+
ρ
=
ϕρ
ских координатах:
1)
.
;
2)
.
9. Показать, что векторное поле
является соленоидальным.
Р е ш е н и е
Согласно определению соленоидального поля (подраз-
дел 2.7), необходимо показать, что
. Вычисление по форму-
ле (3.35) показывает, что это соотношение выполняется всюду, где
. Таким образом, поле соленоидально всюду, кроме точки
.
10. Показать, что векторное поле
является потенциальным.
У к а з а н и е. Необходимо убедиться, что
из Упражнения 9 отсюда будет следовать, что данное векторное поле является гар-
моническим (см. подраздел 2.7).
11. Показать, что векторное поле
. С учётом формулы
, где f– любая
дифференцируемая функция, является потенциальным.
12. Найти потенциал векторного поля
.
Р е ш е н и е
138
0rot
=a
0>ρ
),,( zϕρΦ=Φ
+
ρ
=
∂
Φ∂
ρ⋅ϕ−=
ϕ∂
Φ∂
ϕ+
ρ
=
ρ∂
Φ∂
.
1
ln
,sin
,cos
arctg
2
z
z
z
ρ
( )
zC ,coszarctgln ϕ+ϕρ+⋅ρ=Φ
ϕ∂
∂
+ϕ
ρ−=
ϕ∂
Φ∂ C
sin
ϕρ−=
ϕ∂
Φ∂
sin
0=
ϕ∂
∂C
( )
zCC
1
=
( )
zC
1
coszarctgln +ϕρ
+⋅ρ=Φ
( )
zC
z
z
′
+
+
ρ
=
∂
Φ∂
2
1
ln
( )
01=′zC
( )
== CzC
1
const
C+ϕρ+⋅ρ=Φ coszarctgln
z
eeea
+
ρ
+=
ϕρ
1
z
zeeea
+
ρ
ϕ
+ρ=
ϕρ
(при
Проверку потенциальности поля, т.е. соотношения
) предоставляем читателю выполнить самостоятельно.
Потенциал поля
является решением следующей сис-
темы дифференциальных уравнений:
Из первого уравнения интегрированием по
находим:
;
дифференцируя полученное соотношение по ϕ, получим
.
Так как
, то
, т. е.
. Таким образом,
.
Отсюда
.
получаем
циал поля
ских координатах, являются потенциальными, и найти их потенциалы:
Сравнивая последнее равенство и третье уравнение системы
, откуда
. Окончательно, потен-
.
13. Убедиться в том, что векторные поля, заданные в цилиндриче-
1)
2)
;
.
139
14. Убедиться в том, что векторные поля, заданные в сферических
θ
+θ= eea
r
θϕ
+
θ
+= eeea
rr
r
r
1
sin
1
2
( )
Φ=Φ∆ graddiv
.
1
3
3
21
32
2
31
2
1
1
32
1
321
∂
Φ∂
∂
∂
+
∂
Φ∂
∂
∂
+
+
∂
Φ∂
∂
∂
=Φ∆
u
H
HH
uu
H
HH
u
u
H
HH
u
HHH
.
sin
1
sin
sin
1
1
2
2
222
2
2
ϕ∂Φ∂θ
+
θ∂
Φ∂
θ
θ∂
∂
θ
+
+
∂
Φ∂
∂
∂
=Φ∆
rr
r
r
r
r
координатах, являются потенциальными, и найти их потенциалы:
1)
;
2)
.
3.4. Оператор Лапласа в
ортогональных системах координат
Согласно определению (см. подраздел 2.6),
.
Подставив формулы (3.23) и (3.25) для нахождения градиента
и дивергенции в ортогональных координатах, в последнее соотношение получаем:
Из формулы (3.36) нетрудно вывести соответствующие выражения для оператора Лапласа:
(3.36)
– в цилиндрических координатах –
Φ∂
=Φ∆
ρ
ρ∂
ρ∂∂ρ
2
11
+
2
ϕ∂
ρ
2
Φ∂
Φ∂
+
2
; (3.37)
2
z∂
– в сферических координатах –
(3.38)
140 141