Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
11
i
e
′
( )
( )
( )
i
ii
ii
xafxxff
′′
=
′′
=
′′
= ee
i
x
где
( )
( )
( )
jji
j
i
j
ii
apfppffa ===
′
=
′
jji
eee
i
a
321
321
iii
jjj
δ
3=n
( ) ( )
3,2,2,1
21
== ee
−
=
11
11
P
′′
21
, ee
P
( ) ( )
5,3;1,1
212121
=+=
′
=−=
′
eeeeee
( ) ( )
3,2,2,1
21
== ee
( ) ( )
1,1,7,4
21
=
′
=
′
ee
P
+=
′
+=
′
.
2221122
2211111
eee
eee
pp
pp
В новом базисе
имеем:
,
,
т.е. при переходе к новому базису коэффициенты
линейной фор-
мы преобразуются по следующему закону:
′
apa =
. (1.24)
jjii
У п р а ж н е н и я
1. Вывести формулу (1.11) из формулы (1.5), используя соот-
ношение (1.12).
2. Вычислить все значения
для
3. Задан старый базис:
рехода к новому базису
. Найти новый базис
Р е ш е н и е
Столбцы матрицы
представляют собой координаты новых
базисных векторов относительно старого базиса. Поэтому
4. Задан старый базис
зис
. Найти матрицу перехода P.
Р е ш е н и е
Элементы матрицы
образуют систему:
.
и матрица пе-
.
и новый ба-
.
ченные системы, находим
Подставляя координаты базисных векторов и решая полу-
12
−
=
11
12
P
1T −
′
= EE
P
( ) ( ) ( )
0,2,1,3,0,2,1,1,1
321
=== eee
( ) ( ) ( )
3,2,3,1,3,2,4,1,3
321
=
′
=
′
=
′
eee
P
=
43
21
A
A
′
=
130
504
321
A
A
′
Матрицу перехода можно найти иначе, из матричного соотношения (1.7), откуда следует, что
.
.
5. Заданы старый базис
и новый базис
перехода
.
6. В старом базисе (см. выше, упражнение 4) задана матрица
линейного преобразования
Найти матрицу
7. В старом базисе (см. выше, упражнение 5) задана матрица
линейного преобразования
Найти матрицу
1.2.1. Определение тензора. В предыдущем параграфе
были изучены некоторые объекты (векторы, линейные преобразования, линейные формы), которые в каждом базисе характеризуются
определённым набором чисел, зависящим от выбранного базиса.
Обобщая рассмотренные примеры, приходим к основному понятию
– понятию тензора.
О п р е д е л е н и е. Тензором называется геометрический
объект, который может быть определён независимо от базиса, но в
каждом базисе характеризуется упорядоченным набором чисел –
компонент. При переходе к другому базису новые компоненты яв-
.
линейного преобразования в новом базисе.
линейного преобразования в новом базисе.
1.2. Понятие тензора
. Найти матрицу
13
ляются линейными однородными многочленами старых компонент.
jiiji
cba ,,
i
e
{ }
{ }
{ }
ji
i
ji
cba ,,
i
e
′
{ }
{ }
{ }
ji
i
ji
cba
′′′
, ,
i
e
i
e
′
x
1−
P
{ }
q
p
iii
jjj
aA
...
...
21
21
=
( )
qp +
n
L
qp +
qp
n
+
{ }
i
j
a
kllji
k
i
j
apqa =
′
lk и
{ }
21
ii
j
a
mkll
jimik
ii
j
apqqa
2121
=
′
Основная идея тензорного исчисления состоит в том, чтобы рассмат-
ривать один и тот же объект в разных базисах (и изучать, как изменяются его характеристики при изменении базиса).
Компоненты тензора упорядочивают, нумеруя их нескольки-
ми индексами, которые могут быть верхними или нижними. Напри-
мер,
и т. д. Для тензора в базисе
используем обозначе-
ния
Нижние индексы называются ковариантными
контравариантными
подобно тому, как преобразуются векторы базиса
новому базису
. . . , а в базисе
2
. По нижним индексам тензор преобразуется
– соответственно
. . . .
1
, верхние –
при переходе к
(см. (1.5)), т. е. с помощью матрицы перехода P, а
по верхним – подобно тому, как преобразуются координаты вектора
, т.е. с помощью матрицы
зывается тензором типа
странстве
валентности
каждый индекс изменяется от 1 до ;n поэтому тензор
имеет
Пример 1.2. Тензор
(см.(1.15)). Тензор
, валентности (ранга)
qp,
компонент.
является тензором типа (1, 1). При
на-
. В про-
переходе к новому базису его компоненты преобразуются по формуле
Пример 1.3. Тензор
. Индексы
являются немыми.
является тензором типа (1, 2). За-
кон изменения его компонент следующий:
.
1.2.2. Примеры тензоров.
1. С к а л я р, т.е. величину,
имеющую во всех базисах одно и то же значение, можно рассматривать как тензор валентности 0. Тензор, все компоненты которого
равны 0 (в любой системе координат), называется нуль-тензором
(нуль-тензор может быть любого типа).
1
Ковариантный – согласованно изменяющийся.
2
Контравариантный – противоположно изменяющийся.
14
i
e
{ }
i
j
δ
i
j
δ
k
j
kmm
j
pp =δ
km =
i
e
′
kmmji
k
kji
k
i
j
i
j
pqpq δ==δ=δ
′
i
j
δ
I
( )
n
xxx ,...,,
21
=x
ji
j
i
xqx =
′
n
L
( )
i
j
a
mjkmi
k
i
j
paqa =
′
n
L
I
( )
xf
i
e
( )
ii
fa e
=
i
e
′
ijii
apa =
′
{ }
i
a
2. Рассмотрим в некотором базисе
вол Кронекера не зависит от базиса, т.е. является инвариантом. Из
свойств величины
следует, что
суммы отлично от нуля только то слагаемое, для которого индекс суммирования
. Поэтому для базиса
набор величин
. Сим-
, т.е. из всех слагаемых
имеет место соотношение
;
из которого видно, что величины
этом компоненты этого тензора составляют единичную матрицу
3. В е к т о р
образуют тензор типа (1,1). При
.
образует контравариантный
тензор типа (0,1), что следует из формулы (1.15) преобразования ко-
ординат вектора при переходе к новому базису:
.
4. Л и н е й н о е п р е о б р а з о в а н и е А пространства
является тензором типа (1,1), так как матрица
линейного преоб-
разования при переходе к новому базису изменяется согласно соотношению (1.21):
.
Отметим, что тождественному преобразованию, переводя-
щему каждый вектор пространства
единичной матрицей
, рассмотренный в примере 2 настоящего
в себя, соответствует тензор с
пункта.
5. Л и н е й н а я ф у н к ц и я
набором коэффициентов
деле 1.1, при переходе к базису
выполняется соотношение
характеризуется в базисе
. Как было показано в подраз-
Это означает, что
вариантным тензором.
.
является тензором типа (1,0), т.е. ко-
15
6. Б и л и н е й н а я ф у н к ц и я – функция
( )
yx,f
x
y
i
e
j
j
i
i
yx ee
== yx ,
( )
( )
( )
ji
jiji
ji
j
ji
yxafyxyxff === eeyx
,,, ee
i
( )
jji
fa ee
i
,=
i
e
( )
yx,f
ji
ji
yxa
x
y
i
e
′
( )
yx,f
ji
ji
yxa
′′′
( )
( )
kmmjkimmjkkijiji
appppffa ==
′′
=
′
eeee
,,
( )
i
e
kji
kji
zyxa
( )
m
m
i
m
ii
iii
xxxa ...
21
21
21...
{ }
{ }
i
kki
aa или
nnnn
n
n
aaa
aa
a
aaa
21
22221
11211
по каждому аргументу. Разложим векторы
и
, линейная
по базису
:
где
описывается билинейной формой
гочленом второй степени от координат векторов
В новом базисе
где
. В силу определения билинейной функции,
, (1.25)
. Таким образом, в базисе
билинейная функция
(однородным мно-
и
=
,
, (1.26)
).
откуда следует, что коэффициенты билинейной формы являются
компонентами тензора типа (2,0).
7. Аналогично можно рассмотреть т р и л и н е й н у ю ф у н к
ц и ю
щую ей в базисе
п о л и л и н е й н у ю ф у н к ц и ю
щую ей полилинейную форму
, линейную по каждому аргументу, и соответствую-
zyx
,,f
трилинейную форму
f xxx
21
,...,,
m
, а также
и соответствую-
.
1.2.3. Запись компонент тензора. Для упорядочения
компонент тензора принято нумеровать по порядку сначала верхние,
затем нижние индексы,
У двухвалентного тензора первым индексом является номер
строки, вторым – номер столбца. Например, компоненты тензоров
в виде матрицы записывают так:
разуют пространственную матрицу. Например, если валентность
Если валентность тензора больше двух, его компоненты об-
1
или
2
1
2
2
1
nn
21
11
aaa
n
22
aaa
n
.
n
aaa
n
16
{ }
ji
k
a
ji,
k
2=n
22221
2
12211
2
22121
1
12111
1
aa
aa
aa
aa
{ }
i
kj
a
2=n
2222
12
1221
12
2212
11
1211
11
aa
aa
aa
aa
( )
qp,
{ }
2=n
( )
0,n
( ) ( )
zyx
γβα ,),(
( ) ( ) ( ) ( )
zyxzyx
γβα=,,f
тензора равна трём, его компоненты можно расположить в виде параллелепипеда, рёбра которого параллельны координатным осям.
Зафиксировав значение третьего индекса, получим плоский слой, который представляет собой матрицу. Совокупность таких матриц
можно расположить в виде блочной матрицы. Например, у тензора
индексы
– номер блока. При размерности пространства
тензора образуют матрицу:
означают номер строки и столбца, а индекс
компоненты
.
Аналогично, компоненты тензора
при
можно рас-
положить в виде матрицы
.
В случае четырёхвалентного тензора первые два индекса означают номер строки и столбца, а последние два – номер строки
блока и столбца блока, соответственно.
У п р а ж н е н и я
1. Записать формулы преобразования компонент тензоров
типа (2, 0), (2, 1), (2, 2), а также типа
2. Записать формулы преобразования компонент тензоров
типа (1, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 3), (3, 1).
3. Записать формулу преобразования каждой компоненты
тензора
для
aA =
kj
.
i
4. Покажите, что коэффициенты трилинейной формы обра-
зуют тензор типа (3, 0), коэффициенты полилинейной формы – тензор типа
5. Пусть
.
– линейные функции. Доказать, что
функция
.
17
является трилинейной функцией, и следовательно, порождает тензор
m
( ) ( ) ( )
mn
xxx
ϕϕϕ ,...,,
2211
{ }
kji
l
a
2=n
{ }
i
j
aA =
( )
kji
k
ljkli
k
kllji
k
i
j
cqpaqapqa ===
′
ljk
l
k
j
pac =
APPA
1−
=
′
{ }
ji
aA =
APPA
T
=
′
{ }
ji
a
A =
T
QAQA =
′
1PQ−
=
21
,ee
−
=
31
13
P
{ }
i
j
aA =
=
43
21
A
типа (3, 0). Вывести и доказать аналогичное утверждение для произведения
линейных функций
.
6. Расположить в виде блочной матрицы компоненты тензо-
ра
при
.
7. Записать закон преобразования компонент тензора
в матричном виде.
Р е ш е н и е
Данный тензор типа (1, 1); поэтому при переходе к новому
базису его компоненты преобразуются по формулам
,
где
следует, что
понент, описанный в матричном виде формулой
– элемент матрицы AP. Из последнего соотношения
.
8. Вывести для тензора
9. Вывести для тензора
закон преобразования ком-
закон преобразования ком-
.
понент, описанный в матричном виде формулой
где
.
10. Заданы старый базис
и матрица перехода к новому
базису
.
Тензор
имеет в старом базисе матрицу компонент
.
Найти матрицу компонент тензора А в новом базисе двумя способами: по формулам преобразования компонент тензора и используя закон преобразования компонент тензора в матричном виде.
,
18
21
,ee
−
=
31
13
P
{ }
ji
aA =
=
43
21
A
21
,ee
−
=
31
13
P
{ }
`
ji
aA =
=
43
21
A
kejeie
===
32
,,
1
keieje
1
=
′
=
′
=
′
32
,,
{ }
i
j
aA =
=
102
210
321
A
A
′
2
3
1
2
и aa
′′
базису
11. Заданы старый базис
и матрица перехода к новому
.
Тензор
имеет в старом базисе матрицу компонент
.
Найти матрицу компонент тензора А в новом базисе двумя способами: по формулам преобразования компонент тензора и используя закон преобразования компонент тензора в матричном виде.
12. Заданы старый базис
и матрица перехода к новому
базису
.
Тензор
имеет в старом базисе матрицу компонент
.
Найти матрицу компонент тензора А в новом базисе двумя способами: по формулам преобразования компонент тензора и используя закон преобразования компонент тензора в матричном виде.
13. Заданы старый базис
и новый базис
компонент
Записать матрицу
. Тензор
имеет в старом базисе матрицу
.
в матричной форме. Найти компоненты
, используя формулы преобразования компонент.
19
14. Даны старый базис
32
,, eee
1
=
011
101
110
P
}{jiaA =
=
132
310
201
A
A
′
2312
и aa
′′
21
e,e
−−
−
=
23
878715
A
21
,ee
{ }
{ }
i
kj
bB =
BA =
i
k
j
i
kj
ba =
kji ,,
и матрица перехода
.
Тензор
имеет в старом базисе матрицу компонент
.
Записать матрицу
в матричной форме. Найти компоненты
, используя формулы преобразования компонент.
15. Тензор
ji
имеет в некотором базисе
}{
aA =
k
матрицу
компонент
.
Задана матрица перехода к базису
=
P
−−
21
.
32
Записать формулы преобразования компонент тензора. Вычис-
11
′
лить
.
a
1
1.3.Основные свойства тензоров. Операции над тензорами
1.3.1. Линейные операции над тензорами.
1. Два тензора называются равными, если они одинакового
строения и у них совпадают все соответствующие компоненты. На-
i
aA =
пример, для тензоров
чает, что
и
kj
при всех значениях индексов
соотношение
.
озна-
20
{ }
i
kj
cC =
BAC +=
i
kj
i
kj
i
kj
bac +=
( )
qp,
1
qp
n
+
ji
ji
yxa
ijji
aa =
{ }
ji
a
)(
ijji
aa −=
2. Суммой двух тензоров одинакового строения называется
тензор того же строения, каждая компонента которого равна сумме
соответствующих компонент слагаемых. Например, для тензоров из
предыдущего примера и тензора
равенство
чает, что
.
Корректность этого определения легко проверить, учитывая,
как изменяются компоненты каждого слагаемого и суммы при переходе к новому базису.
3. При умножении тензора на число каждая его компонента
умножается на это число, следовательно, получается тензор такого
же строения. Линейная комбинация тензоров одинакового строения
представляет собой тензор такого же строения. В частности, разность двух тензоров одинакового строения представляет собой тен-
зор, где каждая компонента есть разность соответствующих компонент исходных тензоров.
С л е д с т в и е. Множество тензоров типа
линейное пространство . Если каждый индекс изменяется в преде-
озна-
образует
лах от
до n, пространство имеет размерность
.
1.3.2. Симметричные и антисимметричные тензоры.
Тензор называется симметричным по двум индексам (оба индекса
верхние или оба нижние), если значение каждой его компоненты в
данном базисе не меняется при перестановке этих индексов. Понятно,
что это свойство сохраняется и при переходе к любому другому базису. Например, коэффициенты симметричной билинейной формы
(т.е.
) образуют симметричный тензор
типа (2, 0).
Тензор называется антисимметричным (кососимметрич-
ным) по двум индексам, если при перестановке этих индексов он ме-
няет свой знак, не меняясь по абсолютной величине. Понятно, что
это свойство должно выполняться в каждом базисе. Например, коэффициенты кососимметричной билинейной формы
разуют антисимметричный тензор типа (2, 0).
Для тензоров типа (2, 0) или (0, 2) достаточно говорить просто
о симметричности или антисимметричности, не указывая индексы.
об-