Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
91
П р и м е р 2.12. Найти векторную линию поля
( )
0,0,1
0
M
ydyxdx −=
222
aCyx ==+
t
( ) ( )
tytx и
( ) ( )
tatytatx
sin,cos ==
1
, Cbtzdt
x
dy
b
dz
+===
1,0 == at
o
01=C
kjia
RQP ++=
,
kjia
bxy ++−=
проходящую через точку
Р е ш е н и е
Уравнения (2.41) принимают вид:
Из первой пропорции получаем уравнение с разделяющими
переменными
решение которого имеет вид
Вводя параметр
, запишем искомые функции
откуда следует, что
−
dx
dz
dy
x
y
.
==
b
,
.
:
,
.
ется винтовой и описывается системой уравнений:
векторное поле
Подставляя координаты заданной точки, находим, что
,
. Таким образом, искомая векторная линия явля-
=
,cos
tx
=
,sin
ty
=
.
btz
2.5.2. Поток вектора через поверхность. Пусть задано
,
92
( ) ( ) ( )
zyxRzyxQzyxP ,,,,,,,,
G
( )
Ma
n
( ) ( )
∫∫∫∫
σ=σ⋅=Π
S
n
S
S
dadnaa
n
( )
∫∫
++=Π
S
S
dxdyRdzdxQdydzPa
a
σd
n
( )
na⋅σ=σ= dhddV
( ) ( )
ana
S
S
d Π=σ⋅
∫∫
.S
S
n
( )
0>Π a
S
( )
0<Π a
S
( )
где функции
области
ная поверхность.
лении вектора
. Пусть S – гладкая или кусочно-гладкая ориентирован-
Потоком векторного поля
непрерывны в некоторой
через поверхность S в направ-
называется следующий поверхностный интеграл:
где
– единичный вектор нормали к поверхности, определяющий
выбранную сторону.
Учитывая соотношение (2.38), можем представить поток век-
тора с помощью интеграла по координатам:
Отметим механический смысл понятия потока вектора.
Пусть векторное поле
единицу времени через элементарную площадь
вектора
а через всю поверхность S –
собой количество жидкости, протекающей за единицу времени через
поверхность
внешней нормали, мы имеем поток изнутри поверхности; при этом
протекает количество жидкости
Таким образом, в этом случае поток вектора представляет
Если
– если
ченной поверхностью S;
– если
– при
жидкости.
– замкнутая поверхность и
S
– поле скоростей движущейся жидкости. За
– жидкость вытекает из области, ограни-
– жидкость втекает в область;
имеем баланс втекающей и вытекающей
0=Π a
, (2.42)
. (2.43)
в направлении
,
.
– единичный вектор
93
Исходя из определения потока векторного поля с помощью
( ) ( )
aa
−+
Π−=Π
SS
( )
( )
( )
baba
SSS
Πβ+Πα=β+αΠ
S
m
SSS ,,,
21
( ) ( )
∑
=
Π=Π
m
k
SS
k
1
aa
( )
ra
rf=
( )
0,,
2222
=−++≡ RzyxzyxF
RRF
F rr
n
===
2
2
grad
grad
S
( ) ( )
RRf
R
Rf ==
2
r
na
( ) ( ) ( ) ( )
поверхностных интегралов по формулам (2.42) и (2.43), можно вывести основные свойства потока.
1. Поток меняет знак на обратный с изменением ориентации
поверхности (ибо меняется направление нормали к поверхности):
.
2. Свойство линейности:
.
3. Свойство аддитивности: если поверхность
нескольких частей
, то
состоит из
.
П р и м е р 2.13. Вычислить поток векторного поля
через сферу радиуса R с центром в начале координат.
Р е ш е н и е
Записав уравнение сферы в виде
,
находим единичный вектор внешней нормали в произвольной точке
сферы:
.
На заданной поверхности
(т.е. на сфере)
.
Теперь по формуле (2.42) вычисляем поток векторного поля:
S
3
π=σ=σ=Π
∫∫∫∫
SS
4a
.
RfRdRRfdRRf
94
( ) ( ) ( )
ABC
( ) ( ) ( )
1,0,0,0,1,0,0,0,1 CBA
ABC
1=++ zyx
yxz −−= 1
ABC
OXY
D
0=x
1,0 =+= yxy
( )
01,, =−++≡ zyxzyxF
S
:ABC
3
grad
grad kji
n
++
==
F
F
dxdy
dxdy
d 3
cos
,
3
1
cos =
γ
=σ=γ
( ) ( ) ( )
3
47
3
1
5
3
1
3
3
1
2
zyx
yxzyxzx
−+
=+++++−=na
S
3
158 −+=yx
na
( ) ( ) ( ) ( )
3
5
158158
101
0
=−+=−+=σ⋅=Π
∫∫∫∫∫∫
− x
DS
S
dyyxdxdxdyyxdnaa
M
V
П р и м е р 2.14. Найти поток векторного поля, заданного
уравнением
,
kjia
yxzyxzx +++++−= 532
через верхнюю сторону треугольника
с вершинами в точках
.
Р е ш е н и е
Уравнение плоскости, в которой лежит треугольник
имеет вид
угольник
ласть
, ограниченную прямыми
, откуда
на плоскость
, получим треугольную об-
,
. Спроектировав тре-
Записав уравнение плоскости в виде
,
находим единичный вектор нормали к верхней стороне
ника
.
Отсюда следует, что
Вычисляем скалярное произведение
,
.
треуголь-
.
.
В точках поверхности
находим по формуле (2.42):
2.5.3. Дивергенция (расходимость) векторного поля.
Окружим некоторую точку
раничивающей область Ω объёма
поля замкнутой поверхностью S, ог-
. Отношение
. Искомый поток
.
95
( )
V
S
a
Π
M
a
( )
( )
( )
σ⋅=
Π
=
∫∫
→Ω→Ω
d
VV
M
S
M
S
M
na
a
a
1
limlimdiv
( )
( )
0div <Ma
( )
∫∫
++=
→ΩSM
RdxdyQdzdxPdydz
V
M1limdiv a
∫∫∫
Ω
→Ω
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= dxdydz
z
R
y
Q
x
P
V
M
M
1
limdiv a
( )
⋅
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→Ω
V
M
z
R
y
Q
x
P
V
M
M
1
1
limdiv a
Ω∈
1
M
MM →
(2.44)
представляет собой среднюю мощность (производительность) пото-
ка векторного поля в объёме Ω. Если отношение (2.44) имеет конечный предел, когда область Ω стягивается в точку
, этот предел на-
зывается дивергенцией (расходимостью) векторного поля (вектора
) в точке M и вычисляется по формуле:
. (2.45)
Формула (2.45) даёт инвариантное (не зависящее от систе-
мы координат) определение дивергенции векторного поля как мощ-
ности (производительности) потока вектора в данной точке.
Точки поля, в которых
а точки, в которых
, называются стоками векторного поля.
, называются источниками,
0div >Ma
На практике пользоваться формулой (2.45) для вычисления
дивергенции поля неудобно, поэтому выведем выражение дивергенции в координатной форме.
Из определения дивергенции (2.45) с учётом выражения для
потока вектора (2.43) получаем:
.
Преобразуем последний интеграл по формуле Гаусса–
Остроградского (2.39):
( )
.
Теперь используем теорему о среднем для тройного интеграла:
где
имеем
. При условии, что область Ω стягивается в точку M,
1
. Поэтому окончательно получаем:
,
96
z
R
y
Q
x
P
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=a
div
( )
zyxM ,,
kjia
zyx
aaa ++=
0div =a
kjira
zyx ++==
3div =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
z
z
y
y
x
x
r
( )
audiv
( )
Muu =
( )
( )
( )
( )
z
uR
y
uQ
x
uP
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=a
div
( )
uuu graddivdiv ⋅+= a
aa
( )
ra
rf=
( )
rf
222
zyxr ++=
причём значения частных производных вычисляются в той точке
, в которой ищется значение дивергенции.
П р и м е р 2.15. Вычислить дивергенцию однородного поля.
Р е ш е н и е
По условию
Поэтому по формуле (2.46)
П р и м е р 2.16. Вычислить дивергенцию радиуса-вектора.
Р е ш е н и е
По условию
П р и м е р 2.17. Вычислить
ная функция.
Р е ш е н и е
По формуле (2.46) находим:
.
, (2.46)
, где
, поэтому по формуле (2.46)
.
, где
– постоянные.
aaa ,,
zyx
– скаляр-
Несложные выкладки, которые рекомендуется выполнить
самостоятельно, приводят к полезному соотношению:
П р и м е р 2.18. Вычислить дивергенцию векторного поля
, где
– дифференцируемая функция аргумента
.
. (2.47)
.
97
Р е ш е н и е
( ) ( )
rfrf graddivdiv ⋅+= rra
3div =r
( )
( )
r
r
rf
rf′=grad
( )
[ ]
( ) ( )
rrfrfrf
′
+== 3divdiv ra
( )
dV
S
aa
∫∫∫
Ω
=Π div
( )
VdVdV
S
33div ===Π
∫∫∫∫∫∫
ΩΩ
rr
R
( )
R
По формуле (2.47) получаем:
.
В Примере 2.16 мы нашли, что
подразделе 2.2.
Поэтому
2.5.4. Векторная форма теоремы Гаусса–
Остроградского. Используя выражение для потока вектора (2.43)
и выражение для дивергенции (2.46), можно переписать формулу Гаусса–Остроградского (2.39) в векторной форме:
П р и м е р 2.19. Вычислить поток радиуса-вектора через
замкнутую поверхность S.
Р е ш е н и е
По формуле (2.49)
. Как было показано в
.
. (2.48)
. (2.49)
,
где V– объём области, заключённой внутри поверхности .S
П р и м е р 2.20. Вычислить поток радиуса-вектора через
сферу радиуса
Р е ш е н и е
Используя результат предыдущего примера, получим:
П р и м е р 2.21. Вычислить поток радиуса-вектора через боко-
вую поверхность круглого конуса (радиус основания
.
3
4V3 RSπ==Π r
, высота H), ос-
98
OXY
OZ
S
( )
S
2
S
kn
−=
( ) ( )
∫∫∫∫
=σ−=σ⋅=Π
22
2
0
SS
S
dzdnrr
( ) ( ) ( )
rrr
21
SSS
Π+Π=Π
( )
HR
S
2
1
π=Π r
( )
( )
( )
.,,
;,,
;,,
zyxRR
zyxQQ
zyxPP
=
=
=
AB
( ) ( ) ( ) ( )
kjia
RQP ++=
AB
∫
∪++AB
RdzQdyPdx
( ) ( ) ( ) ( ){ }
tztytxt
′′′
=
′
,,r
нование которого находится на плоскости
осью
S
нюю сторону) через
бранной стороне основания имеем:
.
Р е ш е н и е
Поток радиуса-вектора через полную поверхность
2
. Обозначим боковую поверхность конуса (внеш-
3 π==Π r
HRV
, а нижнюю сторону основания
1
, а ось совпадает с
конуса
. На вы-
,
.
В силу аддитивности потока
следует, что
.
2.5.5. Циркуляция и ротор векторного поля. Пусть за-
дано векторное поле
,
kjia
RQP ++=
е непрерывными функциями
Пусть ориентированная кусочно-гладкая дуга
векторным уравнением
.
kjirr
tztytxt ++==
Линейным интегралом от вектора
вдоль дуги
называется следующий криволинейный интеграл по координатам
, откуда
задана
направлен по касательной к кривой; такое же направление имеет и
вектор
. (2.50)
В подразделе 2.1 было показано, что вектор
99
( ) { }
dzdydxdttd ,,=
′
= rr
.
ds
d
d
d r
r
r
==τ
dsd τ=
r
( ) ( )
dsd
ABAB
∫∫
∪∪
τ⋅=⋅
ara
AB
L
L
( ) ( )
∫∫
τ⋅=++=
LL
L
dsaRdzQdyPdx
aЦ
kjia
xzyzxy ++=
L
1=++ zyx
( )
∫
++=
L
L
xzdzyzdyxydxa
Ц
Вектор
представляет собой орт касательной. Из последнего соотношения получаем
,
поэтому линейный интеграл (2.50) может быть записан в виде
Если заданное поле – силовое, то линейный интеграл, как это
следует из формул (2.50) или (2.51), выражает работу силового поля
вдоль дуги
Линейный интеграл, взятый вдоль замкнутого контура
зывается циркуляцией векторного поля вдоль контура
При этом контур L должен обходиться в положительном
направлении, т.е. в направлении, при котором область, ограниченная
этой кривой, будет оставаться слева.
П р и м е р 2.22. Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль линии
плоскости
Р е ш е н и е
По определению циркуляции
.
, получаемой пересечением цилиндра
.
. (2.51)
, на-
:
. (2.52)
и
122=+ yx
.
100
L
122=+ yx
tytx sin,cos ==
1=++ zyx
ttyxz sincos11 −−=−−=
L
( )
π≤≤
−−=
=
=
20
.sincos1
,sin
,cos
t
ttz
ty
tx
( )
dtttdzdttdydttdx cossin,cos,sin −==−=
.dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
dxdy
y
P
x
Q
dzRdyQdxP
S
L
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
=++
∫∫
∫
kjia
RQP ++=
L
a
kjia
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
rot
Для вычисления полученного интеграла найдём парамет-
рические уравнения линии
ружности
жит в плоскости
Таким образом, линия
Отсюда находим
следовательно, циркуляция будет равна
( ) ( )
a
Ц
L
таковы:
2
π
[
∫
0
имеет параметрические уравнения:
. Параметрические уравнения ок-
, откуда
2
( )( )
Установим теперь векторную форму формулы Стокса (2.40)
. Но эллипс L ле-
.
,
cossincos1sinsincos
+−−+−=
tttttt
2
π
]
2
dttdtttttt
∫
0
.coscossinsincos1cos
π−=−=−−−+
Интеграл в левой части этой формулы представляет собой
циркуляцию векторного поля
вдоль контура
Рассмотрим вектор, который называется ротором векторно-
го поля
:
.
. (2.53)